课后习题(五十五) 直线与椭圆
1．C [由题意得，a2＝4，b2＝1，所以c2＝3，
所以椭圆右焦点的坐标为(，0)，
则直线l的方程为y＝x－，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立消去y得5x2－8x＋8＝0，
Δ＝(－8)2－4×5×8＝32＞0，
则x1＋x2＝，x1·x2＝，
所以|AB|＝·
＝＝．
即弦AB的长为．]
2．BD [由题意，a＝2，b＝1．对于A，设，M(x0，y0)，则＝＝1，两式作差可得＝－(y1＋y2)(y1－y2)，∴＝－＝－，则kAB·kOM＝－≠－1，故A错误；对于B，若点M的坐标为，则kAB＝－，则直线l的方程为y－＝－(x－1)，即x＋2y－2＝0，故B正确；对于C，若直线l的方程为y＝x＋1，则kOM＝－，故OM所在直线的方程为y＝－x，很显然点M的坐标不可能为，故C错误；对于D，易知过椭圆焦点的弦中，通径最短，为＝1，长轴最长，为4，
由直线l的斜率存在且不过原点，得1<|AB|<4，故D正确．故选BD．]
3． [把y＝kx＋2代入＝1，消去y并整理得(2＋3k2)x2＋12kx＋6＝0，由题意得Δ＝(12k)2－4×(2＋3k2)×6＝72k2－48<0，解得－故实数k的取值范围是．]
4．解： (1)由题意可得解得
故椭圆C的标准方程为＋y2＝1．
(2)由题意可知直线l的斜率不为0，设直线l的方程为x＝my＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由整理得(m2＋4)y2＋2my－3＝0，
则Δ＝(2m)2－4(m2＋4)×(－3)＝16m2＋48>0，且y1＋y2＝－，y1y2＝－，
所以|y1－y2|＝＝＝，
所以S△ABO＝|OP|·|y1－y2|＝×1×＝＝．
设t＝，则t≥＝，
整理得(3t－1)(t－3)＝0，解得t＝3或t＝(舍去)，则m＝±．
故直线l的方程为x＝±y＋1，即x±y－1＝0．
5．D
6．B [依题意，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则M，
直线l与椭圆C交于A，B两点，
则
两式相减可得－＝，
∴－＝1×，即a2＝4b2，即a2＝4(a2－c2)，故＝．
故选B．]
7．A [根据题意，联立则5x2＋8x＋16＝0，
则Δ＝(8)2－4×5×16＝0，
所以直线x－y＋＝0与椭圆＋y2＝1相切，且在椭圆上方，
设与直线x－y＋＝0平行的椭圆的另一条切线方程为x－y＋m＝0(m≠)，联立
则5x2＋8mx＋4m2－4＝0，
令Δ＝0，即64m2－4×5(4m2－4)＝0，解得m＝(舍去)或m＝－，
则x－y－＝0，故两切线之间的距离d＝＝，
即P到直线x－y＋＝0的距离的最大值是．
故选A．]
8．C [法一：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由
消去y整理得(1＋4m2)x2＋8mx＝0，解得x1＝0，x2＝，
则y1＝1，y2＝，则A(0，1)，B，
所以|AB|＝
＝8
＝8
＝8
＝8，所以当＝，即m＝±时，|AB|取最大值．故选C．
法二：直线l：mx－y＋1＝0过点(0，1)，又椭圆C：＋y2＝1的上顶点为(0，1)，不妨设，y0)，则＝，
|AB|2＝＋(y0－1)2＝－3＋，
∴当y0＝－时，|AB|有最大值，此时x0＝±，即B，
∴m＝kAB＝±．]
9． [联立x－2y＋1＝0与＋y2＝1，得2x2＋2x－3＝0，Δ＝4＋4×2×3＝28>0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－1，x1x2＝－，
故|AB|＝·＝＝．]
10． [∵离心率e＝＝，∴＝，
∴a2＝2b2，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，
∴直线l的斜率k＝，直线y＝－2x的斜率为－2＝＝，
由两式相减可得＝0，
∴··＝0，
∴·k·＝0，∴·k×(－2)＝0，
∴＝0，∴k＝．]
11．解： (1)由题意可知2a＝4，e＝＝，得c＝，又b2＝a2－c2，解得b2＝1．
所以椭圆的标准方程为＋y2＝1．
(2)由题意可知直线l的斜率存在，设l：y＝k(x＋1)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立消y得(1＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－4＝0，Δ＝48k2＋16>0，
由根与系数的关系得
设AB中点的坐标为(x0，y0)，
所以x0＝＝，
所以y0＝k(x0＋1)＝＝，
解得k＝，所以AB中点的坐标为，
故直线l的方程为y－＝，即x－2y＋1＝0．
12．解： (1)设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
联立消去y得5x2＋6mx＋3m2－6＝0．
由Δ＝36m2－20(3m2－6)＞0，且m＜0，可得－则x1＋x2＝－，y1＋y2＝x1＋x2＋2m＝－＋2m＝，
故点D的坐标为，
又因为|OD|＝＝，
解得m＝－1或m＝1(舍去)，
所以m的值为－1．
(2)由(1)可知x1＋x2＝，x1x2＝－，y1＋y2＝－，直线l的方程为y＝x－1，
则y1y2＝(x1－1)(x2－1)＝x1x2－(x1＋x2)＋1＝－＋1＝－，
可得|y1－y2|
＝
＝＝，
由椭圆方程可知a＝，b＝，c＝＝1，
由直线l：y＝x－1与x轴的交点为椭圆C的右焦点F (1，0)，
则S△OAB＝S△OAF＋S△OBF＝×|OF|×|y2－y1|＝×1×＝，
所以△OAB的面积为．
1/1课后习题(五十五) 直线与椭圆
1．(人教A版选择性必修第一册P114练习 T2改编)已知斜率为1的直线l过椭圆＋y2＝1的右焦点，交椭圆于A，B两点，则弦AB的长为( )
[A] [B]
[C] [D]
2．(多选)(苏教版选择性必修第一册P125复习题T15改编)已知椭圆＋y2＝1，斜率为k且不经过原点O的直线l与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点，则下列结论正确的是( )
[A] 直线AB与OM垂直
[B] 若点M的坐标为，则直线l的方程为x＋2y－2＝0
[C] 若直线l的方程为y＝x＋1，则点M的坐标为
[D] 若直线l过椭圆焦点，则1<|AB|<4
3．(人教B版选择性必修第一册P173习题2－8AT4改编)若直线y＝kx＋2与椭圆＝1没有公共点，则实数k的取值范围是________．
4．(人教A版选择性必修第一册P145复习参考题3T7改编)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率为，短轴长为2．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点P(1，0)的直线l与椭圆C交于A，B两点，若△ABO的面积为(O为坐标原点)，求直线l的方程．
5．(2024·葫芦岛期末)已知直线l：(a＋2)x＋(1－a)y－(a＋5)＝0，椭圆C：＝1，则l与C的位置关系为( )
[A] 相切 [B] 相交
[C] 相离 [D] 相交或相切
6．(2024·铜川三模)已知原点为O，椭圆C：＝1(a＞b＞0)与直线l：x－y＋1＝0交于A，B两点，线段AB的中点为M，若直线OM的斜率为－，则椭圆C的离心率为( )
[A] [B]
[C] [D]
7．(2024·济南莱芜区月考)已知椭圆＋y2＝1，点P是椭圆上的任意一点，则P到直线x－y＋＝0的距离的最大值是( )
[A] [B]
[C] [D]
8．(2024·渭南大荔县期末)已知直线l：mx－y＋1＝0与椭圆C：＋y2＝1交于A，B两点，当|AB|取最大值时，m的值为( )
[A] ± [B] ±
[C] ± [D] ±
9．(2024·南昌市东湖区期末)已知直线x－2y＋1＝0与椭圆＋y2＝1交于A，B两点，则|AB|＝________．
10．(2025·临沂模拟)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率为，直线l与C交于A，B两点，直线y＝－2x与l的交点恰好为线段AB的中点，则l的斜率为________．
11．(2024·北京市西城区开学考试)已知椭圆＝1(a>b>0)的离心率e＝，椭圆上任意一点到椭圆的两个焦点的距离之和为4．若直线l过点(－1，0)，且与椭圆相交于不同的两点A，[B]
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若线段AB中点的纵坐标为，求直线l的方程．
12．(2024·兰州市皋兰县期末)已知椭圆C：＝1，直线l：y＝x＋m(其中m＜0)与椭圆C相交于A，B两点，D为AB的中点，O为坐标原点，|OD|＝．
(1)求m的值；
(2)求△OAB的面积．
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