课后习题(五十六) 双曲线
1．(苏教版选择性必修第一册P107习题3.2(2)T5，9改编)中心在坐标原点，焦点在坐标轴上的双曲线C与椭圆＝1有相同的焦距，双曲线C的一条渐近线的方程为x－y＝0，则C的方程为( )
[A] －y2＝1或y2－＝1
[B] x2－＝1或y2－＝1
[C] －y2＝1或－x2＝1
[D] x2－＝1或－x2＝1
2．(多选)(人教B版选择性必修第一册P157习题2－6B组T4)已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，一条渐近线过点(2)，则下列结论正确的是( )
[A] 双曲线C的离心率为
[B] 双曲线C与双曲线＝1有相同的渐近线
[C] 若F到双曲线C的渐近线的距离为2，则双曲线C的方程为＝1
[D] 若直线l：x＝(c为双曲线C的半焦距)与渐近线围成的三角形的面积为4，则双曲线C的焦距为6
3．(人教A版选择性必修第一册P127习题3.2T1改编)已知双曲线x2－＝1上一点P到它的一个焦点的距离等于4，那么点P到另一个焦点的距离等于________．
4．(人教B版选择性必修第一册P156习题2－6AT3改编)已知双曲线的渐近线方程为3x±4y＝0，它的焦点是椭圆＝1的长轴的端点，则此双曲线的标准方程为________．
5．(2024·新余开学考试)椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线C2上的点到C1的两个焦点的距离的差的绝对值为8，则曲线C2的标准方程为( )
[A] ＝1 [B] ＝1
[C] ＝1 [D] ＝1
6．(多选)(2024·永州月考)已知双曲线C：＝1，则下列说法正确的是( )
[A] 直线y＝x＋1与双曲线C有两个交点
[B] 双曲线C与＝1有相同的渐近线
[C] 双曲线C的焦点到一条渐近线的距离为3
[D] 双曲线的焦点坐标为(－13，0)，(13，0)
7．(2024·广州月考)我们把形如C1：＝1(a>0，b>0)和C2：＝1(a>0，b>0)的两个双曲线叫做共轭双曲线．已知C1与C2互为共轭双曲线，若C1与C2的离心率分别为e1，e2，且a＞b，e1e2＝，则它们的渐近线方程为( )
[A] y＝±2x [B] y＝±x
[C] y＝±x [D] y＝±x
8．(2024·泰安期末)已知焦点为F1，F2的双曲线C的离心率为，点P为C上一点，且满足2|PF1|＝3|PF2|，若△PF1F2的面积为2，则双曲线C的实轴长为( )
[A] 2 [B]
[C] [D] 2
9．(多选)(2024·兰州月考)已知双曲线C：＝1，则( )
[A] m的取值范围是(－6，3)
[B] m＝1时，C的渐近线方程为y＝±x
[C] C的焦点坐标为(－3，0)，(3，0)
[D] C可以是等轴双曲线
10．(2024·锦州市凌河区校级模拟)双曲线λx2＋y2＝1(λ∈R)的焦点坐标为__________．
11．(2024·长沙开学考试)双曲线＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝x，则双曲线的离心率为________．
12．(2025·合肥模拟)已知双曲线C：＝1．
(1)求与双曲线C有共同的渐近线，且实轴长为6的双曲线的标准方程；
(2)P为双曲线C右支上一动点，点A的坐标是(4，0)，求|PA|的最小值．
1/1课后习题(五十六) 双曲线
1．A
2．BCD [由题意知，直线y＝x过点(2)，则＝2·，得a＝b，所以双曲线C的离心率e＝＝＝，故A错误；双曲线＝1的渐近线方程为y＝±x，双曲线C的渐近线方程为y＝±x，故B正确；不妨取双曲线C的一条渐近线方程为x＋y＝0，由F (c，0)到渐近线的距离为2，可得＝2，得c＝2，
则有得所以双曲线C的方程为＝1，故C正确；在y＝±x中，取x＝，得y＝±，则直线l与渐近线围成的三角形的面积S＝··＝4，得＝2，结合a2＋b2＝c2，a＝b，得c＝3，所以双曲线C的焦距为2c＝6，故D正确．故选BCD．]
3．6 [设双曲线的焦点为F1，F2，|PF1|＝4，则||PF1|－|PF2||＝2，故|PF2|＝6或2，又双曲线上的点到它的焦点的距离的最小值为c－a＝－1＞2，故|PF2|＝6．]
4．＝1 [依题意，设双曲线的方程为＝1(a>0，b>0)，
由题意得
解得a＝4，b＝3，所以双曲线的标准方程为＝1．]
5．A
6．BC [双曲线C：＝1，可得渐近线的方程y＝±x，且焦点坐标为(±，0)，
A中，因为直线y＝x＋1与双曲线C的其中一条渐近线平行，所以直线y＝x＋1与双曲线只有一个交点，所以A不正确；
B中，双曲线＝1的渐近线方程为y＝±x，与C的渐近线相同，所以B正确；
C中，其中一个焦点(，0)，其中一条渐近线方程为3x＋2y＝0，所以焦点到渐近线的距离为d＝＝3，所以C正确；D中，双曲线的焦点坐标为(±，0)，所以D不正确．
故选BC．]
7．B [C1：＝1(a>0，b>0)，C2：＝1(a>0，b>0)，
则e1＝，e2＝，e1e2＝，
则＝，即2a2－5ab＋2b2＝0，解得a＝2b或b＝2a，
又a＞b，则a＝2b，故它们的渐近线方程为y＝±x＝±x．
故选B．]
8．B [依题意，设|PF2|＝2m＞0，则|PF1|＝3m，故|PF1|－|PF2|＝m＝2a(a为双曲线的参数)，
所以|PF2|＝4a，|PF1|＝6a，故cos ∠F1PF2＝＝，
而＝，则c＝a，则cos ∠F1PF2＝＝，∠F1PF2∈(0，π)，
所以sin ∠F1PF2＝，故＝|PF1||PF2|·sin ∠F1PF2＝2，
则24a2×＝4，解得a＝，故双曲线C的实轴长为2a＝．
故选B．]
9．ACD [对于选项A，因为C：＝1表示双曲线，所以(m＋6)(3－m)＞0，解得－6＜m＜3，所以选项A正确；对于选项B，当m＝1时，双曲线方程为＝1，
其渐近线方程为y＝±x＝±x，所以选项B错误；
对于选项C，由选项A得m＋6＞0，3－m＞0，所以双曲线C的焦点在x轴上，设C的半焦距为c(c＞0)，
则c2＝m＋6＋3－m＝9，解得c＝3，故其焦点坐标为(－3，0)，(3，0)，所以选项C正确；
对于D，若C为等轴双曲线，则3－m＝m＋6，解得m＝－∈(－6，3)，所以选项D正确．
故选ACD．]
10． [因为双曲线的方程为λx2＋y2＝1(λ∈R)，所以λ＜0，
则y2－＝1，所以双曲线的焦点在y轴上，且c2＝1－，
则双曲线λx2＋y2＝1(λ∈R)的焦点坐标为，
故答案为．]
11． [因为双曲线＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝x，
所以＝，所以双曲线的离心率e＝＝．
故答案为．]
12．解： (1)由题可设所求双曲线的方程为＝λ(λ≠0)，①当λ>0时，方程为＝1，
令4λ＝得λ＝，
即双曲线方程为＝1；
②当λ<0时，方程为＝1，
令－3λ＝得λ＝－3，
即双曲线方程为＝1．
综上，所求双曲线的标准方程为＝1或＝1．
(2)设P点的坐标为(x0，y0)(x0≥2)，则满足＝1，
|PA|＝＝
＝
＝
＝．
则当x0＝时，|PA|有最小值为．
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