课后习题(五十七) 直线与双曲线的位置关系
1．(苏教版选择性必修第一册P124复习题T10改编)已知直线l的方程为y＝kx－1，双曲线C的方程为x2－y2＝1．若直线l与双曲线C的右支交于不同的两点，则实数k的取值范围是( )
[A] (－) [B] [1，)
[C] [－] [D] (1，)
2．(人教A版选择性必修第一册P128习题3.2T13改编)已知点A，B是双曲线C：＝1上的两点，线段AB的中点是M(3，2)，则直线AB的斜率为( )
[A] [B]
[C] [D]
3．(人教B版选择性必修第一册P178复习题B组T16改编)已知双曲线C：x2－＝1，过点A(0，1)作直线l交双曲线于P1，P2两点，若线段P1P2的中点在直线x＝上，则直线l的斜率为________．
4．(人教B版选择性必修第一册P178复习题B组T19改编)已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的两个焦点分别为F1(－2，0)，F2(2，0)，点P(5，)在双曲线C上．
(1)求双曲线C的方程；
(2)记O为坐标原点，过点Q(0，2)的直线l与双曲线C交于不同的两点A，B，若△OAB的面积为2，求直线l的方程．
5．(2025·肇庆模拟)已知双曲线E：＝1，则过点(2，)与E有且只有一个公共点的直线共有( )
[A] 4条 [B] 3条
[C] 2条 [D] 1条
6．(2024·广东期末)已知双曲线x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，直线y＝x与双曲线的右支交于点P，则·＝( )
[A] －1 [B] 0
[C] 1 [D] 2
7．(2025·北京市东城区模拟)已知双曲线C：y2－＝1的两个焦点分别为F1，F2，过F1的直线与双曲线C的同一支交于A，B两点，且|BF1|＝2|AF1|，则线段AB的长度为( )
[A] [B] 9
[C] [D] 6
8．(2024·南通月考)已知A，B为双曲线x2－y2＝1上不同的两点，下列点中可为线段AB的中点的是( )
[A] (1，1) [B] (2，3)
[C] (，1) [D]
9．(2024·茂名市高州市一模)已知双曲线C：x2－＝1，直线l：y＝kx＋1分别与C的左、右支交于M，N两点，O为坐标原点，若△OMN的面积为，则直线l的方程为________．
10．(2024·开封一模)已知双曲线x2－my2＝1(m＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，垂直于x轴的直线l经过F2且与双曲线交于A、B两点，若|AB|＝2，则cos ∠AF1B＝__________．
11．(2025·南京模拟)已知双曲线C过点(3，)，且渐近线为y＝±x，则双曲线C的方程为____________；若动直线y＝k(x－2)与双曲线C的同一支有两个不同的交点，则实数k的取值范围为____________．
12．(2025·汉中模拟)已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的实轴长是虚轴长的倍，且焦点到渐近线的距离为．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若动直线l与双曲线C恰有1个公共点，且与双曲线C的两条渐近线交于点P，Q两点，O为坐标原点，证明：△OPQ的面积为定值．
1/1课后习题(五十七) 直线与双曲线的位置关系
1．D 2．D
3．－1 [由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋1，联立消去y并整理得(2－k2)x2－2kx－3＝0．显然2－k2≠0，设，y1)，P2(x2，y2)，则x1＋x2＝＝1，解得k＝－1±，由Δ＝24－8k2>0，得－
4．解： (1)依题意，c＝2，所以a2＋b2＝4，
则双曲线C的方程为＝1(0将点P(5，)的坐标代入，得＝1，
解得a2＝50(舍去)或a2＝2，故所求双曲线的方程为＝1．
(2)依题意知，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋2，代入双曲线C的方程并整理，得(1－k2)x2－4kx－6＝0．
因为直线l与双曲线C交于不同的两点A，B，
所以
解得(*)
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝－，
所以|AB|＝·＝．
又原点O到直线l的距离d＝，
所以S△OAB＝d·|AB|＝＝＝2，
即＝1，
所以k4－k2－2＝0，得k＝±，满足(*)式．
故满足条件的直线l的方程为y＝±x＋2．
5．C [分析条件可得，点P(2，)在双曲线的渐近线y＝x上，且位于第一象限，和双曲线的右顶点有相同的横坐标，如图，
所以过P(2，)且与双曲线E有且只有一个公共点的直线只有两条，
一条是切线x＝2，一条是过点P(2，)且与另一条渐近线平行的直线．
故选C．]
6．A [双曲线x2－＝1的左、右焦点分别为F1(－2，0)，F2(2，0)，
由解得或
所以P，
则＝＝，
所以·＝＝－1．故选A．]
7．C [由双曲线C：y2－＝1得a＝1，b＝，c＝2，
设F1(0，2)，过F1的直线设为y＝kx＋2(k＞0)，
联立，可得(3k2－1)x2＋12kx＋9＝0，Δ＝36(k2＋1)>0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝，①
由|BF1|＝2|AF1|，可得＝2，即有－x2＝2x1，②
由①②可得x1＝＝－，
解得k＝或k＝－(舍去)，x1＝－，
则|AB|＝·|x1－x2|＝·3|x1|＝＝．
故选C．]
8．B [结合选项可知，直线AB的斜率存在且不为0．
设AB的中点C(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
所以x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，＝kAB，
因为A，B在双曲线上，所以
由点差法可得(x1＋x2)(x1－x2)－(y1＋y2)(y1－y2)＝0，
所以＝·kAB＝1，
所以kAB＝．
对于A，若C(1，1)，此时kAB＝1，所以lAB：y＝x，
联立方程组无解，
即lAB与双曲线没有交点，故A错误；
对于B，若C(2，3)，则此时kAB＝，
所以lAB：y＝x＋，
联立消去y得5x2－20x－34＝0，
解得x＝2±，即lAB与双曲线有两个交点，故B正确；
对于C，若C(，1)，则此时kAB＝，所以lAB：y＝x－1，
联立消去y解得x＝，
即lAB与双曲线只有一个交点，故C错误；
对于D，若C，则此时kAB＝－2，
∴lAB：y＝－2x－，
联立消去y得3x2＋6x＋＝0，
Δ＝36－4×3×＝－3<0，所以方程无解，
即lAB与双曲线没有交点，故D错误．
故选B．]
9．y＝±x＋1 [设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由可得(3－k2)x2－2kx－4＝0，3－k2≠0，
由l与双曲线C有两个交点可得Δ＝4k2＋16(3－k2)＞0，解得0≤k2＜4，且k≠±，
故x1＋x2＝，x1x2＝＜0，
∴－＜k＜，
∴|MN|＝＝·＝，
又原点到直线l的距离d＝，
∴S△OMN＝|MN|·d＝＝，
整理得2k4－11k2＋14＝0，
解得k2＝2或k2＝(舍)，
∴k2＝2，k＝±，∴直线l的方程为y＝±x＋1．]
10． [由双曲线x2－my2＝1(m＞0)，得x2－＝1．
则a＝1，b＝，由通径长可知，|BF2|＝＝＝1，则m＝1．
如图，c＝＝，则|BF1|＝＝3，得cos ∠BF1F2＝．
∴cos ∠AF1B＝2cos2∠BF1F2－1＝2×－1＝．]
11．－y2＝1 [根据题意可得，双曲线的渐近线方程为y＝±x，设双曲线的方程为－y2＝λ(λ≠0)，
因为双曲线过点(3，)，所以－()2＝λ，
解得λ＝1，所以双曲线的方程为－y2＝1．
设直线y＝k(x－2)与双曲线C交于，y2)，由 (1－3k2)x2＋12k2x－3－12k2＝0，
则
得k2>或k2<－(舍去)，
所以k∈．]
12．解： (1)设双曲线C的一个焦点F (c，0)，一条渐近线方程为bx－ay＝0．
∴焦点F到渐近线的距离为＝b＝．
∵实轴长是虚轴长的倍，所以a＝b＝2，
∴双曲线的方程为＝1．
(2)证明：当直线l的斜率不存在时，直线l与双曲线C恰有1个公共点，
则l的方程为x＝±2，∴|PQ|＝2，S△OPQ＝×2×2＝2．
当直线l的斜率存在时，设直线l：y＝kx＋m，且k≠±．
由得(1－2k2)x2－4mkx－2m2－4＝0，
令Δ＝16m2k2＋4(1－2k2)(2m2＋4)＝0，可得4k2＝m2＋2．
由得x＝．
设l与y＝x的交点为P，则xP＝，同理xQ＝－，
∴|xP－xQ|＝，
∴|PQ|＝|xP－xQ|＝．
∵原点O到直线l的距离d＝，
∴S△OPQ＝·|PQ|·d＝．
∵4k2＝m2＋2，∴S△OPQ＝2，故△OPQ的面积为定值，且定值为2．
综上所述，△OPQ的面积为定值．证毕．
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