《高考快车道》2026版高三一轮总复习数学(基础版)课后习题58 抛物线(pdf版,含答案)

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名称 《高考快车道》2026版高三一轮总复习数学(基础版)课后习题58 抛物线(pdf版,含答案)
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资源类型 试卷
版本资源 通用版
科目 数学
更新时间 2025-07-03 10:45:00

文档简介

课后习题(五十八) 抛物线
1.C 2.D 
3.AB [对于A,设A(x1,y1),B(x2,y2),由得y2-8ty-16=0,Δ=64t2+64>0,
∴y1+y2=8t,又线段AB的中点为M(m,2),
∴=4t=2,解得t=,A正确;对于B,∵M(m,2)在直线l:x=y+2上,∴m=1+2=3,B正确;对于C,∵直线l:x=y+2过点(2,0),且点(2,0)为抛物线y2=8x的焦点,∴|AB|=x1+x2+4=(y1+y2)+8=10,C错误;对于D,以AB为直径的圆的圆心为M,半径为5,设P(-2,2),连接MP,则|MP|==5,∴点P(-2,2)在以AB为直径的圆上,D错误.故选AB.]
4.B [设点P的坐标为(x,y),则x2=-4y,且|PA|==
==,
又∵y≤0,∴当y=-1时,|PA|min==2.故选B.]
5.C [因为x2=2py(p>0)的准线方程为y=-,又准线方程为y=-1,
所以=1,解得p=2.
故选C.]
6.D [依题意,2=a×12,解得a=2,
所以C:x2=的准线为y=-,
所以|PF|=2+=.
故选D.]
7.D [∵抛物线C:y2=2px,∴抛物线的焦点F,
∵直线y=x-1过焦点F,
∴0=-1,解得p=2,∴抛物线的方程为y2=4x,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
联立化简整理可得,x2-6x+1=0,
由根与系数的关系可得,x1+x2=6,由抛物线的定义得|AB|=x1+x2+p=6+2=8.
故选D.]
8.ABD [当抛物线开口向右时,设抛物线的方程为y2=2px,
因为抛物线C过点A(1,-4),所以16=2p,解得p=8,
则抛物线C的方程为y2=16x,故选项A正确;
当抛物线开口向下时,
设抛物线的方程为x2=-2py,
因为抛物线C过点A(1,-4),所以1=8p,解得p=,
则抛物线C的方程为x2=-y,故选项B正确;
①当抛物线C的方程为y2=16x时,
设过点A的直线方程为y+4=k(x-1)(k≠0),
联立消去y并整理得k2x2-(2k2+8k+16)x+k2+8k+16=0,
此时Δ=64(k+2)2,易知当k=-2时,Δ=0,
此时直线方程为y=-2x-2,
易知直线y=-4与抛物线只有一个公共点,
则过点A与抛物线只有一个公共点的直线有两条;
②当抛物线C的方程为x2=-y时,
设过点A的直线方程为y+4=k(x-1),
联立消去y并整理得4x2+kx-k-4=0,
此时Δ=(k+8)2,易知当k=-8时,Δ=0,
此时直线方程为y=-8x+4,
易知直线x=1与抛物线只有一个公共点,
则过点A与抛物线只有一个公共点的直线有两条,故选项C错误,选项D正确.
故选ABD.]
9.2 [建立如图所示的直角坐标系,设抛物线方程为x2=my,将A(2,-2)代入x2=my,
得m=-2,∴x2=-2y,代入B(x0,-3)得x0=,故水面宽为2米.]
10. [设A(x1,y1),B(x2,y2),由F (1,0)可得直线AB的方程为y=2x-2,
联立得x2-3x+1=0,
解得x1=,x2=,且有x1x2=1.
由抛物线的定义,===x1=.]
11.解: (1)由抛物线的定义可得点(m,3)到C的准线的距离为4,
所以抛物线C的准线方程为y=-1,此时=1,
解得p=2,则C的方程为x2=4y.
(2)设直线l的方程为y=2x+b,A(x1,y1),B(x2,y2),
联立消去y并整理得x2-8x-4b=0,
因为直线l与C交于A,B两点,所以Δ=64+16b>0,
解得b>-4,由根与系数的关系得x1+x2=8,
所以|AF|+|BF|=y1+1+y2+1=2(x1+x2)+2b+2=18+2b=24,
解得b=3,此时满足b>-4.
故l的方程为y=2x+3.
1/1课后习题(五十八) 抛物线
1.(人教A版选择性必修第一册P138练习T3改编)已知A为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,点A到C的焦点的距离为12,到y轴的距离为9,则p=(  )
[A] 2 [B] 3
[C] 6 [D] 9
2.(人教A版选择性必修第一册P145复习参考题3T6改编)已知等边三角形的一个顶点为抛物线C:y2=4x的焦点F,其余两个顶点都在抛物线C上,则该等边三角形的边长为(  )
[A] 4+2 [B] 8+4
[C] 4±2 [D] 8±4
3.(多选)(人教A版选择性必修第一册P136练习T3改编)已知直线l:x=ty+2与抛物线C:y2=8x交于A,B两点,若线段AB的中点是M(m,2),则(  )
[A] t=
[B] m=3
[C] |AB|=8
[D] 点(-2,2)在以AB为直径的圆内
4.(人教B版选择性必修第一册P164例2改编)已知点P在抛物线x2=-4y上,且A(0,-3),则|PA|的最小值为(  )
[A] 2 [B] 2
[C] 3 [D] 2
5.(2025·大连模拟)已知抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,准线方程为y=-1,则p的值为(  )
[A]  [B] 1
[C] 2 [D] 4
6.(2024·盐城三模)设F为抛物线C:y=ax2的焦点,若点P(1,2)在C上,则|PF|=(  )
[A] 3 [B] 
[C]  [D] 
7.(2024·榆林四模)直线y=x-1过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F,且与C交于A、B两点,则|AB|=(  )
[A] 2 [B] 4
[C] 6 [D] 8
8.(多选)(2024·唐山期末)已知抛物线C过点A(1,-4),则(  )
[A] 抛物线C的标准方程可能为y2=16x
[B] 抛物线C的标准方程可能为x2=-y
[C] 过点A与抛物线只有一个公共点的直线有一条
[D] 过点A与抛物线只有一个公共点的直线有两条
9.(2025·乌兰浩特市模拟)如图是某抛物线形拱桥,当水面在l处时,拱顶距水面2米,水面宽4米,水位下降1米后,水面宽为________米.
10.(2024·通化市梅河口市三模)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点F且斜率为2的直线与抛物线C交于A,B两点(点A在x轴的上方),则=__________.
11.(2025·贵港模拟)已知F为抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点,且C上一点(m,3)到点F的距离为4.
(1)求C的方程;
(2)若斜率为2的直线l与C交于A,B两点,且|AF|+|BF|=24,求l的方程.
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