课后习题(六十五) 离散型随机变量及其分布列、数字特征
1．B
2．ACD [由离散型随机变量X的分布列的性质得：
q＝1－0.4－0.1－0.2－0.2＝0.1，
E(X)＝0×0.1＋1×0.4＋2×0.1＋3×0.2＋4×0.2＝2，
D(X)＝(0－2)2×0.1＋(1－2)2×0.4＋(2－2)2×0.1＋(3－2)2×0.2＋(4－2)2×0.2＝1.8，
∵离散型随机变量Y满足Y＝2X＋1，
∴E(Y)＝2E(X)＋1＝5，D(Y)＝4D(X)＝7.2．故选ACD．]
3．AB [对于选项A，∵随机变量ξ的分布列为P＝ak(k＝1，2，3，4，5)，∴P＋P＋P＋P＋P(ξ＝1)＝a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，解得a＝，故A正确；对于选项B，＝P＝3×＝，故B正确；对于选项C，P＝P＋P＝＋2×＝，故C错误；对于选项D，P(ξ＝1)＝5×＝，故D错误．故选AB．]
4． [因为E(X)＝，D(X)＝，
由D(X)＝E(X2)－(E(X))2，
得E(X2)＝D(X)＋(E(X))2＝＝．]
5．B 6．A
7．C [根据题意可得，E(X)＝＝，
D(X)＝＝＝，
所以D(X)在上单调递减，在上单调递增，所以D(X)先减小后增大．故选C．]
8．BCD [正数a，b，c成等差数列，则a＋c＝2b，
又由分布列的性质可知，a＋b＋c＝1，
解得故A错误，B正确；
由a＋c＝，得0
则E(X)＝a＋2b＋3c＝2c＋∈，C正确；
D(X)＝a＋＋c＝＋＋c＝－4c2＋c＋＝－4＋，
当c＝时，D(X)取得最大值，且最大值为，D正确．
故选BCD．]
9． [∵D(10ξ)＝100D(ξ)＝，∴D(ξ)＝，
∴ξ的标准差＝＝．
∴ξ的标准差为．]
10．－ [因为E(X)＝P1＋2P2＋3P3＝，①
且P1＋P2＋P3＝1，②
所以①－②×2可得，P1＋2P2＋3P3－2(P1＋P2＋P3)＝P3－P1＝－．]
11．解： 设X为员工获得的红包数额，则X可能取值为80，90，100，110，
所以P(X＝80)＝＝，P(X＝90)＝＝，
P(X＝100)＝＝，P(X＝110)＝＝，
所以E(X)＝80×＋90×＋100×＋110×＝96，
D(X)＝(80－96)2×＋(90－96)2×＋(100－96)2×＋(110－96)2×＝104．
12．解： (1)依题意，得＋a＝1,
所以a＝．
设投入项目A，B的资金都为x万元，随机变量X1和X2分别表示投资项目A和B所获的利润，则X1和X2的分布列分别为
X1 0.4x －0.2x 0
P
X2 0.3x －0.1x
P b c
由分布列得E(X1)＝0.4x×＋(－0.2x)×＋0×＝0.2x，
E(X2)＝0.3bx－0.1cx．
因为E(X1)＝E(X2)，所以0.3bx－0.1cx＝0.2x，
即0.3b－0.1c＝0.2．
又b＋c＝1，解得b＝，c＝．
所以a＝，b＝，c＝．
(2)当投入100万元资金时，
由(1)知x＝100，
所以E(X1)＝E(X2)＝20，
D(X1)＝(40－20)2×＋(－20－20)2×＋(0－20)2×＝600，
D(X2)＝(30－20)2×＋(－10－20)2×＝300．
所以D(X1)>D(X2)，这说明虽然项目A和项目B的平均收益相等，但项目B更稳妥，所以从投资回报稳定性的角度考虑，建议该投资公司选择项目B．
1/1课后习题(六十五) 离散型随机变量及其分布列、数字特征
1．(北师大版选择性必修第一册P202习题6－2A组T3改编)某射击运动员射击所得的环数X的分布列如下表：
X 5 6 7 8 9 10
P 0.06 0.06 0.09 a 0.29 0.22
此运动员“射击一次命中的环数大于6且小于9”的概率为( )
[A] 0.43 [B] 0.37
[C] 0.51 [D] 0.79
2．(多选)(人教A版选择性必修第三册P70练习T1改编)设离散型随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P q 0.4 0.1 0.2 0.2
若离散型随机变量Y满足Y＝2X＋1，则下列结果正确的有( )
[A] q＝0.1
[B] E(X)＝2，D(X)＝1.4
[C] E(X)＝2，D(X)＝1.8
[D] E(Y)＝5，D(Y)＝7.2
3．(多选)(苏教版选择性必修第二册P115练习T2改编)设随机变量ξ的分布列为P＝ak(k＝1，2，3，4，5)，则( )
[A] a＝ [B] P＝
[C] P＝ [D] P(ξ＝1)＝
4．(人教A版选择性必修第三册P68方差公式简化计算改编)已知离散型随机变量X的取值为有限个，E(X)＝，D(X)＝，则E(X2)＝________．
5．(2024·重庆长寿区期末)设随机变量X的概率分布列为
X 1 2 3 4
P m
则P(|X－3|＝1)＝( )
[A] [B]
[C] [D]
6．(2024·眉山仁寿县期末)已知随机变量X的分布列为
X 0 1 2
P m
若Y＝3X－2，则E(Y)＝( )
[A] [B]
[C] － [D] －
7．(2025·湖北咸宁模拟)设0X 0 a 1
P
则当a在(0，1)内减小时( )
[A] D(X)减小
[B] D(X)增大
[C] D(X)先减小后增大
[D] D(X)先增大后减小
8．(多选)(2024·四川攀枝花月考)已知正数a，b，c成等差数列，且随机变量X的分布列为
X 1 2 3
P a b c
下列选项正确的是( )
[A] b＝ [B] a＋c＝
[C] 9．(2024·重庆沙坪坝区月考)已知随机变量ξ，D(10ξ)＝，则ξ的标准差为________．
10．(2025·保定模拟)已知随机变量X的所有可能取值为1，2，3，其分布列为
X 1 2 3
P P1 P2 P3
若E(X)＝，则P3－P1＝________．
11．(2024·广州开学考试节选)某公司拟通过摸球中奖的方式对员工发放节日红包．在一个不透明的袋子中装有n个形状大小相同的标有面值的球，每位员工从球袋中一次性随机摸取m个球(m≤n)，摸完后全部放回袋中，球上所标的面值之和为该员工所获得的红包数额．
若n＝5，m＝4，当袋中的球中有1个所标面值为10元，2个为20元，1个为30元，1个为40元时，求员工所获得红包数额的数学期望与方差．
12．(2024·山东潍坊高三模拟)某投资公司对以下两个项目进行前期市场调研．项目A：通信设备．根据调研，投资到该项目上，所有可能结果为获利40%，损失20%，不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，[A] 项目B：新能源汽车．根据调研，投资到该项目上，所有可能结果为获利30%，亏损10%，且这两种情况发生的概率分别为b，[C] 经测算，当投入A，B两个项目的资金相等时，它们所获利润的均值也相等．
(1)求a，b，c的值；
(2)若将100万元全部投到其中的一个项目，请你从投资回报稳定性的角度考虑，为投资公司选择一个合适的项目．
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