课后习题(六十六) 二项分布、超几何分布与正态分布
1．B
2．BCD [由题意知，每次取到白球的概率为，取到黑球的概率为，由于取到白球记1分，取到黑球记0分，所以X为4次取球取到白球的个数，易知X～B，故A错误；P(X＝3)＝＝，故B正确；E(X)＝4×＝，故C正确；D(X)＝4×＝，故D正确．
故选BCD．]
3．C [∵μ＝0，∴P(ξ＞2)＝P(ξ＜－2)＝0.023，
∴P(－2≤ξ≤2)＝1－2×0.023＝0.954．]
4． [由题意得P(X＝2)＝＝．]
5．C [由题意可知其均值为3，2和4关于3对称，
所以P(X≤2)＝P(X≥4)＝0.3，
因此P(X＞2)＝1－P(X≤2)＝0.7．故选C．]
6．AB [由题意可知，P(X＝1)＝，所以E(X)＝0×＋1×＝，
D(X)＝＝，E(3X＋2)＝3E(X)＋2＝4，D(3X＋2)＝9D(X)＝2，故选AB．]
7．D [由题意，只能第一次两人交换相同的粽子，第二次小明用肉粽子换小华的蜜枣粽子，所以P＝＝．]
8．ACD [对于A，由题意可知恰有3个白球的概率为＝，故A正确；
对于B，因为取出的最大号码不是某两类对象中的一类对象，不满足超几何分布的定义，
故X不服从超几何分布，故B错误；
对于C，取出的黑球个数Y服从超几何分布，
P(Y＝0)＝＝，P(Y＝1)＝＝，P(Y＝2)＝＝，P(Y＝3)＝＝，
P(Y＝4)＝＝，显然当Y＝2时，概率最大，故C正确；
对于D，若取出一个白球记2分，取出一个黑球记1分，则总得分最大为取出4个白球，
其概率为＝，故D正确．故选ACD．]
9．1 200 [因为总体密度函数为f (x)＝ ，则μ＝85，
由P(70≤X≤100)＝0.7得P(X>100)＝＝0.15，
所以超过100分的人数大约为8 000×0.15＝1 200．]
10． [X的所有可能取值为0，1，2，3，
则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，故E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝．]
11．解： (1)质检员的要求合理，理由如下：
由已知过滤件的滤烟效率服从正态分布N(0.97，8.1×10-5)，
则σ2＝8.1×10-5＝(9×10-3)2，得σ＝9×10-3＝0.009，
所以0.93＜0.97－0.009×3＝0.943，
由3σ原则得，生产的产品中滤烟效率在3σ以外的值，发生的可能性很小，一旦发生，应停止生产．
(2)①设Y为“综合过滤件滤烟效率”，
则一件过滤件为“优质品”的概率为P(Y＞0.952)＝P(Y＞0.97－2×0.009)＝1－≈0.977 25．
②依题意得X～B(1 000，0.977 25)，记n＝1 000，p＝0.977 25，
则P(X＝k)＝pk(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，103)，
要使可能性最大，
则
即
所以1 001p－1≤k≤1 001p，即977.23≤k≤978.23，
所以k＝978，所以当X为978件时可能性最大．
12．解： (1)若第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，则每次中奖的概率为＝，
因为两次抽奖相互独立，所以中奖次数X服从二项分布，即X～B，
所以X的所有可能取值为0，1，2，
则P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
所以E(X)＝2×＝．
(2)若第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，中奖次数Y的所有可能取值为0，1，2，
则P(Y＝0)＝＝，
P(Y＝1)＝＝，
P(Y＝2)＝＝，
所以Y的分布列为
Y 0 1 2
P
所以E(Y)＝0×＋1×＋2×＝．
(3)第(1)(2)两问的数学期望相等，
第(1)问中两次中奖的概率比第(2)问的小，即<，
第(1)问不中奖的概率比第(2)问小，即<．
回答一：若商场老板希望中两次奖的顾客多，产生宣传效应，则选择按第(2)问方式进行抽奖．
回答二：若商场老板希望中奖的顾客多，则选择按第(1)问方式进行抽奖．
1/1课后习题(六十六) 二项分布、超几何分布与正态分布
1．(北师大版选择性必修第一册P229复习题六A组T3改编)已知随机变量X～B(4，p)，若E(X)＋D(X)＝，则P(X≥1)＝( )
[A] [B]
[C] [D]
2．(多选)(苏教版选择性必修第二册P145复习题T14改编)若袋子中有2个白球、3个黑球(球除了颜色不同，没有其他任何区别)，现从袋子中有放回地随机取球4次，每次取一个球．取到白球记1分，取到黑球记0分，记4次取球的总分数为X，则( )
[A] X～B [B] P(X＝3)＝
[C] E(X)＝ [D] D(X)＝
3．(人教A版选择性必修第三册P87练习T2改编)已知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)，若P(ξ＞2)＝0.023，则P(－2≤ξ≤2)＝( )
[A] 0.477 [B] 0.628
[C] 0.954 [D] 0.977
4．(人教A版选择性必修第三册P78例5改编)在含有3件次品的10件产品中，任取4件，X表示取到的次品的个数，则P(X＝2)＝________．
5．(2024·潍坊二模)已知随机变量X～N(3，σ2)，且P(X≥4)＝0.3，则P(X＞2)＝( )
[A] 0.2 [B] 0.3
[C] 0.7 [D] 0.8
6．(多选)(2025·辽宁沈阳高三模拟)若随机变量X服从两点分布，其中P(X＝0)＝，E(X)，D(X)分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论正确的是( )
[A] P(X＝1)＝E(X) [B] E(3X＋2)＝4
[C] D(3X＋2)＝4 [D] D(X)＝
7．(2024·北海模拟)端午佳节，小明和小华各自带了一只肉粽子和一只蜜枣粽子．现在两人每次随机交换一只粽子给对方，则两次交换后，小明拥有两只蜜枣粽子的概率为( )
[A] [B]
[C] [D]
8．(多选)(2024·长春南关区月考)袋中有10个大小相同的球，其中6个黑球编号为1，2，3，4，5，6，4个白球编号为7，8，9，10，现从中任取4个球，则下列结论中正确的是( )
[A] 恰有3个白球的概率为
[B] 取出的最大号码X服从超几何分布
[C] 设取出的黑球个数为Y，当Y＝2时，概率最大
[D] 若取出一个白球记2分，取出一个黑球记1分，则总得分最大的概率为
9．(2024·上海青浦区模拟)某区学生参加模拟大联考，假如联考的数学成绩服从正态分布，其总体密度函数为f (x)＝ ，且P(70≤X≤100)＝0.7，若参加此次联考的学生共有8 000人，则数学成绩超过100分的人数大约为________．
10．(2024·沈阳期末)从含有6件正品和4件次品的产品中任取3件，记X为所抽取的次品数，则E(X)＝________．
11．(2024·哈尔滨道里区期末)某防护用品生产厂生产的综合过滤件的滤烟效率服从正态分布N(0.97，8.1×10-5)(该厂防毒面具中综合过滤件的滤烟效率需要达到不低于95%的标准)．
(1)某质检员随机从生产线抽检10只产品，测量出一只产品的滤烟效率为93%．他立即要求停止生产，检查设备和工人工作状况．请你依据所学知识，判断该质检员要求是否合理，并简要说明判断的依据；
(2)该工厂将滤烟效率达到95.2%以上的综合过滤件定义为“优质品”．
①求该生产线生产的一只综合过滤件为“优质品”的概率；
②该企业生产了1 000只这种综合过滤件，且每只产品相互独立，记X为这1 000只产品中“优质品”的件数，当X为多少件时可能性最大(即概率最大)
参考数据：P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3．
12．(2025·广州模拟)某商场为了回馈广大顾客，设计了一个抽奖活动，在抽奖箱中放10个大小相同的小球，其中5个为红色，5个为白色．抽奖方式为：每名顾客进行两次抽奖，每次抽奖从抽奖箱中一次性摸出两个小球．如果每次抽奖摸出的两个小球颜色相同即为中奖，两个小球颜色不同即为不中奖．
(1)若规定第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，求中奖次数X的分布列和数学期望；
(2)若规定第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，求中奖次数Y的分布列和数学期望；
(3)如果你是商场老板，如何在上述两种抽奖方式中进行选择？请写出你的选择及简要理由．
1/1
