课后习题(六十八) 用样本估计总体
1．(人教A版必修第二册P211问题3改编)下列说法正确的是( )
[A] 在两组数据中，平均数较大的一组极差较大
[B] 平均数反映数据的集中趋势，方差反映数据波动的大小
[C] 方差的求法是求出各个数据与平均数的差的平方后再求和
[D] 在记录两个射击环数的两组数据中，方差大说明射击水平稳定
2．(苏教版必修第二册P270本章测试T7改编)10名工人某天生产同一零件，生产的件数分别是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则( )
[A] a>b>c [B] b>c>a
[C] c>a>b [D] c>b>a
3．(苏教版必修第二册P271本章测试T10改编)某学校共有学生2 000人，其中高一800人，高二、高三各600人，学校对学生在暑假期间每天的读书时间做了调查统计，全体学生每天的读书时间的平均数为＝3，方差为s2＝1.966，其中三个年级学生每天读书时间的平均数分别为＝2.7，＝3.1，＝3.3，又已知高一学生、高二学生每天读书时间的方差分别为＝＝2，则高三学生每天读书时间的方差＝________．
4．(湘教版必修第一册P253练习T2改编)某市为了鼓励居民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量(单位：千瓦时)划分为三档，月用电量不超过200千瓦时的部分按0.5元/千瓦时收费，超过200千瓦时但不超过400千瓦时的部分按0.8元/千瓦时收费，超过400千瓦时的部分按1.0元/千瓦时收费．
(1)求某户居民月用电费用y(单位：元)关于月用电量x(单位：千瓦时)的函数解析式；
(2)为了了解居民的用电情况，通过抽样获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图．若这100户居民中，今年1月份用电费用低于260元的占80%，求a，b的值；
(3)根据(2)中求得的数据计算用电量的75%分位数．
5．(2024·遵义二模)样本数据11，12，13，15，16，13，14，15，11的第一四分位数为( )
[A] 11.5 [B] 12
[C] 12.5 [D] 13
6．(2025·淮北模拟)四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是( )
[A] 平均数为3，中位数为2
[B] 中位数为3，众数为2
[C] 平均数为2，方差为2.4
[D] 中位数为3，方差为2.8
7．(2025·阜阳模拟)从某市的中学生中随机调查了部分男生，获得了他们的身高数据，整理得到如图所示的频率分布直方图：
根据频率分布直方图，可知这部分男生的身高的中位数的估计值为( )
[A] 171.25 cm [B] 172.75 cm
[C] 173.75 cm [D] 175 cm
8．(2025·厦门模拟)如图，一组数据x1，x2，x3，…，x9，x10的平均数为5，方差为，去除x9，x10这两个数据后，平均数为，方差为，则( )
[A] [B]
[C] ＝ [D] ＝
9．(多选)(2024·宁德期末)若x是样本数据a，b，c，d的平均数，则( )
[A] a，b，c，d的极差等于a，b，c，d，x的极差
[B] a，b，c，d的中位数等于a，b，c，d，x的中位数
[C] a，b，c，d的众数等于a，b，c，d，x的众数
[D] a，b，c，d的方差大于a，b，c，d，x的方差
10．(2024·保定期末)某校学生组织数学知识竞答(满分100)，并从中随机抽取了100名学生的成绩为样本，分成[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，得到如图所示频率分布直方图，估计该校学生数学知识竞答成绩的平均数为________．
11．(2025·珠海模拟)某班有男学生20人，女学生30人，为调查学生的课后阅读情况，现将学生分成男生、女生两个小组．对两组学生某个月的课后阅读时长进行统计，情况如下表：
课后阅读时长平均数(小时) 方差
男生组 25 1
女生组 26 1.1
则该班学生这个月的课后阅读时长平均数为________，方差为________．
12．(2025·吴忠模拟)某蛋糕店计划按天生产一种面包，每天生产量相同，生产成本每个6元，售价每个8元，未售出的面包降价处理，以每个5元的价格当天全部处理完．
(1)若该蛋糕店一天生产30个这种面包，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：个，n∈N)的函数解析式；
(2)蛋糕店记录了30天这种面包的日需求量(单位：个)，整理得表：
日需求量n 28 29 30 31 32 33
频数 3 4 6 6 7 4
假设蛋糕店在这30天内每天生产30个这种面包，求这30天的日利润(单位：元)的平均数及方差；
(3)蛋糕店规定：若连续10天的日需求量都不超过10个，则立即停止这种面包的生产，现给出连续10天日需求量的统计数据为“平均数为6，方差为2”，试根据该统计数据决策是否一定要停止这种面包的生产？并给出理由．
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1．B 2．D
3．
3 [由题意可得，1.966＝＋(3.3－3)2]，
解得＝3．]
4．解： (1)当0≤x≤200时，y＝0.5x；
当200当x>400时，y＝0.5×200＋0.8×200＋1.0×(x－400)＝x－140．
所以y与x之间的函数解析式为
y＝
(2)由(1)可知，当y＝260时，x＝400，即用电量低于400千瓦时的占80%，
结合频率分布直方图可知
解得a＝0.001 5，b＝0.002 0．
(3)用电量低于300千瓦时的所占比例为(0.001 0＋0.002 0＋0.003 0)×100×100%＝60%，
同理得用电量低于400千瓦时的占80%，所以75%分位数在[300，400)内，所以300＋×100＝375，即用电量的75%分位数为375千瓦时．
5．B 6．C 7．C
8．D [由题意可得：xi＝5，x9＝1，x10＝9，则xi＝50，
故＝xi＝＝(50－1－9)＝5，
∵x9，x10是波动最大的两个点的值，则去除x9，x10这两个数据后，整体波动性减小，
故．
故选D．]
9．AD [设样本数据a，b，c，d中，最小值为a，最大值为d．
A项，样本数据a，b，c，d的平均数为x，其极差为d－a，而样本数据a，b，c，d，x加入原样本数据的平均数x，其最值和原样本数据是一样的，则极差还是d－a，故A正确；
B项，由于样本数据a，b，c，d的中位数为，而样本数据a，b，c，d，x的中位数为b，c，x中排在中间的数，则原样本数据的中位数不一定等于新样本数据的中位数，故B错误；
C项，由于样本数据a，b，c，d与样本数据a，b，c，d，x的数据都没有实际数据，均没办法判断众数，故C错误；
D项，样本数据a，b，c，d的方差为[(a－x)2＋(b－x)2＋(c－x)2＋(d－x)2]，样本数据a，b，c，d，x的方差为[(a－x)2＋(b－x)2＋(c－x)2＋(d－x)2＋(x－x)2]＝[(a－x)2＋(b－x)2＋(c－x)2＋(d－x)2]，显然前者更大，故D正确．
故选AD．]
10．75.5 [由(a＋0.02＋0.035＋0.025＋a)×10＝1，解得a＝0.01，
估计该校学生数学知识竞答成绩的平均数为55×0.1＋65×0.2＋75×0.35＋85×0.25＋95×0.1＝75.5．]
11．25.6 1.3 [由题意可知，该班学生这个月的课后阅读时长平均数为＝×25＋×26＝25.6，
所以该班学生这个月的课后阅读时长方差为
s2＝×[1＋(25－25.6)2]＋×[1.1＋(26－25.6)2]＝1.3．]
12．解： (1)由题意可知，当天需求量n＜30时，当天的利润y＝8n＋5(30－n)－6×30＝3n－30，
当天需求量n≥30时，当天的利润y＝8×30－6×30＝60．
故当天的利润y关于当天需求量n的函数解析式为y＝n∈N．
(2)由题意可得：
日需求量n 28 29 30 31 32 33
日利润 54 57 60 60 60 60
频数 3 4 6 6 7 4
所以这30天的日利润的平均数为
＝59(元)，
方差为
＝3.8．
(3)根据该统计数据，一定要停止这种面包的生产．理由如下：
由s2＝＝＝2，
可得(x1－6)2＋(x2－6)2＋…＋(x10－6)2＝20，
所以(xk－6)2≤20(1≤k≤10，k∈N，xk∈N)，所以xk≤10，
由此可以说明连续10天的日需求量都不超过10个，即说明一定要停止这种面包的生产．
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