课后习题(六十九) 一元线性回归模型及其应用
1．(人教A版选择性必修第三册P103习题8.1T1改编)已知两个变量的相关关系有①正相关，②负相关，③不相关，则下列散点图从左到右分别反映的变量间的相关关系依次是( )
[A] ①②③ [B] ②③①
[C] ②①③ [D] ①③②
2．(人教B版选择性必修第二册P115练习B T2改编)某冷饮店日盈利y(单位：百元)与当天气温x(单位：℃)之间有如下数据：
x/℃ 15 20 25 30 35
y/百元 1 2 2 4 5
已知y与x之间具有线性相关关系，则y与x的经验回归方程是( )
[A] ＝0.2x－2 [B] ＝0.2x－2.2
[C] ＝0.2x＋2 [D] ＝0.2x＋2.2
3．(多选)(人教A版选择性必修第三册P120习题8.2T2改编)已知变量x，y的取值情况如表所示，画出散点图分析可知y与x线性相关，如果经验回归方程为＝0.95x＋2.5，则下列说法正确的是( )
x 0 1 2 3 4
y 2.3 4.3 4.4 4.8 m
[A] m的值为6.2
[B] 经验回归直线必过点(2，4.4)
[C] 样本点(4，m)处的残差为0.1
[D] 将此表中的数据(2，4.4)去掉后，样本相关系数r不变
4．(苏教版选择性必修第二册P187本章测试T6改编)动力电池作为新能源汽车的核心部件，在新能源整车成本中占比较高，而碳酸锂又是动力电池的核心原料．从2020年底开始，碳酸锂的价格一路水涨船高．如下表所示是2024年某企业前5个月碳酸锂的价格与月份的统计数据：
月份代码x 1 2 3 4 5
碳酸锂价格y(万元/kg) 0.5 0.6 1 m 1.5
根据表中数据，得出y关于x的经验回归方程为＝0.28x＋，根据数据计算出在样本点(5，1.5)处的残差为－0.06，则m＝________．
5．(2025·成都模拟)对变量x，y有观测数据(xi，yi)(i∈N*)，得散点图1；对变量u，v有观测数据(ui，vi)(i∈N*)，得散点图2．r1表示变量x，y之间的样本相关系数，r2表示变量u，v之间的样本相关系数，则下列说法正确的是( )
[A] 变量x与y呈现正相关，且|r1|＜|r2|
[B] 变量x与y呈现负相关，且|r1|＞|r2|
[C] 变量x与y呈现正相关，且|r1|＞|r2|
[D] 变量x与y呈现负相关，且|r1|＜|r2|
6．(2024·重庆长寿区期末)设某中学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i＝1，2，…，n)，用最小二乘法建立的经验回归方程为＝0.84x－86.71．若该中学女生的平均身高为160 cm，则该中学女生的平均体重的估计值是( )
[A] 47.69 kg [B] 48.69 kg
[C] 57.69 kg [D] 58.69 kg
7．(2024·内江东兴区月考)相关变量的样本数据如下表，
x 1 2 3 4 5 6 7
y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 a 5.9
经回归分析可得y与x线性相关，并由最小二乘法求得经验回归方程为y＝0.5x＋2.3，下列说法正确的是( )
[A] x增加1时，y一定增加2.3
[B] 变量x与y负相关
[C] 当y为6.3时，x一定是8
[D] a＝5.2
8．(2024·泰安期末)某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位：℃)的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽试验，由试验数据(xi，yi)(i＝1，2，…，20)，得到下面的散点图．由此散点图，在10 ℃至40 ℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是( )
[A] y＝a－bx [B] y＝a＋b
[C] y＝a＋bex-2 [D] y＝
9．(多选)(2024·长沙适应性考试)自然环境中，大气压受到各种因素的影响，如温度、湿度、风速和海拔等方面的改变，都将导致大气压发生相应的变化，其中以海拔的影响最为显著．如图是根据一组观测数据得到海拔6千米～15千米的大气压散点图，根据一元线性回归模型得到经验回归方程为1＝－4.0x＋68.5，决定系数为＝0.99；根据非线性回归模型得到经验回归方程为2＝132.9e-0.163x，决定系数为＝0.99，则下列说法正确的是( )
[A] 由散点图可知，大气压与海拔负相关
[B] 由方程1＝－4.0x＋68.5可知，海拔每升高1千米，大气压必定降低4.0 kPa
[C] 由方程1＝－4.0x＋68.5可知，样本点(11，22.6)的残差为－1.9
[D] 对比两个回归模型，结合实际情况，方程＝132.9e-0.163x的预报效果更好
10．(2025·重庆沙坪坝区校级模拟)已知成对样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2)中x1，x2，…，xn不全相等，且所有样本点(xi，yi)(i＝1，2，…，n)都在直线y＝－x＋1上，则这组成对样本数据的样本相关系数r＝________，其决定系数R2＝________．
11．(2025·武汉模拟)随着科技发展的日新月异，人工智能融入了各个行业，促进了社会的快速发展．其中利用人工智能生成的虚拟角色因为拥有更低的人工成本，正逐步取代传统的真人直播带货．某公司使用虚拟角色直播带货销售金额得到逐步提升，以下为该公司自2024年8月使用虚拟角色直播带货后的销售金额情况统计．
年月 2024年 8月 2024年 9月 2024年 10月 2024年 11月 2024年 12月 2025年 1月
月份编号x 1 2 3 4 5 6
销售金额y/万元 15.4 25.4 35.4 85.4 155.4 195.4
若y与x的相关关系拟用线性回归模型表示，回答如下问题：
(1)试求变量y与x的样本相关系数r(结果精确到0.01)；
(2)试求y关于x的经验回归方程，并据此预测2025年2月份该公司的销售金额．
附：经验回归方程＝x＋，其中＝，＝－，
样本相关系数r＝．
参考数据：＝2 463.4，＝20．
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1．D 2．B
3．ABD [由题意可知，＝×(0＋1＋2＋3＋4)＝2，＝×(2.3＋4.3＋4.4＋4.8＋m)＝×(15.8＋m)，所以样本点中心为，将代入＝0.95x＋2.5，可得＝0.95×2＋2.5，解得m＝6.2，故A正确；由m＝6.2，得样本点中心为(2，4.4)，所以经验回归直线必过点(2，4.4)，故B正确；当x＝4时，＝0.95×4＋2.5＝6.3，由m＝6.2，得样本点(4，6.2)处的残差为6.2－6.3＝－0.1，故C错误；因为＝4.4－4.4＝0，由样本相关系数的公式知，r＝，所以将此表中的数据(2，4.4)去掉后，样本相关系数r不变，故D正确．故选ABD．]
4．1.4 [由题意，样本点(5，1.5)处的残差为－0.06，则1.5－(0.28×5＋)＝－0.06，解得＝0.16．
由题表数据可得，＝×(1＋2＋3＋4＋5)＝3，
＝×(0.5＋0.6＋1＋m＋1.5)＝，
则＝0.28×3＋0.16，解得m＝1.4．]
5．C 6．A 7．D
8．B [由散点图知，各个点在一条曲线附近，随着温度的升高，发芽率逐渐增大，而增长速度越来越慢，
对于A，y＝a－bx的图象是直线，不符合题意；
对于B，当b＞0时，y＝a＋b是增函数，增长速度越来越慢，适合作为发芽率y和温度x的回归方程类型，符合题意；
对于C，当b＞0时，y＝a＋bex-2是增函数，增长速度越来越快，不符合题意；
对于D，y＝a＋是减函数，不符合题意．
故选B．]
9．ACD [对于A，由题图知，海拔越高，大气压越小，所以大气压与海拔负相关，故A正确；
对于B，经验回归直线得到的数据为估计值，而非精确值，故B错误；
对于C，当x＝11时，1＝－4.0×11＋68.5＝24.5，又由散点图知观测值为22.6，所以样本点(11，22.6)的残差为22.6－24.5＝－1.9，故C正确；
对于D，随着海拔的增加，大气压越来越小，但不可能为负数，因此方程2＝132.9e-0.163x的预报效果更好，故D正确．故选ACD．]
10．－1 1 [因为所有样本点(xi，yi)(i＝1，2，…，n)都在直线y＝－x＋1上，
所以这组样本数据完全负相关，所以r＝－1，R2＝1．]
11．解： (1)＝×(1＋2＋3＋4＋5＋6)＝3.5，
＝×(15.4＋25.4＋35.4＋85.4＋155.4＋195.4)＝85.4，
＝17.5，
r＝
＝
＝≈0.96．
(2)由题意＝≈38.3，
＝＝85.4－3.5×38.3＝－48.65，
所以y关于x的经验回归方程为＝38.3x－48.65，
所以预测2025年2月份该公司的销售金额为＝38.3×7－48.65＝219.45(万元)．
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