《高考快车道》2026版高三一轮总复习数学(基础版)2026年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷3(pdf版,含答案)

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名称 《高考快车道》2026版高三一轮总复习数学(基础版)2026年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷3(pdf版,含答案)
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资源类型 试卷
版本资源 通用版
科目 数学
更新时间 2025-07-03 10:45:16

文档简介

2026年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷(三)
(时间:120分钟 满分:150分)
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.=(  )
A.-i B.i
C.-1 D.1
C [因为=-i,
所以=(-i)2=i2=-1.故选C.]
2.已知全集U=R,A={x||x|>1},B={x|log2x<1},则( UA)∩B=(  )
A.(0,1] B.[1,2)
C.[-1,1] D.[-1,2)
A [因为全集U=R,集合A={x||x|>1}={x|x<-1或x>1}.
所以 UA={x|-1≤x≤1},
又集合B={x|log2x<1}={x|0所以( UA)∩B=(0,1].故选A.]
3.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点作直线交抛物线于P,Q两点,若线段PQ中点的横坐标为2,|PQ|=6,则抛物线的方程是(  )
A.y2=2x B.y2=4x
C.y2=6x D.y2=8x
B [设P(x1,y1),Q(x2,y2),由题意知=2,即x1+x2=4.
又|PQ|=x1+x2+p=6,得p=2,∴抛物线的方程为y2=4x.故选B.]
4.已知{an}是等比数列,且a2a7=-a8=-4a4,则a3=(  )
A.- B.±
C.-2 D.±2
C [法一:设等比数列{an}的公比为q,
∵a2a7=-a8=-4a4,
∴q7=-a1q7=-4a1q3.
∵a1≠0,∴a1=-1,q2=2,
∴a3=a1q2=-2,故选C.
法二:由等比数列的性质可得a2a7=a1a8=-a8,
∵an≠0,∴a1=-1,同理a2a7=a4a5=-4a4,
∴a5=-4,又a1a5==4,a1,a3,a5同号,
∴a3=-2,故选C.]
5.已知二项式的展开式中x2的系数是280,则实数a的值等于(  )
A.1 B.2
C.±1 D.±2
C [二项式的展开式的通项Tk+1==27-k·x14-3k,令14-3k=2,解得k=4,所以23·=280,解得a=±1.故选C.]
6.已知变量x和y的统计数据如表:
x 1 2 3 4 5
y 0.9 1.3 1.8 2.4 3.1
若x,y线性相关,经验回归方程为y=0.55x+a,据此可以预测当x=10时,y=(  )
A.5.75 B.7.5
C.7.55 D.8
A [由题意可知,×(1+2+3+4+5)=3,×(0.9+1.3+1.8+2.4+3.1)=1.9,
因为经验回归直线y=0.55x+a过点,所以1.9=0.55×3+a,
解得a=0.25,所以y=0.55x+0.25,当x=10时,y=5.75.故选A.]
7.已知O是△ABC所在平面内一点,且=2,=1,则∠ABC的最大值为(  )
A. B.
C. D.
B [根据=1可得=·=2=2,解得=,在△ABC中,由正弦定理可知,即sin ∠ABC=sin ∠ACB≤.因为<2,即AC8.已知定义域是R的函数f (x)满足对于任意x,y∈R都有f (xy+1)=f (x)f (y)-2f (x)-2y+3,且f (0)=2,则=(  )
A. B.
C. D.
C [因为f (xy+1)=f (x)f (y)-2f (x)-2y+3,且f (0)=2,所以令x=y=0,得f (1)=[f (0)]2-2f (0)-2×0+3,所以f (1)=3.令x=n,y=1,得f (n+1)=f (n)f (1)-2f (n)-2×1+3,即f (n+1)=f (n)+1,所以数列{f (n)}(n∈N*)是以3为首项,1为公差的等差数列,则f (n)=3+1×(n-1)=n+2.所以,所以.故选C.]
二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,Q分别为棱BC和棱CC1的中点,则下列说法正确的是(  )
A.BC1∥平面AQP
B.平面AQP截正方体所得截面为等腰梯形
C.A1D⊥平面AQP
D.异面直线QP与A1C1所成的角为60°
ABD [对于选项A:依题意得BC1∥PQ,PQ 平面AQP,BC1 平面AQP,
所以BC1∥平面AQP,故A正确;
对于选项B:平面AQP截正方体所得截面为四边形APQD1,
因为AD1∥PQ,且AD1≠PQ,又AP=D1Q,
所以四边形APQD1为等腰梯形,故B正确;
对于选项C:若A1D⊥平面AQP,则A1D⊥AP,由A1A⊥平面ABCD得A1A⊥AP,且A1D∩A1A=A1,
所以AP⊥平面ADD1A1,显然矛盾,故C错误;
对于选项D:因为BC1∥PQ,所以∠A1C1B是异面直线QP与A1C1所成的角,
由△A1C1B为等边三角形可知∠A1C1B=60°,故D正确.故选ABD.]
10.已知函数f (x)=ln x-,则(  )
A.f (x)的定义域为(0,+∞)
B.f (x)的图象在点(2,f (2))处的切线斜率为
C.f+f (x)=0
D.f (x)有两个零点x1,x2,且x1x2=1
BCD [因为f (x)=ln x-,所以解得x>0且x≠1,所以函数f (x)的定义域为(0,1)∪(1,+∞),所以A错误;
f (x)=ln x-=ln x-1-,
所以f ′(x)=,所以f ′(2)=,所以B正确;
f+f (x)=ln +ln x-=-ln x-+ln x-=0,所以C正确;
因为f ′(x)=>0,所以函数f (x)在(0,1)和(1,+∞)上单调递增,又f-ln 8<0,f=3-ln 2>0,f (2)=ln 2-3<0,f (8)=ln 8-=f (x2)=0,因为f (x)+f=0,所以=0,得f=0,所以f=0,因为x1∈(0,1),所以>1,又x2∈(1,+∞),且f (x)在(1,+∞)上单调递增,所以=x2,即x1x2=1,所以D正确.故选BCD.]
11.在平面直角坐标系中,A(-2,0),动点P满足|PA|=,得到动点P的轨迹是曲线C.则下列说法正确的是(  )
A.曲线C的方程为(x-2)2+y2=8
B.若直线y=kx+4与曲线C有公共点,则k的取值范围是
C.当O,A,P三点不共线时,若点D,则射线PD平分∠APO
D.过曲线C外一点(a-4,a)作曲线C的切线,切点分别为M,N,则直线MN过定点
ACD [设点P(x,y),由|PA|=,得(x+2)2+y2=2(x2+y2),化简得x2+y2-4x-4=0,即曲线C的方程为(x-2)2+y2=8,所以A正确;
曲线C的轨迹为圆,且该圆的圆心为C(2,0),半径为2,若直线y=kx+4与曲线C有公共点,则,化简得k2-4k-2≥0,解得k≤2-或k≥2+,所以B错误;
由题意可知点P满足,因为D,A(-2,0),所以,所以,又O,P,A三点不共线,所以射线PD平分∠APO,所以C正确;
设E(a-4,a),连接EC(图略),则E,M,N,C四点共圆,且该圆以EC为直径,所以过点E,M,N,C的圆的方程为(x-a+4)(x-2)+(y-a)y=0,化简得x2+y2+(2-a)x-ay+2a-8=0,又圆C的方程为x2+y2-4x-4=0,直线MN即两圆的公共弦所在的直线,所以直线MN的方程为(6-a)x-ay+2a-4=0,即(6x-4)-a(x+y-2)=0,由得所以直线MN过定点,所以D正确.故选ACD.]
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.数列{an}满足an+2-an=2,若a1=1,a4=4,则数列{an}的前20项的和为________.
210 [由题意知,{a2k-1}和{a2k}(k∈N*)均为以2为公差的等差数列,an+2-an=2,令n=2,得a4-a2=2,又a4=4,∴a2=2,∴数列{an}的前20项和S20=a1+a2+…+a20=(a1+a3+…+a19)+(a2+a4+…+a20)=10a1+×2=210.]
13.若f (x)=在R上单调递减,则a的取值范围为________.
 [因为f(x)=
在R上单调递减,
所以
14.已知函数f (x)=sin ωx(ω>0),若 x1,x2∈,f (x1)=-1,f (x2)=1,则实数ω的取值范围是________.
 [因为x∈,ω>0,所以ωx∈,则由题意知
解得
对于②:当k=-1时,不等式不成立,
当k=0时,ω=;
当k=1时,≤ω≤;
当k=2时,≤ω≤;
当k=3时,≤ω≤;
……
①②求交集,得ω=或ω≥.]
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a sin B=-b cos A,角A的平分线交边BC于点D,且AD=1.
(1)求∠BAC的大小;
(2)若BC=2,求△ABC的面积.
[解] (1)因为a sin B=-b cos ∠BAC,
所以由正弦定理可得sin ∠BAC sin B
=-sin B cos ∠BAC,
因为sin B≠0,所以sin ∠BAC=-cos ∠BAC,
故tan ∠BAC=-,又0°<∠BAC<180°,
所以∠BAC=120°.
(2)由题意可知S△ABD+S△ACD=S△ABC,
即c sin 60°+b sin 60°=bc sin 120°,化简可得b+c=bc.
在△ABC中,由余弦定理的推论得cos ∠BAC=,
从而,解得bc=5或bc=-4(舍去),
所以S△ABC=bc sin ∠BAC=×5×sin 120°=.
16.(15分)已知函数f (x)=ln x+eax-ax(a∈R).
(1)若曲线y=f (x)在x=1处的切线的斜率为1,求该切线方程;
(2)讨论函数f (x)的单调性.
[解] (1)由题意知,f ′(x)=+aeax-a,
则f ′(1)=1+aea-a.
因为曲线y=f (x)在x=1处的切线的斜率为1,
所以f ′(1)=1,即1+aea-a=1,即a(ea-1)=0,
所以a=0或ea=1,
因此a=0,f (x)=ln x+1,f (1)=1,
所以曲线y=f (x)在x=1处的切线方程为y-1=x-1,即x-y=0.
(2)f (x)的定义域为(0,+∞),f ′(x)=+aeax-a=+a(eax-1).
若a=0,则f ′(x)=>0,f (x)在(0,+∞)上单调递增.
若a>0,则当x∈(0,+∞)时,ea>1,eax=(ea)x>(ea)0=1,于是eax-1>0,a(eax-1)>0,+a(eax-1)>0,即f ′(x)>0,f (x)在(0,+∞)上单调递增.
若a<0,则当x∈(0,+∞)时,00,+a(eax-1)>0,即f ′(x)>0,f (x)在(0,+∞)上单调递增.
综上,函数f (x)在(0,+∞)上单调递增.
17.(15分)如图,在三棱锥D-ABC中,AB=AD=BD=3,AC=7,BC=CD=5.
(1)证明:平面ACD⊥平面ABC;
(2)若E是线段CD上的点,且,求平面ABE与平面ABC夹角的正切值.
[解] (1)证明:在△ACD中,
cos ∠CAD=,
∴∠CAD=45°.
过点D作DO⊥AC于点O,连接BO,
则DO=AD·sin 45°=3.
∵AB=AD,CD=CB,
∴△ABC≌△ADC,即OB=OD=3,
又BD=3,
∴OB2+OD2=BD2,
∴OD⊥OB.
又OD⊥AC,OB∩AC=O,
∴OD⊥平面ABC.
又OD 平面ACD,
∴平面ACD⊥平面ABC.
(2)由(1)知,OA,OB,OD两两垂直,以O为坐标原点,OA,OB,OD所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系Oxyz,
则A(3,0,0),B(0,3,0),D(0,0,3),C(-4,0,0),
∴=(-3,3,0),
∵,∴E,
∴.
设n=(x,y,z)是平面ABE的法向量,
则即
令x=1,则y=1,z=8,可得n=(1,1,8)为平面ABE的一个法向量.
易知m=(0,0,1)是平面ABC的一个法向量,
设平面ABE与平面ABC的夹角为θ,
则cos θ=|cos 〈m,n〉|=,
又sin2θ+cos2θ=1,
∴sinθ=,
可得tan θ=,
∴平面ABE与平面ABC夹角的正切值为.
18.(17分)某市一调研机构为了了解当地学生对我国航天事业发展的关注度,随机地从本市大学生和高中生中抽取一个容量为n的样本进行调查,调查结果如表:
单位:人
学生群体 关注度 合计
关注 不关注
大学生 n n
高中生
合计
附:
α 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001
xα 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
χ2=,其中n=a+b+c+d.
(1)完成上述列联表,依据小概率值α=0.05的独立性检验,认为关注航天事业发展与学生群体有关,求样本容量n的最小值;
(2)该市为了提高本市学生对航天事业的关注,举办了一次航天知识闯关比赛,包含三个问题,有两种答题方案选择:
方案一:回答三个问题,至少答出两个可以晋级;
方案二:在三个问题中,随机选择两个问题,都答对可以晋级.
已知小华同学答出三个问题的概率分别是,小华回答三个问题正确与否相互独立,则小华应该选择哪种方案晋级的可能性更大?(说明理由)
[解] (1)补全列联表如表所示.
单位:人
学生群体 关注度 合计
关注 不关注
大学生 n n n
高中生 n n n
合计
零假设为
H0:关注航天事业发展与学生群体无关.
根据列联表中的数据,经计算得到
χ2=.
因为依据小概率值α=0.05的独立性检验,认为关注航天事业发展与学生群体有关,
所以χ2=≥3.841,解得n≥30.25,
又由题可知,n是10的倍数,∴nmin=40.
(2)记小华同学答出三个问题的事件分别为A,B,C,
则P(A)=,P(B)=,P(C)=.
记选择方案一晋级的概率为P1,
则P1=P+P+P+P(ABC)=.
记选择方案二晋级的概率为P2,
则P2=P(AB)+P(BC)+P(AC)=.
因为P1>P2,所以小华选择方案一晋级的可能性更大.
19.(17分)已知抛物线H:x2=2py(p为常数,p>0).
(1)若直线l:y=kx-2pk+2p与H只有一个公共点,求k;
(2)贝塞尔曲线是计算机图形学和相关领域中重要的参数曲线.法国数学家卡斯特里奥对贝塞尔曲线进行了图形化应用的测试,提出了卡斯特里奥算法,这个算法的一个应用为:已知三个定点,根据对应的比例,使用递推画法,可以画出抛物线.据此算法,已知抛物线上三点对应的切线,也有相应成比例的结论.如图所示,A,B,C是H上不同的三点,此三点处的三条切线两两交于点D,E,F,证明:.
[解] (1)将y=kx-2pk+2p代入x2=2py中,得关于x的一元二次方程x2-2pkx+4p2(k-1)=0,
由题意知Δ1=4p2k2-4(4p2k-4p2)=0,化简得k2-4k+4=0,解得k=2.
(2)设A(xA,yA),B(xB,yB),C(xC,yC),D(xD,yD),E(xE,yE),F (xF,yF),
设抛物线x2=2py在点A处的切线方程为y-yA=kA(x-xA),
由消去y得关于x的一元二次方程x2-2pkAx+2pkAxA-2pyA=0,
则Δ2=-4(2pkAxA-2pyA)=-8pkAxA+8pyA=0,化简得-2xAkA+2yA=0,故=0,得kA=,
故在点A处的切线方程为y-yA=(x-xA),化简得2py=2xAx-.
同理可得抛物线在点B,C处的切线方程分别为2py=2xBx-.
将在点A,B,C处的切线方程两两联立,可得xD=,
则,同理可得.
故.
1/12026年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷(三)
(时间:120分钟 满分:150分)
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.=(  )
[A] -i [B] i
[C] -1 [D] 1
2.已知全集U=R,A={x||x|>1},B={x|log2x<1},则( UA)∩B=(  )
[A] (0,1] [B] [1,2)
[C] [-1,1] [D] [-1,2)
3.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点作直线交抛物线于P,Q两点,若线段PQ中点的横坐标为2,|PQ|=6,则抛物线的方程是(  )
[A] y2=2x [B] y2=4x
[C] y2=6x [D] y2=8x
4.已知{an}是等比数列,且a2a7=-a8=-4a4,则a3=(  )
[A] - [B] ±
[C] -2 [D] ±2
5.已知二项式的展开式中x2的系数是280,则实数a的值等于(  )
[A] 1 [B] 2
[C] ±1 [D] ±2
6.已知变量x和y的统计数据如表:
x 1 2 3 4 5
y 0.9 1.3 1.8 2.4 3.1
若x,y线性相关,经验回归方程为y=0.55x+a,据此可以预测当x=10时,y=(  )
[A] 5.75 [B] 7.5
[C] 7.55 [D] 8
7.已知O是△ABC所在平面内一点,且=2,=1,则∠ABC的最大值为(  )
[A]  [B] 
[C]  [D] 
8.已知定义域是R的函数f (x)满足对于任意x,y∈R都有f (xy+1)=f (x)f (y)-2f (x)-2y+3,且f (0)=2,则=(  )
[A]  [B] 
[C]  [D] 
二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,Q分别为棱BC和棱CC1的中点,则下列说法正确的是(  )
[A] BC1∥平面AQP
[B] 平面AQP截正方体所得截面为等腰梯形
[C] A1D⊥平面AQP
[D] 异面直线QP与A1C1所成的角为60°
10.已知函数f (x)=ln x-,则(  )
[A] f (x)的定义域为(0,+∞)
[B] f (x)的图象在点(2,f (2))处的切线斜率为
[C] f+f (x)=0
[D] f (x)有两个零点x1,x2,且x1x2=1
11.在平面直角坐标系中,A(-2,0),动点P满足|PA|=,得到动点P的轨迹是曲线[C] 则下列说法正确的是(  )
[A] 曲线C的方程为(x-2)2+y2=8
[B] 若直线y=kx+4与曲线C有公共点,则k的取值范围是
[C] 当O,A,P三点不共线时,若点D,则射线PD平分∠APO
[D] 过曲线C外一点(a-4,a)作曲线C的切线,切点分别为M,N,则直线MN过定点
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.数列{an}满足an+2-an=2,若a1=1,a4=4,则数列{an}的前20项的和为________.
13.若f (x)=在R上单调递减,则a的取值范围为________.
14.已知函数f (x)=sin ωx(ω>0),若 x1,x2∈,f (x1)=-1,f (x2)=1,则实数ω的取值范围是________.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a sin B=-b cos A,角A的平分线交边BC于点D,且AD=1.
(1)求∠BAC的大小;
(2)若BC=2,求△ABC的面积.
16.(15分)已知函数f (x)=ln x+eax-ax(a∈R).
(1)若曲线y=f (x)在x=1处的切线的斜率为1,求该切线方程;
(2)讨论函数f (x)的单调性.
17.(15分)如图,在三棱锥D-ABC中,AB=AD=BD=3,AC=7,BC=CD=5.
(1)证明:平面ACD⊥平面ABC;
(2)若E是线段CD上的点,且,求平面ABE与平面ABC夹角的正切值.
18.(17分)某市一调研机构为了了解当地学生对我国航天事业发展的关注度,随机地从本市大学生和高中生中抽取一个容量为n的样本进行调查,调查结果如表:
单位:人
学生群体 关注度 合计
关注 不关注
大学生 n n
高中生
合计
附:
α 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001
xα 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
χ2=,其中n=a+b+c+[D] 
(1)完成上述列联表,依据小概率值α=0.05的独立性检验,认为关注航天事业发展与学生群体有关,求样本容量n的最小值;
(2)该市为了提高本市学生对航天事业的关注,举办了一次航天知识闯关比赛,包含三个问题,有两种答题方案选择:
方案一:回答三个问题,至少答出两个可以晋级;
方案二:在三个问题中,随机选择两个问题,都答对可以晋级.
已知小华同学答出三个问题的概率分别是,小华回答三个问题正确与否相互独立,则小华应该选择哪种方案晋级的可能性更大?(说明理由)
19.(17分)已知抛物线H:x2=2py(p为常数,p>0).
(1)若直线l:y=kx-2pk+2p与H只有一个公共点,求k;
(2)贝塞尔曲线是计算机图形学和相关领域中重要的参数曲线.法国数学家卡斯特里奥对贝塞尔曲线进行了图形化应用的测试,提出了卡斯特里奥算法,这个算法的一个应用为:已知三个定点,根据对应的比例,使用递推画法,可以画出抛物线.据此算法,已知抛物线上三点对应的切线,也有相应成比例的结论.如图所示,A,B,C是H上不同的三点,此三点处的三条切线两两交于点D,E,F,证明:.
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