进阶训练(一)
1.C [在A中,y=是奇函数,减区间为(-∞,0),(0,+∞),故A错误;
在B中,y=x3是奇函数,没有减区间,增区间为(-∞,+∞),故B错误;
在C中,y=-x|x|=是奇函数,减区间为(-∞,+∞),故C正确;
在D中,y=e-x是非奇非偶函数,减区间为(-∞,+∞),故D错误.
故选C.]
2.D [因为函数f (x)在[2,+∞)上单调递减且对任意x∈R满足f (1+x)=f (3-x),
所以f (x)的图象关于x=2对称,
故f (x)在(-∞,2)上单调递增,
则不等式f (2x-3)>f (5)可转化|2x-3-2|<3,解得1<x<4.故选D.]
3.ACD [由题图可得f (-2)=1,
所以f (f (-2))=f (1)=2,A正确;
由题图可得f (x)的图象关于x=-1对称,所以f (x+1)的图象关于x=-2对称,B错误;
由题图可得f (x)-1≥0,即f (x)≥1的解集为[-3,-2]∪[0,1],C正确;
由题图可得f (x)在[-3,-1]上单调递减,所以m的取值范围为(-3,-1],D正确.
故选ACD.]
4.ACD [函数f (x)=-,f (-1+x)+f (-1-x)=-1+=-2,
可得f (x)的图象关于点(-1,-1)对称,故A正确;
f (x)=-1+在(-1,+∞)上单调递减,故B错误;
由f (0)=0,可得f (x)的图象经过原点,故C正确;
由f (x)=-1+,
可得f (x)的值域为{y|y≠-1},故D正确.
故选ACD.]
5.A [根据题意,函数f (x-1)(x∈R)是偶函数,则函数f (x)图象的对称轴为直线x=-1,
则有f (x)=f (-2-x),又由函数f (x)的图象关于点(1,0)成中心对称,
则f (x)=-f (2-x),则有f (-2-x)=-f (2-x),则f (x+4)=-f (x),
则有f (x+8)=-f (x+4)=f (x),则函数f (x)是周期为8的周期函数,则f (2 024)=f (0+253×8)=f (0)=-1.故选A.]
6.D [若甲丁成立,则f (-x)=-f (x),
f (x+6)=f (x),
∴f (x+6)=-f (-x),
∴f (x)的图象关于点(3,0)对称,
f (22)=f (4)≠0,乙丙不成立,
∴甲和丁中有一个为假命题,
若甲乙成立,则f (-x)=-f (x),
f (4-x)=-f (x),∴f (4-x)=f (-x),
函数f (x)的周期为4.
∴f (22)=f (2)=0,∴丙成立,丁不成立,
∵只有一个假命题,即丁为假命题.故选D.]
7.BCD [因为f (x)-g(x)=2x,①
所以f (-x)-g(-x)=2-x.
因为f (x)为奇函数,g(x)为偶函数,
所以f (-x)=-f (x),g(-x)=g(x),
所以-f (x)-g(x)=2-x,②
由①②得,f (x)=,g(x)=-,
则f (x)+g(x)=-2-x<0,故A错误,B,C正确.
因为g(x)=-=-1,所以D正确.故选BCD.]
8.0 [因为函数f (x)是定义在R上的奇函数,
由奇函数性质可得,f (0)=0,
又f (x+2)=-f (-x)=f (x),
可得函数f (x)的周期为2,有f (1 000)=f (0)=0.]
9.-1 [∵f (x+1)=f (x-3),∴f (x+4)=f (x),
∴4是f (x)的一个周期,
∴f (2 025)=f (4×506+1)=f (1)=1-2=-1.]
1/1进阶训练(一) 函数性质的综合应用
1.(2024·西安临潼区二模)下列函数中,既是奇函数又在(-∞,+∞)上单调递减的是( )
[A] y= [B] y=x3
[C] y=-x|x| [D] y=e-x
2.(2024·宜宾三模)已知函数f (x)在[2,+∞)上单调递减且对任意x∈R满足f (1+x)=f (3-x),则不等式f (2x-3)>f (5)的解集是( )
[A] (-∞,1)∪(4,+∞) [B] (-∞,4)
[C] (1,+∞) [D] (1,4)
3.(多选)(2025·大理南涧县模拟)函数f (x)在其定义域上的图象是如图所示折线段ABC,其中点A,B,C的坐标分别为(1,2),(-1,0),(-3,2),以下说法中正确的是( )
[A] f (f (-2))=2
[B] f (x+1)为偶函数
[C] f (x)-1≥0的解集为[-3,-2]∪[0,1]
[D] 若f (x)在[-3,m]上单调递减,则m的取值范围为(-3,-1]
4.(多选)(2025·哈尔滨市道里区模拟)已知函数f (x)=-,则函数具有下列性质( )
[A] 函数f (x)的图象关于点(-1,-1)对称
[B] 函数f (x)在(-1,+∞)上单调递增
[C] 函数f (x)的图象过原点
[D] 函数f (x)的值域为{y|y≠-1}
5.(2025·湖北武汉模拟)已知函数f (x-1)(x∈R)是偶函数,且函数f (x)的图象关于点(1,0)对称,当x∈[-1,1]时,f (x)=ax-1,则f (2 024)=( )
[A] -1 [B] -2 [C] 0 [D] 2
6.(2024·江苏苏州期末)已知定义在R上的函数f (x)的图象连续不间断,有下列四个命题:
甲:f (x)是奇函数;
乙:f (x)的图象关于点(2,0)对称;
丙:f (22)=0;
丁:f (x+6)=f (x).
如果有且仅有一个是假命题,则该命题是( )
[A] 甲 [B] 乙
[C] 丙 [D] 丁
7.(多选)(2025·山西大同模拟)奇函数f (x)与偶函数g(x)的定义域均为R,且满足f (x)-g(x)=2x,则下列判断正确的是( )
[A] f (x)+g(x)≥0
[B] f (x)=
[C] f (x)在R上单调递增
[D] g(x)的值域为(-∞,-1]
8.(2025·格尔木市模拟)已知f (x)是定义在R上的奇函数,且满足f (x+2)=-f (-x),则f (1 000)=________.
9.(2024·沧州期末)已知函数f (x)是定义在R上的奇函数,且满足f (x+1)=f (x-3),当x∈(0,2)时,f (x)=x2-,则f (2 025)=________.
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