进阶训练(一)
1．C [在A中，y＝是奇函数，减区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，故A错误；
在B中，y＝x3是奇函数，没有减区间，增区间为(－∞，＋∞)，故B错误；
在C中，y＝－x|x|＝是奇函数，减区间为(－∞，＋∞)，故C正确；
在D中，y＝e－x是非奇非偶函数，减区间为(－∞，＋∞)，故D错误．
故选C．]
2．D [因为函数f (x)在[2，＋∞)上单调递减且对任意x∈R满足f (1＋x)＝f (3－x)，
所以f (x)的图象关于x＝2对称，
故f (x)在(－∞，2)上单调递增，
则不等式f (2x－3)＞f (5)可转化|2x－3－2|＜3，解得1＜x＜4．故选D．]
3．ACD [由题图可得f (－2)＝1，
所以f (f (－2))＝f (1)＝2，A正确；
由题图可得f (x)的图象关于x＝－1对称，所以f (x＋1)的图象关于x＝－2对称，B错误；
由题图可得f (x)－1≥0，即f (x)≥1的解集为[－3，－2]∪[0，1]，C正确；
由题图可得f (x)在[－3，－1]上单调递减，所以m的取值范围为(－3，－1]，D正确．
故选ACD．]
4．ACD [函数f (x)＝－，f (－1＋x)＋f (－1－x)＝－1＋＝－2，
可得f (x)的图象关于点(－1，－1)对称，故A正确；
f (x)＝－1＋在(－1，＋∞)上单调递减，故B错误；
由f (0)＝0，可得f (x)的图象经过原点，故C正确；
由f (x)＝－1＋，
可得f (x)的值域为{y|y≠－1}，故D正确．
故选ACD．]
5．A [根据题意，函数f (x－1)(x∈R)是偶函数，则函数f (x)图象的对称轴为直线x＝－1，
则有f (x)＝f (－2－x)，又由函数f (x)的图象关于点(1，0)成中心对称，
则f (x)＝－f (2－x)，则有f (－2－x)＝－f (2－x)，则f (x＋4)＝－f (x)，
则有f (x＋8)＝－f (x＋4)＝f (x)，则函数f (x)是周期为8的周期函数，则f (2 024)＝f (0＋253×8)＝f (0)＝－1．故选A．]
6．D [若甲丁成立，则f (－x)＝－f (x)，
f (x＋6)＝f (x)，
∴f (x＋6)＝－f (－x)，
∴f (x)的图象关于点(3，0)对称，
f (22)＝f (4)≠0，乙丙不成立，
∴甲和丁中有一个为假命题，
若甲乙成立，则f (－x)＝－f (x)，
f (4－x)＝－f (x)，∴f (4－x)＝f (－x)，
函数f (x)的周期为4．
∴f (22)＝f (2)＝0，∴丙成立，丁不成立，
∵只有一个假命题，即丁为假命题．故选D．]
7．BCD [因为f (x)－g(x)＝2x，①
所以f (－x)－g(－x)＝2－x．
因为f (x)为奇函数，g(x)为偶函数，
所以f (－x)＝－f (x)，g(－x)＝g(x)，
所以－f (x)－g(x)＝2－x，②
由①②得，f (x)＝，g(x)＝－，
则f (x)＋g(x)＝－2－x<0，故A错误，B，C正确．
因为g(x)＝－＝－1，所以D正确．故选BCD．]
8．0 [因为函数f (x)是定义在R上的奇函数，
由奇函数性质可得，f (0)＝0，
又f (x＋2)＝－f (－x)＝f (x)，
可得函数f (x)的周期为2，有f (1 000)＝f (0)＝0．]
9．－1 [∵f (x＋1)＝f (x－3)，∴f (x＋4)＝f (x)，
∴4是f (x)的一个周期，
∴f (2 025)＝f (4×506＋1)＝f (1)＝1－2＝－1．]
1/1进阶训练(一) 函数性质的综合应用
1．(2024·西安临潼区二模)下列函数中，既是奇函数又在(－∞，＋∞)上单调递减的是( )
[A] y＝ [B] y＝x3
[C] y＝－x|x| [D] y＝e－x
2．(2024·宜宾三模)已知函数f (x)在[2，＋∞)上单调递减且对任意x∈R满足f (1＋x)＝f (3－x)，则不等式f (2x－3)＞f (5)的解集是( )
[A] (－∞，1)∪(4，＋∞) [B] (－∞，4)
[C] (1，＋∞) [D] (1，4)
3．(多选)(2025·大理南涧县模拟)函数f (x)在其定义域上的图象是如图所示折线段ABC，其中点A，B，C的坐标分别为(1，2)，(－1，0)，(－3，2)，以下说法中正确的是( )
[A] f (f (－2))＝2
[B] f (x＋1)为偶函数
[C] f (x)－1≥0的解集为[－3，－2]∪[0，1]
[D] 若f (x)在[－3，m]上单调递减，则m的取值范围为(－3，－1]
4．(多选)(2025·哈尔滨市道里区模拟)已知函数f (x)＝－，则函数具有下列性质( )
[A] 函数f (x)的图象关于点(－1，－1)对称
[B] 函数f (x)在(－1，＋∞)上单调递增
[C] 函数f (x)的图象过原点
[D] 函数f (x)的值域为{y|y≠－1}
5．(2025·湖北武汉模拟)已知函数f (x－1)(x∈R)是偶函数，且函数f (x)的图象关于点(1，0)对称，当x∈[－1，1]时，f (x)＝ax－1，则f (2 024)＝( )
[A] －1 [B] －2 [C] 0 [D] 2
6．(2024·江苏苏州期末)已知定义在R上的函数f (x)的图象连续不间断，有下列四个命题：
甲：f (x)是奇函数；
乙：f (x)的图象关于点(2，0)对称；
丙：f (22)＝0；
丁：f (x＋6)＝f (x)．
如果有且仅有一个是假命题，则该命题是( )
[A] 甲 [B] 乙
[C] 丙 [D] 丁
7．(多选)(2025·山西大同模拟)奇函数f (x)与偶函数g(x)的定义域均为R，且满足f (x)－g(x)＝2x，则下列判断正确的是( )
[A] f (x)＋g(x)≥0
[B] f (x)＝
[C] f (x)在R上单调递增
[D] g(x)的值域为(－∞，－1]
8．(2025·格尔木市模拟)已知f (x)是定义在R上的奇函数，且满足f (x＋2)＝－f (－x)，则f (1 000)＝________．
9．(2024·沧州期末)已知函数f (x)是定义在R上的奇函数，且满足f (x＋1)＝f (x－3)，当x∈(0，2)时，f (x)＝x2－，则f (2 025)＝________．
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