进阶训练(三) 函数中的构造问题
1．(2025·宜宾模拟)已知函数f (x)在R上可导，且f ′(x)＜f (x)，若ea-1f (1)＞f (a)成立，则a的取值范围是( )
[A] (－∞，1) [B] (1，e)
[C] (1，＋∞) [D] (e，＋∞)
2．(2025·四川绵阳模拟)已知定义在(0，＋∞)上的函数f (x)满足2xf (x)＋x2f ′(x)<0，f (2)＝，则关于x的不等式f (x)>的解集为( )
[A] (0，4) [B] (2，＋∞)
[C] (4，＋∞) [D] (0，2)
3．定义在(0，＋∞)上的函数f (x)的导函数为f ′(x)，且f ′(x)－f (x)＞0，则下列函数一定是增函数的是( )
[A] y＝xf (x) [B] y＝
[C] y＝ [D] y＝exf (x)
4．设f ′(x)是定义在(0，π)上的函数f (x)的导函数，有f ′(x)cos x－f (x)sin x>0，若a＝f，b＝0，c＝－f，则a，b，c的大小关系是( )
[A] a
[C] c5．(2024·江西南昌三模)已知函数f (x)的定义域为R，且f (2)＝－1，对任意x∈R，f (x)＋xf ′(x)<0，则不等式(x＋1)f (x＋1)>－2的解集是( )
[A] (－∞，1) [B] (－∞，2)
[C] (1，＋∞) [D] (2，＋∞)
6．(2025·湖北武汉模拟)设f (x)是定义域为R的奇函数，f (－1)＝0，当x>0时，xf ′(x)－f (x)<0，则使得f (x)>0成立的x的取值范围是( )
[A] (－∞，－1)∪(0，1) [B] (－1，0)∪(1，＋∞)
[C] (－∞，－1)∪(－1，0) [D] (0，1)∪(1，＋∞)
7．(2025·成都青羊区模拟)已知定义在(0，＋∞)上的函数y＝f (x)的导函数为y＝f ′(x)，当x＞0时，xf ′(x)＋f (x)＜0，且f (2)＝3，则不等式f (x－1)>的解集为________．
8．(2025·梅州兴宁市模拟)若定义在R上的函数f (x)满足f ′(x)－2f (x)－4＞0，f (0)＝－1，则不等式f (x)＞e2x－2的解集为________．
1/1进阶训练(三) 函数中的构造问题
1．C [设g(x)＝，则g′(x)＝，
∵f ′(x)＜f (x)，∴g′(x)＜0，∴g(x)在R上单调递减，
∵ea-1f (1)＞f (a)，则>，∴g(1)＞g(a)，
∴a＞1．故选C．]
2．D [令h(x)＝x2f (x)，x∈(0，＋∞)，则h′(x)＝2xf (x)＋x2f ′(x)<0，所以h(x)在(0，＋∞)上单调递减，不等式f (x)>可以转化为x2f (x)>4×＝22f (2)，即h(x)>h(2)，所以原不等式的解集为(0，2)．]
3．C [对于A，y＝xf (x)，y′＝f (x)＋xf ′(x)，无法判断y＝xf (x)单调性，故A错误；
对于B，y＝，y′＝，无法判断y＝单调性，故B错误；
对于C，因为f ′(x)－f (x)＞0，所以′＝>0恒成立，
则y＝在(0，＋∞)上是增函数，故C正确；
对于D，y＝exf (x)，y′＝ex[f (x)＋f ′(x)]，无法判断y＝exf (x)单调性，故D错误．
故选C．]
4．A [设函数g(x)＝f (x)cos x，x∈(0，π)，则g′(x)＝f ′(x)cos x－f (x)sin x．因为f ′(x)cos x－f (x)sin x>0，所以g′(x)>0，所以g(x)在(0，π)上单调递增．又a＝f＝fcos ＝g，b＝0＝fcos ＝g，c＝－f＝f·cos ＝g，所以a5．A [设g(x)＝xf (x)，则g(2)＝2f (2)＝－2，
∵对任意x∈R，f (x)＋xf ′(x)<0，∴g′(x)＝f (x)＋xf ′(x)<0恒成立，即g(x)在R上单调递减，
由(x＋1)f (x＋1)>－2可得g(x＋1)>g(2)，
∴x＋1<2，解得x<1，即解集为(－∞，1)．
故选A．]
6．A [令g(x)＝，则g′(x)＝，
所以当x>0时，g′(x)<0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递减．
又f (x)为奇函数，所以g(x)为偶函数，
所以g(x)在(－∞，0)上单调递增．
又f (1)＝－f (－1)＝0，即g(1)＝g(－1)＝0．
而f (x)>0等价于
或即或
所以x<－1或0所以f (x)>0的解集为(－∞，－1)∪(0，1)．故选A．]
7．(1，3) [定义在(0，＋∞)上的函数y＝f (x)的导函数为y＝f ′(x)，
令g(x)＝xf (x)，则g′(x)＝xf ′(x)＋f (x)，
因为当x＞0时，xf ′(x)＋f (x)＜0，即g′(x)＜0，
所以当x＞0时，g(x)＝xf (x)单调递减，
不等式f (x－1)>成立时，，则g(x－1)＞g(2)，
所以0＜x－1＜2，解得1＜x＜3，
综上，不等式f (x－1)>的解集为(1，3)．]
8．(0，＋∞) [令g(x)＝e-2x[f (x)＋2]，则g(0)＝1．
由g′(x)＝e-2x[f ′(x)－2f (x)－4]＞0，
∴g(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．
∴不等式f (x)＞e2x－2，即g(x)＞1＝g(0)，从而x＞0．
故答案为(0，＋∞)．]
1/1