进阶训练(五) 三角形中的高线、中线、角平分线
1．解： (1)因为a cos B＋b＝c，
由正弦定理可得sin A cos B＋sin B＝sin C＝sin (A＋B)＝sin A cos B＋sin B cos A，
所以sin B＝sin B cos A，
又0
0，
所以cos A＝，
因为0(2)由已知及余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝9＋3－2×3×＝3，
所以a＝，设△ABC中BC边上的高线长为h，
所以S△ABC＝bc sin A＝ah，解得h＝．
2．解： (1)∵a sin C＝c sin B，
∴由正弦定理，得sin A sin C＝sin C sin B，
∵00，∴sin A＝sin B，
∵0∵A＋B＋C＝π，且C＝，∴B＝．
(2)依题意得＝ab sin C，
∵A＝B，∴a＝b，
∴＝a2sin ＝，解得a＝，
设边BC的中点为D，则CD＝，
在△ACD中，由余弦定理得AD2＝AC2＋CD2－2AC·CD·cos C＝3＋－2×cos ＝，∴AD＝，
∴BC边上中线的长为．
3．解： (1)∵tan B＝，∴＝，
∴
∴sin A＝或sin A＝1，
当sin A＝时，tan A＝，
tan C＝－tan (A＋B)＝－＝－2；
当sin A＝1时，∵0∴tan C＝＝2．
综上所述，tan C的值为－2或2．
(2)∵tan B＝＝，
∴sin B(2－cos A)＝sin A cos B，
∴sin C＝2sin B，即c＝2b，
由角平分线定理可得，
＝＝＝2，∴BN＝2CN，
又MN＝1，BM＝CM，∴BM＝3，CN＝2，
由中线长定理可知，2(AM2＋BM2)＝b2＋c2，
∴b2＝，∠BAC＝，
∴S△ABC＝bc＝b×2b＝b2＝．
4．解： (1)根据题意可得a cos C＋c sin A＝b，
由正弦定理得sin A cos C＋sin A sin C＝sin B，
又sin B＝sin (A＋C)＝sin A cos C＋cos A·sin C，
故sin A sin C＝cos A sin C，
又sin C≠0，所以sin A＝cos A，则tan A＝，
因为A∈(0，π)，所以A＝．
(2)因为S△ABC＝S△ABM＋S△ACM，
所以bc sin ∠BAC＝AM·c·sin ∠BAM＋AM·b·sin ∠CAM，
又因为AM平分∠BAC，所以∠BAM＝∠CAM＝∠BAC＝，
所以bc×＝c×b×，
则bc＝(b＋c)，即bc＝(b＋c)，
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos ∠BAC，得16＝b2＋c2－bc，
所以16＝(b＋c)2－3bc＝(b＋c)2－(b＋c)，
解得b＋c＝2(负值舍去)，
故△ABC的周长为2＋4．
1/1进阶训练(五) 三角形中的高线、中线、角平分线
1．(2025·咸阳模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a cos B＋b＝c．
(1)求A；
(2)若b＝3，c＝，求△ABC中BC边上高线的长．
2．(2024·福建九地市质量检测)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a sin C＝c sin B，C＝．
(1)求B的大小；
(2)若△ABC的面积为，求BC边上中线的长．
3．在△ABC中，记角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知tan B＝．
(1)若tan B＝，求tan C的值；
(2)已知中线AM交BC于点M，角平分线AN交BC于点N，且AM＝3，MN＝1，求△ABC的面积．
4．(2024·湖南长沙长郡中学二模)已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a＝4，且4cos C＝b－c sin A．
(1)求A；
(2)已知AM为∠BAC的平分线，且与BC交于点M，若AM＝，求△ABC的周长．
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