《高考快车道》2026版高三一轮总复习数学(基础版)进阶训练6 三角形中的最值(范围)问题(pdf版,含答案)

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名称 《高考快车道》2026版高三一轮总复习数学(基础版)进阶训练6 三角形中的最值(范围)问题(pdf版,含答案)
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资源类型 试卷
版本资源 通用版
科目 数学
更新时间 2025-07-03 10:45:23

文档简介

进阶训练(六) 三角形中的最值(范围)问题
1.(2020·浙江卷)在锐角△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,[C] 已知2b sin A-a=0.
(1)求角B的大小;
(2)求cos A+cos B+cos C的取值范围.
2.(2024·安徽联考)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a sin =b sin [A] 
(1)求B;
(2)若△ABC为锐角三角形,且c=1,求△ABC面积的取值范围.
3.(2025·佛山顺德区模拟)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,其中a=1,cos A=.
(1)求角B的大小;
(2)如图,D为△ABC外一点,AB=BD,∠ABC=∠ABD,求的最大值.
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C
B
D进阶训练(六) 三角形中的最值(范围)问题
1.解: (1)由正弦定理及题意得2sin B sin A=sin A,
因为sin A≠0,0(2)由A+B+C=π,得C=-A,
由△ABC是锐角三角形,得A∈.
由cos C=cos =-cos A+sin A,得cos A+cos B+cos C=sin A+cos A+=∈.
故cos A+cos B+cos C的取值范围是.
2.解: (1)由题设a sin =b sin A及正弦定理得sin A sin =sin B sin A.
因为sin A≠0,
所以sin =sin B.
由A+B+C=180°,可得sin =cos ,
故cos =2sin cos .
因为cos ≠0,
所以sin =,
因为0°所以B=60°.
(2)由题设及(1)知S△ABC=ac sin B=a.
由正弦定理得a===.
由△ABC为锐角三角形,
故0°由(1)知A+C=120°,所以30°故tan C>从而因此△ABC面积的取值范围是.
3.解: (1)因为a=1,cos A=.
所以2b cos A=2c-1=2c-a,
由正弦定理可得2sin B cos A=2sin C-sin A,
在△ABC中,sin C=sin (A+B)=sin A cos B+cos A sin B,
则有2sin A cos B=sin A,
又sin A≠0,
所以cos B=,又B∈(0,π),
故B=.
(2)在△BCD中,由=,
得sin ∠CDB=,
在△ABC中,由=,
得sin ∠CAB=,
所以=,
设AB=BD=t(t>0),
由余弦定理CD2=BD2+BC2-2BD·BC·cos ∠CBD,
AC2=BA2+BC2-2BA·BC·cos ∠CBA,
得CD2=t2+1+t,AC2=t2+1-t,
则==1+=1+≤1+=3(当且仅当t=1时等号成立),
所以的最大值为,此时AB=BD=1.
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