进阶训练(八) 数列中的综合问题
1．C [设等差数列{an}的公差为d，则an＝a1＋(n－1)d，
所以a3n＝a1＋(3n－1)d，又因为3an＝a3n，
即3a1＋3(n－1)d＝a1＋(3n－1)d，可得a1＝d，
又由(a3－3)a8＝，即(a1＋2d－3)(a1＋7d)＝(a1＋3d)2，
即(3d－3)(d＋7d)＝(d＋3d)2，即24d2－24d＝16d2，
且正项等差数列{an}，即d≠0，解得d＝3，
所以a3＝a1＋2d＝3d＝9．故选C．]
2．AC [等比数列{an}中，a1＝1，q＝2，则an＝2n-1，
∴a2n＝22n-1，
∴数列{a2n}是等比数列，故A正确；
数列是递减数列，故B不正确；
∵log2an＝n－1，故数列{log2an}是等差数列，故C正确；
数列{an}中，S10＝＝210－1，S20＝220－1，S30＝230－1，故D错误．
故选AC．]
3．105 [等差数列{an}中，a1＝，a4是a2与a8的等比中项，
所以＝a2a8，即＝，
解得d＝或d＝0(舍去)，
所以S20＝20×＝105．]
4．165 [设等差数列{an}的公差为d(d＞0)，由a1＝3，a3，a6，a8成等比数列，
可得(3＋5d)2＝(3＋2d)×(3＋7d)，
整理得8d2－21d－9＝0，解得d＝3或d＝－(舍去)，
故等差数列{an}的前10项和S10＝10×3＋×3＝165．]
5．解： (1)因为an＋2Sn＝1，当n≥2时，an－1＋2Sn－1＝1，
两式相减，得an－an－1＋2an＝0，即an＝an－1(n≥2)，
又因为a1＋2S1＝1，即a1＝，
所以数列{an}是以为首项，为公比的等比数列，
所以an＝．
(2)证明：因为(2n－1)an＝，
则Tn＝＋…＋，
Tn＝＋…＋，
两式相减得，Tn＝＋2＝＋2×＝，
所以Tn＝1－<1，
因为(2n－1)an＝＞0，所以Tn≥T1＝，
故≤Tn<1．
6．解： (1)因为{an}为等差数列，且a2与a8的等差中项为5，
所以a2＋a8＝2×5＝2a5，解得a5＝5，
因为a4a6＝24，
所以(5－d)(5＋d)＝24，解得d＝±1，
因为d>0，所以d＝1，
所以an＝a5＋(n－5)d＝5＋(n－5)＝n，
故数列{an}的通项公式为an＝n．
(2)由题知，bn＝
即bn＝
所以T20＝b1＋b2＋b3＋b4＋…＋b19＋b20
＝1＋＋3＋＋…＋19＋
＝＝100＋＝，
故数列{bn}的前20项和T20为．
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1．(2025·广州市越秀区模拟)已知正项等差数列{an}满足3an＝a3n，且a4是a3－3与a8的等比中项，则a3＝( )
[A] 3 [B] 6
[C] 9 [D] 12
2．(多选)(2025·莆田模拟)已知等比数列{an}中，满足a1＝1，q＝2，则( )
[A] 数列{a2n}是等比数列
[B] 数列是递增数列
[C] 数列{log2an}是等差数列
[D] 数列{an}中，S10，S20，S30仍成等比数列
3．(2025·青岛模拟)已知等差数列{an}的公差d≠0，首项a1＝，a4是a2与a8的等比中项，记Sn为数列{an}的前n项和，则S20＝________．
4．(2024·新余二模)在公差为正数的等差数列{an}中，若a1＝3，a3，a6，a8成等比数列，则数列{an}的前10项和为________．
5．(2024·横峰县校级期末)已知Sn为数列{an}的前n项和，且an＋2Sn＝1．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设Tn为数列{(2n－1)an}的前n项和，求证：≤Tn<1．
6．(2024·黑龙江三模)已知等差数列{an}的公差d>0，a2与a8的等差中项为5，且a4a6＝24．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝求数列{bn}的前20项和T20．
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