《高考快车道》2026版高三一轮总复习数学(基础版)进阶训练8 数列中的综合问题(pdf版,含答案)

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名称 《高考快车道》2026版高三一轮总复习数学(基础版)进阶训练8 数列中的综合问题(pdf版,含答案)
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资源类型 试卷
版本资源 通用版
科目 数学
更新时间 2025-07-03 10:45:23

文档简介

进阶训练(八) 数列中的综合问题
1.C [设等差数列{an}的公差为d,则an=a1+(n-1)d,
所以a3n=a1+(3n-1)d,又因为3an=a3n,
即3a1+3(n-1)d=a1+(3n-1)d,可得a1=d,
又由(a3-3)a8=,即(a1+2d-3)(a1+7d)=(a1+3d)2,
即(3d-3)(d+7d)=(d+3d)2,即24d2-24d=16d2,
且正项等差数列{an},即d≠0,解得d=3,
所以a3=a1+2d=3d=9.故选C.]
2.AC [等比数列{an}中,a1=1,q=2,则an=2n-1,
∴a2n=22n-1,
∴数列{a2n}是等比数列,故A正确;
数列是递减数列,故B不正确;
∵log2an=n-1,故数列{log2an}是等差数列,故C正确;
数列{an}中,S10==210-1,S20=220-1,S30=230-1,故D错误.
故选AC.]
3.105 [等差数列{an}中,a1=,a4是a2与a8的等比中项,
所以=a2a8,即=,
解得d=或d=0(舍去),
所以S20=20×=105.]
4.165 [设等差数列{an}的公差为d(d>0),由a1=3,a3,a6,a8成等比数列,
可得(3+5d)2=(3+2d)×(3+7d),
整理得8d2-21d-9=0,解得d=3或d=-(舍去),
故等差数列{an}的前10项和S10=10×3+×3=165.]
5.解: (1)因为an+2Sn=1,当n≥2时,an-1+2Sn-1=1,
两式相减,得an-an-1+2an=0,即an=an-1(n≥2),
又因为a1+2S1=1,即a1=,
所以数列{an}是以为首项,为公比的等比数列,
所以an=.
(2)证明:因为(2n-1)an=,
则Tn=+…+,
Tn=+…+,
两式相减得,Tn=+2=+2×=,
所以Tn=1-<1,
因为(2n-1)an=>0,所以Tn≥T1=,
故≤Tn<1.
6.解: (1)因为{an}为等差数列,且a2与a8的等差中项为5,
所以a2+a8=2×5=2a5,解得a5=5,
因为a4a6=24,
所以(5-d)(5+d)=24,解得d=±1,
因为d>0,所以d=1,
所以an=a5+(n-5)d=5+(n-5)=n,
故数列{an}的通项公式为an=n.
(2)由题知,bn=
即bn=
所以T20=b1+b2+b3+b4+…+b19+b20
=1++3++…+19+
==100+=,
故数列{bn}的前20项和T20为.
1/1进阶训练(八) 数列中的综合问题
1.(2025·广州市越秀区模拟)已知正项等差数列{an}满足3an=a3n,且a4是a3-3与a8的等比中项,则a3=(  )
[A] 3 [B] 6
[C] 9 [D] 12
2.(多选)(2025·莆田模拟)已知等比数列{an}中,满足a1=1,q=2,则(  )
[A] 数列{a2n}是等比数列
[B] 数列是递增数列
[C] 数列{log2an}是等差数列
[D] 数列{an}中,S10,S20,S30仍成等比数列
3.(2025·青岛模拟)已知等差数列{an}的公差d≠0,首项a1=,a4是a2与a8的等比中项,记Sn为数列{an}的前n项和,则S20=________.
4.(2024·新余二模)在公差为正数的等差数列{an}中,若a1=3,a3,a6,a8成等比数列,则数列{an}的前10项和为________.
5.(2024·横峰县校级期末)已知Sn为数列{an}的前n项和,且an+2Sn=1.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设Tn为数列{(2n-1)an}的前n项和,求证:≤Tn<1.
6.(2024·黑龙江三模)已知等差数列{an}的公差d>0,a2与a8的等差中项为5,且a4a6=24.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=求数列{bn}的前20项和T20.
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