进阶训练(七) 传统文化中的数列建模与创新应用
1．(2024·北京人大附中月考)明代数学家程大位在《算法统宗》中已经给出由n，Sn和d求各项的问题，如九儿问甲歌：“一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七．借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．”则该问题中老人的长子的岁数为( )
[A] 35 [B] 32
[C] 29 [D] 26
2．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第3项起，每个数等于它前面两个数的和，即an＋2＝an＋1＋an(n∈N*)，后来人们把这样的一列数组成的数列{an}称为“斐波那契数列”．记a2 022＝t，则a1＋a3＋a5＋…＋a2 021＝( )
[A] t2 [B] t－1
[C] t [D] t＋1
3．(2024·平顶山联考)《周髀算经》记载：一年有二十四个节气，每个节气晷 (guǐ)长损益相同，夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是连续十二个节气，其日影子长依次成等差数列．经记录测算，夏至、处暑、霜降三个节气日影子长之和为16.5尺，这十二节气的所有日影子长之和为84尺，则夏至的日影子长为( )
[A] 1尺 [B] 1.25尺
[C] 1.5尺 [D] 2尺
4．(2024·湖南永州联考)“三分损益法”是古代中国发明的制定音律时所用的生律法．例如：假设能发出第一个基准音的乐器的长度为36，那么能发出第二个基准音的乐器的长度为36×＝24，能发出第三个基准音的乐器的长度为24×＝32，……，也就是依次先减少三分之一，后增加三分之一，以此类推．现有一兴趣小组采用此规律构造了一个共12项的数列{an}用来研究数据的变化，已知a8＝192，则a5＝( )
[A] 324 [B] 297
[C] 256 [D] 168
5．(2024·武汉市蔡甸区期末)已知Sn是数列{bn}的前n项和，若(1－2x)2 025＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 025x2 025，数列{bn}的首项b1＝＋…＋，bn＋1·bn＝2n(n∈N*)，则S2 025＝( )
[A] －3－21 014 [B] －2－3·21 012
[C] 2－3·21 012 [D] 3－21 014
6．如图1是古筝鸣箱俯视图，鸣箱有多根弦，每根弦下有一只弦码，弦码又叫雁柱，用于调节音高和传振．图2是根据图1绘制的古筝弦及其弦码简易直观图．在直观图中，每根弦都垂直于x轴，左边第一根弦在y轴上，相邻两根弦间的距离为1，弦码所在的曲线(又称为雁柱曲线)方程为y＝，第n(n∈N，第0根弦表示与y轴重合的弦)根弦分别与雁柱曲线和直线l：y＝x＋1交于点An(xn，yn)和Bn(x′n，y′n)，则＝( )
参考数据：1.122＝8.14．
[A] 814 [B] 900
[C] 914 [D] 1 000
7．(2025·甘肃金昌模拟)我国古代数学著作《九章算术》有如下问题，“今有金箠，长五尺．斩本一尺，重四斤．斩末一尺，重二斤．问次一尺各重几何？”意思是“现有一根金杖，长五尺，一头粗，一头细．在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”根据上述的已知条件，若金杖由粗到细是均匀变化的，估计此金杖总重量约为________斤．
8．(2025·江西南昌模拟)我国古代的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：如图将1，2，3，…，9填入3×3的方格内，使三行、三列和两条对角线上的三个数字之和都等于15． 一般地，将连续的正整数1，2，3，…，n2填入n×n个方格中，使得每行、每列和两条对角线上的数字之和都相等，这个正方形叫做n阶幻方． 记n阶幻方的每列的数字之和为Nn，如图三阶幻方N3＝15，那么N5＝________．
9．(2025·成都模拟)记Sn(x)＝x＋x2＋x3＋…＋xn－2(x∈R，n∈N*)．
(1)当x＝2时，Sn(2)为数列{an}的前n项和，求{an}的通项公式；
(2)记S′2 024(x)是S2 024(x)的导函数，求S′2 024(2)．
1/1进阶训练(七) 传统文化中的数列建模与创新应用
1．A [根据题意，九个儿子的岁数从大到小构成公差为－3的等差数列，设长子的岁数为a1，则207＝9a1＋×(－3)，解得a1＝35．故选A．]
2．C [由an＋2＝an＋1＋an(n∈N*)，得a2 022＝a2 021＋a2 020＝a2 021＋a2 019＋a2 018＝…＝a2 021＋a2 019＋…＋a3＋a2＝a2 021＋a2 019＋…＋a3＋a1＝t．故选C．]
3．C [由题意可知，十二个节气的日影子长为等差数列，设为a1，a2，…，a12，公差为d，其前n项和为Sn，则
即
解得a1＝1.5．故选C．]
4．A [由损益规律可知a8＝a5，
即a5＝192，
解得a5＝324．故选A．]
5．D [当x＝0时，a0＝1，
当x＝时，a0＋＋…＋＝0，
所以b1＝－a0＝－1，又因为b2·b1＝2，所以b2＝－2，
因为所以＝2，
S2 025＝b1＋b2＋b3＋…＋b2 025＝(b1＋b3＋…＋b2 025)＋(b2＋b4＋…＋b2 024)
＝＝3－21 014．故选D．]
6．C [根据题意，第n根弦分别与雁柱曲线y＝1.1x和直线l：y＝x＋1交于点An(xn，yn)和Bn(x′n，y′n)，
则yn＝1.1n，y′n＝n＋1，则有yny′n＝(n＋1)1.1n，
设Tn＝则Tn＝1＋2×1.1＋3×1.12＋4×1.13＋…＋21×1.120，①
1．1Tn＝1.1＋2×1.12＋3×1.13＋4×1.14＋…＋21×1.121，②
①－②可得－0.1Tn＝＋…＋1.120－21×1.121＝＝1＋10×(1.121－1.1)－21×1.121＝－10－10×1.122＝－91.4，
所以Tn＝914，故＝914．故选C．]
7．15 [由题意知每一尺的重量构成等差数列，设首项为2，则第5项为4，所以总重量为×5＝15斤．]
8．65 [由n阶幻方填入1，2，3，…，n2，共n列，这n2个数字之和为1＋2＋3＋…＋n2，由这n列之和都相等，则每一列和Nn＝＝＝．
故N5＝＝65．]
9．解： (1)当n＝1时，a1＝S1(2)＝0，
当n≥2时，an＝Sn(2)－Sn－1(2)＝(2＋22＋…＋2n－2)－(2＋22＋…＋2n-1－2)＝2n，
又∵当n＝1时，a1＝0不满足上式，
∴an＝
(2)∵S2 024(x)＝x＋x2＋x3＋…＋x2 024－2，
∴S′2 024(x)＝1＋2x＋3x2＋…＋2 024x2 023，
S′2 024(2)＝1＋2×2＋3×22＋…＋2 024×22 023，①
2S′2 024(2)＝2＋2×22＋3×23＋…＋2 024×22 024，②
①－②得，－S′2 024(2)＝1＋2＋22＋…＋22 023－2 024×22 024＝－2 024×22 024＝－2 023×22 024－1，
∴S′2 024(2)＝2 023×22 024＋1．
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