进阶训练(十一) 圆锥曲线中的离心率问题
1．A [根据题意，如图，
|AB|＝3，由椭圆的对称性可得|AF2|＝|BF2|＝，
又|F1F2|＝2，由勾股定理可得|AF1|＝＝＝，
所以2a＝|AF1|＋|AF2|＝4，得a＝2，又c＝1，故离心率e＝＝．
故选A．]
2．D [当双曲线的焦点在x轴上时，可得＝，则e＝＝＝2；
当双曲线的焦点在y轴上时，可得＝，则e＝＝＝．故选D．]
3．B 4．A
5．D [设|PF1|＝m，|PF2|＝n，作ON⊥PF1于点N，F2M⊥PF1于点M，由题意可得|ON|＝a，故|F2M|＝a，又∠F1PF2＝60°，即有|PM|＝a，|PF2|＝a，由m＋n＝2a，可得|MF1|＝a，因为|F1F2|＝2c，在直角三角形F1MF2中，由勾股定理得a2＋＝4c2，可得e＝＝．故选D．]
6．A [设P(x，y)，|PB|≥b ≥b x2＋y2－2by≥0(*)，
由＝1 x2＝a2，代入不等式*中，
化简，得y2－2by＋a2≥0恒成立，
则有Δ＝4b2－≤0 b4≤a2c2 b2≤ac c2－a2≤ac e2－e－1≤0，
解得≤e≤，又e>1，所以17． [由右焦点为F (2，0)，点A的坐标为(0，1)，
可得|AF|＝＝5．
因为△APF的周长不小于18，
所以|PA|＋|PF|的最小值不小于13．
设F2为双曲线的左焦点，
可得|PF|＝|PF2|＋2a，
故|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PF2|＋2a，
当A，P，F2三点共线时，|PA|＋|PF2|＋2a取最小值，
最小值为|AF2|＋2a，即5＋2a，
所以5＋2a≥13，即a≥4．
因为c＝2，所以e＝＝．
又e>1，所以e∈．]
8．(，＋∞) [因为斜率为的直线与双曲线＝1恒有两个公共点，所以>，则e＝＝>＝，所以双曲线离心率的取值范围是(，＋∞)．]
9． [设椭圆C的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c(a>b>0，c>0)，设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则r1＋r2＝2a，在△F1PF2中，∠F1PF2＝，有|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos ∠F1PF2＝，得－r1r2＝4c2，即(r1＋r2)2－3r1r2＝4c2，故r1r2＝(a2－c2)，因为≥2r1r2，即－r1r2≥r1r2，当且仅当r1＝r2时取等号，故4c2≥(a2－c2)，即4c2≥a2，故，解得e≥，由01/1进阶训练(十一) 圆锥曲线中的离心率问题
1．(2024·贵阳市云岩区一模)已知F1(－1，0)，F2(1，0)是椭圆M的两个焦点，过点F2且垂直于x轴的直线交椭圆M于A，B两点，且|AB|＝3，则椭圆M的离心率为( )
[A] [B]
[C] [D]
2．(2024·临沧市云县期末)已知某双曲线以坐标轴为对称轴，原点为对称中心，其中一条渐近线为y＝x，则此双曲线的离心率为( )
[A] [B] 2
[C] 2或 [D] 2或
3．(2024·乐山三模)设双曲线C1：－y2＝1(a>0)和椭圆C2：＋y2＝1的离心率分别为e1，e2，若e1＝2e2，则a＝( )
[A] [B]
[C] [D]
4．(2022·全国甲卷)椭圆C：＝1(a>b>0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为( )
[A] [B]
[C] [D]
5．(2025·南京模拟)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°，若坐标原点O到PF1的距离为a，则椭圆C的离心率为( )
[A] [B]
[C] [D]
6．(2025·广州模拟)已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)，点B的坐标为(0，b)，若C上的任意一点P都满足|PB|≥b，则C的离心率的取值范围是( )
[A] [B]
[C] (1，] [D] [，＋∞)
7．已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的右焦点为F (2，0)，点A的坐标为(0，1)，点P为双曲线左支上的动点，且△APF的周长不小于18，则双曲线C的离心率的取值范围为________．
8．若斜率为的直线与双曲线＝1(a>0，b>0)恒有两个公共点，则双曲线离心率的取值范围是________．
9．(2024·阜阳期末)已知椭圆C的焦点为F1，F2，P为C上一点，满足∠F1PF2＝，则C的离心率的取值范围是________．
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