进阶训练(十二) 根与系数的关系的应用
1．C [由C：y＝4x2得x2＝y，F，
由题意可知直线AB的斜率存在，故设其方程为y＝kx＋，
联立y＝kx＋与x2＝y可得x2－kx－＝0，Δ＝>0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝k，故y1＋y2＝k(x1＋x2)＋＝k2＋，
因此|AB|＝y1＋y2＋＝k2＋，当且仅当k＝0时取等号．
故选C．]
2．A [由题意可得，F (1，0)，如图，设A(x0，y0)，x0＞0，y0＞0，
则|AF|＝x0＋1＝4，所以x0＝3，则y0＝2，
故kAF＝＝，所以直线AF的倾斜角为60°，
则直线l的倾斜角α＝60°＋45°，
所以直线l的斜率k＝tan (60°＋45°)＝＝－2－，
所以直线l的方程为y＝(－2－)(x－1)，
联立消y得(7＋4)x2－(18＋8)x＋7＋4＝0，
则Δ＝(18＋8)2－4(7＋4)2＝(18＋8)2－(14＋8)2>0，
设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1＋x2＝＝30－16，
所以|CD|＝x1＋x2＋2＝32－16．故选A．]
3．(2，0) ±2 [如图，抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由|AB|＝10及抛物线的定义，得|AB|＝|AF|＋|FB|＝＝(x1＋x2)＋p＝10，
又＝3，即x1＋x2＝6，则p＝4，
故抛物线C：y2＝8x，其焦点F (2，0)，
由题意可得直线l的斜率存在，且不等于0，则其方程可设为y＝k(x－2)，
联立整理得k2x2－4(k2＋2)x＋4k2＝0，
Δ＝16(k2＋2)2－4k2×4k2＝64k2＋64＞0，
则
则|AB|＝＝10，
即＝10，
即＝10，解得k＝±2．]
4．解： (1)由双曲线C：＝1(a>0，b>0)的离心率为，实轴长为6，
可得e＝＝，2a＝6，解得a＝3，c＝2，b＝＝，
则双曲线C的方程为＝1．
(2)证明：直线l过定点B(－2，0)，且与双曲线C交于E，F两点，A(－3，0)，由题意知直线l的斜率存在，
可设直线l的方程为y＝k(x＋2)，E(x1，y1)，F (x2，y2)，
联立可得(1－3k2)x2－12k2x－12k2－9＝0，
Δ＝(－12k2)2＋4(1－3k2)(12k2＋9)＞0，得－则直线AE与AF的斜率之积为＝＝
＝＝＝，则直线AE与直线AF的斜率之积为定值．证毕．
5．解： (1)由题意可得
解得a＝2，b＝．
故椭圆C的标准方程为＝1．
(2)证明：由题意知，F (－1，0)，
设直线MN的方程为x＝my－1，M(x1，y1)，N(x2，y2)，E(－4，y1)，
联立
得(3m2＋4)y2－6my－9＝0，Δ＝144(m2＋1)>0，
所以y1＋y2＝，y1y2＝，
所以－2my1y2＝3(y1＋y2)．
又kEN＝，
所以直线EN的方程为y－y1＝(x＋4)，
即(x2＋4)(y－y1)＝(y2－y1)(x＋4)，
所以(my2＋3)(y－y1)＝(y2－y1)(x＋4)，
所以(my2＋3)y－my1y2－3y1＝(y2－y1)x＋4(y2－y1)，
所以(my2＋3)y＋(y1＋y2)－3y1＝(y2－y1)x＋4(y2－y1)，
化简得(my2＋3)y＋(y1－y2)＝0，
当x＝－时，y＝0，即直线EN过定点P．证毕．
6．解： (1)设F (c，0)，由题设有c＝1且＝，故＝，解得a＝2，b＝，
故椭圆C的方程为＝1．
(2)证明：依题意直线AB的斜率必定存在，设AB：y＝k(x－4)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由可得(3＋4k2)x2－32k2x＋64k2－12＝0，
故Δ＝1 024k4－4(3＋4k2)(64k2－12)>0，解得－又x1＋x2＝，x1x2＝，
而N，故直线BN：y＝，故yQ＝＝，
所以y1－yQ＝y1＋＝
＝
＝k·
＝k·
＝k·＝0，
故y1＝yQ，即AQ⊥y轴．证毕．
1/1进阶训练(十二) 根与系数的关系的应用
1．(2025·杭州市西湖区模拟)设抛物线C：y＝4x2的焦点为F，过焦点F的直线与抛物线C相交于A，B两点，则|AB|的最小值为( )
[A] 1 [B]
[C] [D]
2．(2024·深圳校级开学考试)设抛物线T：y2＝4x的焦点为F，A为抛物线上一点且A在第一象限，|AF|＝4，若将直线AF绕点F逆时针旋转45°得到直线l，且直线l与抛物线交于C，D两点，则|CD|＝( )
[A] 32－16 [B] 32－16
[C] 16－8 [D] 16－8
3．(2024·昆明市五华区月考)已知直线l过抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F，并与C相交于A，B两点，且|AB|＝10．若线段AB的中点的横坐标为3，则焦点F的坐标为________；直线l的斜率为________．
4．(2024·贵州开学考试)已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的离心率为，实轴长为6，A为双曲线C的左顶点，直线l过定点B(－2，0)，且与双曲线C交于E，F两点．
(1)求双曲线C的方程；
(2)证明：直线AE与直线AF的斜率之积为定值．
5．已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的上顶点到右顶点的距离为，离心率为，过椭圆的左焦点F作不与x轴重合的直线与椭圆C相交于M，N两点，直线m的方程为x＝－2a，过点M作ME垂直于直线m，垂足为E．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)求证：线段EN必过定点P，并求定点P的坐标．
6．(2024·全国甲卷)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的右焦点为F，点M在C上，且MF⊥x轴．
(1)求C的方程；
(2)过点P(4，0)的直线与C交于A，B两点，N为线段FP的中点，直线NB交直线MF于点Q，证明：AQ⊥y轴．
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