进阶训练(十四) 概率模型的辨识与应用
1．已知某公司生产的风干牛肉干是按包销售的，每包牛肉干的质量M(单位：g)服从正态分布N(250，σ2)，且P(M＜248)＝0.1．
(1)若从公司销售的牛肉干中随机选取3包，求这3包中恰有2包质量不小于248 g的概率；
(2)若从公司销售的牛肉干中随机选取K(K为正整数)包，记质量在248 g～252 g的包数为X，且D(X)＞320，求K的最小值．
2．(2024·眉山市东坡区期末)眉山市位于四川西南，有“千载诗书城，人文第一州”的美誉，这里是大文豪苏轼、苏洵、苏辙的故乡，也是人们旅游的好地方．在今年的国庆黄金周，为了丰富游客的文化生活，每天在东坡故里三苏祠举行“三苏文化”知识竞赛．已知甲、乙两队参赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，且各人回答正确与否相互之间没有影响．
(1)分别求甲队总得分为0分，2分的概率；
(2)求甲队得2分，乙队得1分的概率．
3．(2025·广西玉林统考模拟)某地区期末进行了统一考试，为做好本次考试的评价工作，现从中随机抽取了50名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40至100之间，将数据按照[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中m的值；在这50名学生中用分层随机抽样的方法从成绩在[70，80)，[80，90)，[90，100]的三组中抽取了11人，再从这11人中随机抽取3人，记X为3人中成绩在[80，90)的人数，求P(X＝1)；
(2)规定成绩在的为A等级，成绩在[70，90)的为B等级，其他为C等级．以样本估计总体，用频率代替概率．从所有参加考试的同学中随机抽取3人，求获得B等级的人数不少于2的概率．
4．为庆祝建军节的到来，某校举行“强国强军”知识竞赛．该校某班经过层层筛选，还有最后一个参赛名额要在A，B两名学生中产生，该班委设计了一个选拔方案：A，B两名学生各自从6个问题中随机抽取3个问题作答．已知这6个问题中，学生A能正确回答其中的4个问题，而学生B能正确回答每个问题的概率均为．A，B两名学生对每个问题回答正确与否都是相互独立的．
(1)分别求A，B两名学生恰好答对2个问题的概率；
(2)设A答对的题数为X，B答对的题数为Y，若让你投票决定参赛选手，你会选择哪名学生？请说明理由．
5．某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量(单位：克)，质量的分组区间为[490，495]，(495，500]，…，(510，515]．由此得到样本的频率分布直方图(如图)．
(1)根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量；
(2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设X为质量超过505克的产品数量，求X的分布列；
(3)从该流水线上任取2件产品，设Y为质量超过505克的产品数量，求Y的分布列．
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1．解： (1)因为P(M＜248)＝0.1，所以P(M≥248)＝1－0.1＝0.9，
则这3包中恰有2包质量不小于248 g的概率为×0.92×0.1＝0.243．
(2)因为P(M＜248)＝0.1，所以P(248＜M＜252)＝(0.5－0.1)×2＝0.8．
依题意可得 X～B(K，0.8)，
所以D(X)＝K×0.8×(1－0.8)＝0.16K，
因为D(X)＞320，所以K＞2 000，
又K为正整数，所以K的最小值为2 001．
2．解： (1)记“甲队总得分为0分”为事件A，“甲队总得分为2分”为事件B，
甲队总得分为0分，即甲队三人都回答错误，其概率P(A)＝＝．
甲队总得分为2分，即甲队三人中有1人答错，其余两人答对，
其概率P(B)＝＝．
(2)记“乙队得1分”为事件C，“甲队得2分，乙队得1分”为事件D，
事件C即乙队三人中有2人答错，其余1人答对，
则P(C)＝＝，
甲队得2分，乙队得1分即事件B，C同时发生，则P(D)＝P(B)P(C)＝＝．
3．解： (1)∵(0.004＋0.022＋0.030＋0.028＋m＋0.004)×10＝1，∴m＝0.012．
∵成绩在[70，80)，[80，90)，的频率之比为0.28∶0.12∶0.04＝7∶3∶1，
∴抽取的11人中，成绩在[80，90)的人数为11×＝3，∴P(X＝1)＝＝．
(2)用频率估计概率，获得B等级的概率为(0.028＋0.012)×10＝0.4＝，
记抽取的3人中，获得B等级的人数为Y，则Y～，
∴P(Y≥2)＝P(Y＝2)＋P(Y＝3)＝＝，即获得B等级的人数不少于2的概率为．
4．解： (1)由题意，知A恰好答对2个问题的概率为P1＝＝，
B恰好答对2个问题的概率为
P2＝＝．
(2)X的可能取值为1，2，3，
则P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
所以E(X)＝1×＋2×＋3×＝2，
D(X)＝(1－2)2×＋(2－2)2×＋(3－2)2×＝．
易知Y～B，
所以E(Y)＝3×＝2，D(Y)＝3×＝．
因为E(X)＝E(Y)，D(X)所以A与B答题的平均水平相当，但A比B更稳定．
所以选择学生A．
5．解： (1)质量超过505克的产品的频率为5×0.05＋5×0.01＝0.3，
所以质量超过505克的产品数量为40×0.3＝12．
(2)质量超过505克的产品数量为12，则质量未超过505克的产品数量为28，X的取值为0，1，2，X服从超几何分布．
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
(3)根据样本估计总体的思想，取一件产品，该产品的质量超过505克的概率为＝．
从流水线上任取2件产品互不影响，该问题可看成2重伯努利试验，质量超过505克的件数Y的可能取值为0，1，2，且Y～B，
P(Y＝k)＝，k＝0，1，2．
所以P(Y＝0)＝＝，
P(Y＝1)＝＝，
P(Y＝2)＝＝．
所以Y的分布列为
Y 0 1 2
P
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