进阶训练(十五) 概率、统计的交汇问题
1．某企业从生产的一批零件中抽取100件产品作为样本，检测其质量指标值m(m∈[100，400])，得到如图所示的频率分布直方图，并依据质量指标值划分等级如下表所示：
质量指 标值m 150≤m<350 100≤m<150或 350≤m≤400
等级 A级 B级
(1)根据频率分布直方图估计这100件产品的质量指标值的平均数；
(2)以样本的频率估计总体的概率，解决下列问题：
①从所生产的零件中随机抽取3个零件，记其中A级零件的件数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；
②该企业采用混装的方式将所有零件按400个为一箱包装出售，已知一个A级零件的利润是12元，一个B级零件的利润是4元，估计每箱零件的利润．
2．(2024·广东佛山一模)佛山岭南天地位于禅城区祖庙大街2号，主要景点有龙塘诗社、文会里嫁娶屋、南风古灶、李众胜堂祖铺、祖庙大街等，这里的每一处景色都极具岭南特色，其中龙塘诗社和祖庙大街很受年轻人的青睐．为进一步合理配置旅游资源，现对已在龙塘诗社游览的游客进行随机问卷调查，若继续游玩祖庙大街景点的记2分，若不继续游玩祖庙大街景点的记1分，每位游客选择是否游览祖庙大街的概率均为，游客之间的选择意愿相互独立．
(1)从游客中随机抽取3人，记总得分为X，求X的分布列与数学期望；
(2)①若从游客中随机抽取m人，记总得分恰为m分的概率为Am，求数列的前10项和；
②在对所有游客进行随机问卷调查过程中，记已调查过的累计得分恰为n分的概率为Bn，探讨Bn与Bn－1之间的关系式，并求数列的通项公式．
3．乒乓球被称为我国的“国球”，是一种深受人们喜爱的球类体育项目．在某高校运动会的女子乒乓球单打半决赛阶段，规定：每场比赛采用七局四胜制，率先取得四局比赛胜利的选手获胜，且该场比赛结束．已知甲、乙两名运动员进行了一场比赛，且均充分发挥出了水平，其中甲运动员每局比赛获胜的概率为p(0
(1)若前三局比赛中，甲至少赢得一局比赛的概率为p，求乙每局比赛获胜的概率；
(2)若前三局比赛中甲只赢了一局，设这场比赛结束还需要比赛的局数为ξ，求ξ的分布列和数学期望E(ξ)，并求当p为何值时，E(ξ)最大．
4．某高中学校为了解学生参加体育锻炼的情况，统计了全校所有学生在一年内每周参加体育锻炼的次数，现随机抽取了60名同学(其中男生30名，女生30名)在某一周参加体育锻炼的数据，结果如下表：
一周参加体育锻炼的次数 0 1 2 3 4 5 6 7
男生人数 1 2 4 5 6 5 4 3
女生人数 4 5 5 6 4 3 2 1
合计 5 7 9 11 10 8 6 4
(1)若将一周参加体育锻炼次数为3次及3次以上的称为“经常锻炼”，其余的称为“不经常锻炼”，请完成以下2×2列联表，并依据小概率值α＝0.1的独立性检验，判断能否认为学生体育锻炼的经常性与性别有关系；
单位：人
性别 体育锻炼 合计
不经常 经常
男生
女生
合计
(2)若将一周参加体育锻炼的次数为0次的称为“极度缺乏锻炼”，“极度缺乏锻炼”会导致肥胖等诸多健康问题．以样本频率估计概率，在全校抽取20名同学，其中“极度缺乏锻炼”的人数为X，求E(X)和D(X)；
(3)若将一周参加体育锻炼的次数为6次或7次的同学称为“运动爱好者”，为进一步了解他们的生活习惯，在样本的10名“运动爱好者”中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男生人数为Y，求Y的分布列和数学期望．
附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d．
α 0.1 0.05 0.01
xα 2.706 3.841 6.635
1/1进阶训练(十五) 概率、统计的交汇问题
1．解： (1)由题意知＝125×0.05＋175×0.1＋225×0.15＋275×0.4＋325×0.25＋375×0.05＝267.5．
(2)①由题意知随机抽取一个零件，其为A级的概率为1－0.05×2＝0.9，ξ的所有可能取值为0，1，2，3，
P(ξ＝0)＝(1－0.9)3＝0.001，
P(ξ＝1)＝×0.9×(1－0.9)2＝0.027，
P(ξ＝2)＝×0.92×(1－0.9)＝0.243，
P(ξ＝3)＝×0.93＝0.729，
则随机变量ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3
P 0.001 0.027 0.243 0.729
法一：所以E(ξ)＝0×0.001＋1×0.027＋2×0.243＋3×0.729＝2.7．
法二：因为ξ～B(3，0.9)，所以E(ξ)＝3×0.9＝2.7．
②设随机抽取一箱零件，其中A级零件有X个，则B级零件有(400－X)个，出售该箱零件的利润为Y元，
Y＝12X＋4(400－X)＝8X＋1 600，
因为X～B(400，0.9)，所以E(X)＝400×0.9＝360，
所以E(Y)＝E(8X＋1 600)＝8E(X)＋1 600＝8×360＋1 600＝4 480．
2．解： (1)X的可能取值为3，4，5，6．
P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，
P(X＝5)＝＝，P(X＝6)＝＝．
所以X的分布列为
X 3 4 5 6
P
则E(X)＝3×＋4×＋5×＋6×＝．
(2)①总分恰为m的概率Am＝，
所以数列{Am}是首项为，公比为的等比数列，
所以前10项和为S10＝＝1－＝．
②已调查的累计得分恰为n分的概率为Bn，
而得不到n分的情况只有先得到(n－1)分，再得2分，概率为Bn－1，其中B1＝，
所以1－Bn＝Bn－1，Bn＝－Bn－1＋1，
所以Bn－＝－，又＝－≠0，
即是等比数列，公比为－，首项为－．
所以Bn－＝－，
即Bn＝＝．
3．解： (1)设事件A为“前三局比赛中，甲至少赢得一局比赛”，
则P(A)＝1－(1－p)3＝p，化简得25p2－75p＋36＝0，即(5p－3)(5p－12)＝0，
所以p＝或p＝(舍去)，所以乙每局比赛获胜的概率为1－p＝．
(2)由题意知，ξ的所有可能取值为2，3，4，且P(ξ＝2)＝(1－p)2＝1－2p＋p2，
P(ξ＝3)＝p(1－p)2＝3p3－4p2＋2p，
P(ξ＝4)＝p2(1－p)×1＝3p2－3p3．
则ξ的分布列为
ξ 2 3 4
P 1－2p＋p2 3p3－4p2＋2p 3p2－3p3
所以E(ξ)＝－3p3)＝－3p3＋2p2＋2p＋2(0当p∈时，f ′(p)>0，f (p)单调递增；当p∈时，f ′(p)<0，f (p)单调递减．
所以当且仅当p＝时，f (p)最大，即当p＝时，E(ξ)最大．
4．解： (1)完成列联表如下．
单位：人
性别 体育锻炼 合计
不经常 经常
男生 7 23 30
女生 14 16 30
合计 21 39 60
零假设为
H0：学生体育锻炼的经常性与性别无关．
根据列联表中的数据计算，得
χ2＝≈3.590>2.706＝x0.1．
依据小概率值α＝0.1的独立性检验，推断H0不成立，即学生体育锻炼的经常性与性别有关系，此推断犯错误的概率不超过0.1．(2)因为学校总的学生人数远大于所抽取的学生人数，故X近似服从二项分布，随机抽取1名学生为“极度缺乏锻炼”者的概率P＝＝，
则X～B，
故E(X)＝20×＝，
D(X)＝20×＝．
(3)由题意可知，10名“运动爱好者”中有7名男生，3名女生，则Y的可能取值为0，1，2，3，
则P(Y＝0)＝＝，
P(Y＝1)＝＝＝，
P(Y＝2)＝＝＝，
P(Y＝3)＝＝＝，
故所求分布列为
Y 0 1 2 3
P
E(Y)＝0×＋1×＋2×＋3×＝2.1．
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