课后习题(十) 函数的对称性及应用
1．(多选)(人教A版必修第一册P87习题3.2T13改编)已知函数y＝f (x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数y＝f (x＋a)－b为奇函数，下列函数的图象中有对称中心的是( )
[A] f (x)＝x [B] f (x)＝x3－3x2
[C] f (x)＝x4＋x2 [D] f (x)＝
2．(多选)(人教A版必修第一册P87习题3.2T13改编)已知函数f (x)在区间(0，2)上单调递减，且函数y＝f (x＋2)是偶函数，那么( )
[A] f (x)在区间(2，4)上单调递减
[B] f (x)在区间(2，4)上单调递增
[C] y＝f (x)的图象关于直线x＝2对称
[D] y＝f (x)的图象关于直线x＝－2对称
3．(人教B版必修第一册P117习题3－1CT3改编)函数y＝的图象的对称中心为点________．
4．(人教A版必修第一册P87习题3.2T13改编)函数y＝f (x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝f (x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y＝f (x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数y＝f (x＋a)－b为奇函数．已知f (x)＝mx3＋nx＋1．
(1)若f (x)在[－6，6]上的最大值为M，最小值为N，则M＋N＝________；
(2)若m＝1，n＝－3，则函数f (x)图象的对称中心为点________．
5．(2024·北京学业考试)在同一坐标系中，函数y＝f (x)与y＝－f (x)的图象( )
[A] 关于原点对称 [B] 关于x轴对称
[C] 关于y轴对称 [D] 关于直线y＝x对称
6．(2025·南充模拟)已知函数f (x)＝，则函数y＝f (x－1)＋1的图象( )
[A] 关于点(1，1)对称
[B] 关于点(－1，1)对称
[C] 关于点(－1，0)对称
[D] 关于点(1，0)对称
7．(2025·新疆模拟)若函数f (x)＝的图象关于点(1，2)对称，则a＝( )
[A] －2 [B] －1
[C] 1 [D] 2
8．(2024·宁波期末)定义在R上的函数f (x＋1)的图象关于点(0，2)对称，则下列式子一定成立的是( )
[A] f (－2)＋f (0)＝4 [B] f (－1)＋f (1)＝4
[C] f (0)＋f (2)＝4 [D] f (1)＋f (3)＝4
9．(多选)(2025·湖北武汉模拟)已知函数f (x)的定义域为R，f (x＋2)为偶函数，f (－3x＋1)为奇函数，则下列式子一定成立的是( )
[A] f (2)＝0 [B] f (1)＝0
[C] f (0)＝0 [D] f (－1)＝0
10．(2024·长沙开福区开学)设函数y＝f (x)的定义域为R，则函数y＝f (x－1)与y＝f (1－x)的图象关于________对称．
11．(2025·南京模拟)已知函数y＝f (x)满足f (－x)＝f (2＋x)，其图象关于点(2，0)对称，则f (18)＝________．
12．(2024·青岛二模)已知函数f (x)＝(x－2a)lg 的图象关于直线x＝b对称，则a＋b＝________．
1/1课后习题(十)
1．ABD [∵函数y＝f (x＋a)－b为奇函数，
∴f (－x＋a)－b＝－f (x＋a)＋b，即f (x＋a)＋f (－x＋a)＝2b．
对于A，由f (x＋a)＋f (－x＋a)＝2b得a＝b，∴对于任意的a＝b，P(a，b)都是f (x)＝x的图象的对称中心，故A满足题意；
对于B，f (x)＝x3－3x2＝x2(x－3)，∵f (x＋1)＋f (－x＋1)＝(x＋1)2(x－2)＋(－x＋1)2(－x－2)＝－4，
∴P(1，－2)为f (x)图象的对称中心，故B满足题意；
对于C，∵f (x)＝x4＋x2是偶函数，图象关于y轴对称，且f (x)在(0，＋∞)单调递增，在(－∞，0)单调递减，其图象大致如图1所示．
故不可能找到一个点使f (x)的图象为中心对称图形，故C不满足题意；
对于D，f (x)＝的图象如图2所示，其图象关于点(1，0)对称．故D满足题意．
]
2．BC [∵函数y＝f (x＋2)是偶函数，
∴函数y＝f (x＋2)的图象关于y轴对称，
即函数y＝f (x)的图象关于直线x＝2对称，C正确，D错误．
∵函数f (x)在(0，2)上单调递减，∴函数f (x)在(2，4)上单调递增，A错误，B正确．]
3．(－1，1) [∵y＝，
∴该函数图象是由y＝－的图象先向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的．
∴其图象的对称中心为点(－1，1)．]
4．(1)2 (2)(0，1) [(1)∵y＝mx3＋nx在R上为奇函数，∴在[－6，6]上，ymax＝－ymin，
∴M＋N＝(ymax＋1)＋(ymin＋1)＝2．
(2)法一：由(1)知，y＝mx3＋nx为奇函数，
∴其图象对称中心为点(0，0)，所以函数f (x)图象的对称中心为点(0，1)．
法二：∵g(x)＝f (x＋a)－b＝(x＋a)3－3(x＋a)＋1－b＝x3＋3ax2＋(3a2－3)x＋a3－3a＋1－b在R上为奇函数，
∴
∴函数f (x)图象的对称中心为点(0，1)．]
5．B
6．A [∵f (x)＝为奇函数，其图象对称中心为(0，0)，
函数y＝f (x－1)＋1的图象是由函数f (x)的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的，
∴y＝f (x－1)＋1的图象的对称中心为(1，1)．故选A．]
7．D [f (x)＝，
因为函数图象关于点(1，2)对称，所以f (x)＋f (2－x)＝4，
所以a＋＝4，可得a＝2．故选D．]
8．C [因为函数f (x＋1)的图象关于点(0，2)对称，
所以f (x)的图象关于点(1，2)对称，
所以f (x)＋f (2－x)＝4，
结合选项可知，f (0)＋f (2)＝4一定成立．
故选C．]
9．BD [因为f (x＋2)为偶函数，所以f (x＋2)＝f (－x＋2)，函数f (x)图象关于直线x＝2对称，
因为f (－3x＋1)为奇函数，所以f (－3x＋1)＝－f (3x＋1)，函数f (x)的图象关于点(1，0)对称，
因为函数f (x)的定义域为R，所以f (1)＝0，B正确；
又因为函数f (x)的图象关于直线x＝2对称，所以f (3)＝0，
由f (－3x＋1)＝－f (3x＋1)，令x＝，
可得f (－1)＝－f (3)＝0，D正确；
可构造函数f (x)＝cos 满足题意，此时f (2)＝cos 0＝1，f (0)＝cos (－π)＝－1，AC错误．故选BD．]
10．x＝1 [因为y＝f (x)与y＝f (－x)的图象关于y轴(即直线x＝0)对称，
而y＝f (x－1)的图象是y＝f (x)的图象向右平移1个单位长度得到的，
y＝f (1－x)＝f (－(x－1))的图象是y＝f (－x)的图象向右平移1个单位长度得到的，
所以y＝f (x－1)与y＝f (1－x)的图象关于直线x＝1对称．]
11．0 [因为函数y＝f (x)的图象关于点(2，0)对称，
所以f (－x)＝－f (4＋x)，
又f (－x)＝f (2＋x)，
所以f (x＋2)＋f (x＋4)＝0，
所以f (x)＋f (x＋2)＝0，
即f (x＋2)＝－f (x)，
所以f (x＋4)＝－f (x＋2)＝f (x)，
所以函数f (x)的一个周期为4，
所以f (18)＝f (2)＝0．]
12． [易得f (x)＝(x－2a)lg 的定义域为(－∞，0)∪(1，＋∞)，
若函数f (x)的图象关于直线x＝b对称，则其定义域一定关于直线x＝b对称，所以b＝，
此时必有f (－1)＝f (2)，即(－1－2a)lg 2＝(2－2a)lg ，解得a＝，
下面验证：f (1－x)＝lg lg
＝lg ，
所以f (x)＝f (1－x)，故a＝满足题意，所以a＋b＝．]
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