课后习题(十三) 对数与对数函数
1．(北师大版必修第一册P106习题4－2A组T2改编)下列结论正确的是( )
[A] 若log2x＝3，则x＝6
[B] 若e＝ln x，则x＝e2
[C] lg(ln e)＝0
[D] ＝
2．(多选)(人教A版必修第一册P140习题4.4T2改编)下列结论中正确的是( )
[A] 若log3m
[B] 若log0.3mn>0
[C] 若logam[D] 若logm51
3．(多选)(人教A版必修第一册P161复习参考题4T11改编)已知函数f (x)＝－log2(x＋4)，则下列结论正确的是( )
[A] 函数f (x)的定义域是[－4，2]
[B] 函数y＝f (x－1)是偶函数
[C] 函数f (x)在区间[－1，2)上单调递增
[D] 函数f (x)的图象关于直线x＝－1对称
4．(人教A版必修第一册P141习题4.4T10改编)声强级LI(单位：dB)由公式LI＝10lg 给出，其中I为声强(单位：W/m2)．平时常人交谈时的声强约为10-6 W/m2，则其声强级为________dB；一般正常人听觉能忍受的最高声强为1 W/m2，能听到的最低声强为10-12W/m2，则人听觉的声强级(单位：dB)范围为________．
5．(2024·郑州月考)函数f (x)＝logx－1的定义域为( )
[A] {x|x＞1且x≠2} [B] {x|1＜x＜2}
[C] {x|x＞2} [D] {x|x≠1}
6．(2024·武汉质检)已知a＝log30.5，b＝log3π，c＝log43，则a，b，c的大小关系是( )
[A] a[C] a7．(2024·黔西南州期末)函数f (x)的图象如图所示，则f (x)的解析式可能是( )
[A] f (x)＝|log2(x＋1)|
[B] f (x)＝log2(x＋1)
[C] f (x)＝|2x－1|
[D] f (x)＝2x－1
8．(2025·凉山州模拟)工厂废气排放前要过滤废气中的污染物再进行排放，废气中污染物含量y(单位：mg/L)与过滤时间t小时的关系为y＝y0e－at(y0，a均为正常数)．已知前5小时过滤掉了10%污染物，那么当污染物过滤掉50%还需要经过( )
(最终结果精确到1 h，参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)
[A] 43 h [B] 38 h
[C] 33 h [D] 28 h
9．(2024·四川成都高三校考阶段练习)函数f (x)＝2＋loga(x－1)(a>0且a≠1)的图象恒过点________．
10．(2024·辽宁大连二十四中校联考期末)已知函数f (x)＝ln (ax2－2x＋2)，若f (x)在区间上单调递减，则实数a的取值范围是________．
11．(2024·保山期末)已知函数f (x)＝loga(2x＋1)，a＞0且a≠1．
(1)若a＝2，解不等式f (x)＞2；
(2)若f (x)在[1，3]上的最大值与最小值的差为1，求a的值．
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1．C
2．ABD [函数y＝log3x在定义域(0，＋∞)上是增函数，又因为log3m函数y＝log0.3x在定义域(0，＋∞)上是减函数，又因为log0.3mn>0，所以B中结论正确；
当0n>0，所以C中结论错误；
因为5<7，且logm51，所以D中结论正确．]
3．BCD [由得－44．60 [0，120] [当I＝10-6时，LI＝＝10lg 106＝60，所以声强级为60 dB．
当I＝1时，LI＝10lg ＝120；
当I＝10-12时，LI＝10lg 1＝0，所以人听觉的声强级(单位：dB)范围为[0，120]．]
5．C 6．C
7．A [结合题图可知f (x)的定义域为(－1，＋∞)，
对于C，D选项，f (x)＝|2x－1|，f (x)＝2x－1的定义域为R，故排除C，D；
对于B选项，f (x)＝log2(x＋1)定义域为(－1，＋∞)，
当x＝－时，f (x)＝log2＝－1，不合题意，排除B；
对于A，f (x)＝|log2(x＋1)|的定义域为(－1，＋∞)，且其在(－1，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故A正确．故选A．]
8．D [∵废气中污染物含量y与过滤时间t小时的关系为y＝y0e－at，
令t＝0，得废气中初始污染物含量为y＝y0，
又∵前5小时过滤掉了10%污染物，
∴(1－10%)y0＝y0e-5a，则a＝－，
∴当污染物过滤掉50%时，(1－50%)y0＝y0e－at，
则t＝≈33 h，
∴当污染物过滤掉50%还需要经过33－5＝28 h．故选D．]
9．(2，2) [由函数f (x)＝2＋loga(x－1)，令x－1＝1，即x＝2，
可得f (2)＝2＋loga(2－1)＝2＋loga1＝2，所以函数f (x)的图象恒过定点(2，2)．]
10．[0，2] [因为函数f (x)＝ln (ax2－2x＋2)在区间上单调递减，
设g(x)＝ax2－2x＋2，
所以g(x)＝ax2－2x＋2在区间上单调递减，且g(x)>0在区间上恒成立，
当a＝0时，g(x)＝－2x＋2，满足题意；
当a<0时，g(x)＝ax2－2x＋2，开口向下，在区间上不单调递减，不满足题意；
当a>0时，g(x)＝ax2－2x＋2，
所以解得0所以综上可得0≤a≤2．
故实数a的取值范围为[0，2]．]
11．解：(1)当a＝2时，f (x)＝log2(2x＋1)＞2化为2x＋1＞22，解得x>，
所以不等式的解集为．
(2)当a＞1时，函数f (x)在[1，3]上单调递增，
则当x＝1时，f (x)min＝loga3，当x＝3时＝loga7，
所以loga7－loga3＝loga＝1，解得a＝；
当0＜a＜1时，函数f (x)在[1，3]上单调递减，
则f (x)min＝f (3)＝loga7，f (x)max＝f (1)＝loga3，
则loga3－loga7＝loga＝1，解得a＝．
综上，实数a的值为或．
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