课后习题(十五)
1．D [∵f (x)为连续函数，且f (a)f (b)<0，
∴函数f (x)在区间[a，b]上至少有一个零点，
∵函数f (x)在区间[a，b]上单调，∴函数f (x)在区间[a，b]上至多有一个零点，
故函数f (x)在区间[a，b]上有且只有一个零点，即方程f (x)＝0在区间[a，b]内必有唯一的实数解．]
2．B [f (x)＝x＋log2x在(0，＋∞)上单调递增，
f＋log2－log23<－log22＝－<0，
f＋log2<0，
f＋log2－log23＝＝(log232－log227)>0，则函数f (x)＝x＋log2x的零点所在的区间为．]
3．C [令f (x)＝0，得|log2x|＝，在同一平面直角坐标系中分别作出函数y＝|log2x|与y＝的图象如图所示，
由图可知，函数y＝|log2x|与y＝的图象有2个交点，即函数f (x)有2个零点．故选C．]
4．AC [作出f (x)的图象与直线y＝k，如图．
由图象可知，
当k<－4时，f (x)＝k有1个解，A正确；
当k＝－4或k>－3时，f (x)＝k有2个解，B错误；
当－4f (x)＝k不可能有4个解，D错误．]
5．B 6．D
7．C [因为f (x)＝ln x＋x2＋a，x＞0，y＝ln x和y＝x2在(0，＋∞)上单调递增，
所以f (x)＝ln x＋x2＋a在(0，＋∞)上单调递增，
当函数在(1，e)上存在零点时，
则有
解得－1－e2＜a＜－1，又因为(－1－e2，－1) (－∞，－1)，
所以“a＜－1”是“函数f (x)在(1，e)上存在零点”的必要不充分条件．
故选C．]
8．C [函数f (x)＝3x|log2x|－1的零点，
即3x|log2x|－1＝0的解，
即|log2x|＝的解，
即y＝|log2x|与y＝图象的交点，如图所示，
从函数图象可知，y＝|log2x|与y＝的图象有2个交点，即函数f (x)的零点个数为2．]
9．B [设h(x)＝(x＞0)，则h′(x)＝，
令h′(x)＞0，解得0＜x＜e，令h′(x)＜0，解得x＞e，
所以函数h(x)在(0，e)单调递增，在(e，＋∞)单调递减．
所以h(x)max＝．因为g(x)＝f (x)－a＝0，
所以f (x)＝a有三个根．作出函数y＝f (x)和y＝a的图象如图所示，
所以a的取值范围为．故选B．]
10．[2，＋∞)∪{－1} [由f (x)＝|2x－3|－1－m＝0，得|2x－3|－1＝m．
设函数g(x)＝|2x－3|－1
＝
作出g(x)的大致图象，如图所示．
由图可知，m的取值范围是[2，＋∞)∪{－1}．]
11． [∵a b＝
∴函数f (x)＝(x2－2) (x－x2)＝
由图可知，当－c∈，
即c∈时，
函数f (x) 与y＝－c的图象有两个公共点，
∴实数c的取值范围是
12．解：(1)①由于函数f (x)是定义域为R的奇函数，f (0)＝0；
②当x＜0时，－x＞0，因为f (x)是奇函数，所以f (－x)＝－f (x)．
所以f (x)＝－f (－x)＝－[(－x)2＋2x]＝－x2－2x，
综上，函数f (x)在R上的解析式为f (x)＝
(2)图象如图所示，
单调递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)，单调递减区间为(－1，1)．
(3)因为方程f (x)＝m有三个不同的解，由图象可知，满足题意的m的取值范围为(－1，1)．
1/1课后习题(十五) 函数的零点与方程的解
1．(人教A版必修第一册P144练习T1改编)已知函数f (x)在区间[a，b]上单调，且图象是连续不断的，若f (a)f (b)<0，则方程f (x)＝0在区间[a，b]上( )
[A] 至少有一实数解
[B] 至多有一实数解
[C] 没有实数解
[D] 必有唯一的实数解
2．(北师大版必修第一册P131例1改编)函数f (x)＝x＋log2x的零点所在的区间为( )
[A] [B]
[C] [D]
3．(人教A版必修第一册P143例1改编)函数f (x)＝2x|log2x|－1的零点个数为( )
[A] 0 [B] 1
[C] 2 [D] 4
4．(多选)(人教A版必修第一册P160复习参考题4T4改编)已知函数f (x)＝对于方程f (x)＝k(k<0)，下列说法正确的是( )
[A] 当k<－4时，f (x)＝k有1个解
[B] 若f (x)＝k有2个解，则k>－3
[C] 当－4[D] f (x)＝k可能有4个解
5．(2024·北京学业考试)函数f (x)＝x(x2＋1)的零点为( )
[A] －1 [B] 0
[C] 1 [D] 2
6．(2024·广州越秀区期末)函数f (x)＝x＋ln x－5的零点所在的一个区间是( )
[A] (0，1) [B] (1，2)
[C] (2，3) [D] (3，4)
7．(2025·漯河模拟)函数f (x)＝ln x＋x2＋a，则“a＜－1”是“函数f (x)在(1，e)上存在零点”的( )
[A] 充分不必要条件
[B] 充要条件
[C] 必要不充分条件
[D] 既不充分也不必要条件
8．(2025·渭南模拟)函数f (x)＝3x|log2x|－1的零点个数为( )
[A] 0 [B] 1
[C] 2 [D] 3
9．(2024·北京通州区期末)已知函数f (x)＝若g(x)＝f (x)－a有3个零点，则a的取值范围为( )
[A] (－1，0) [B]
[C] [D] ∪{－1}
10．(2025·广东模拟)若函数f (x)＝|2x－3|－1－m只有1个零点，则m的取值范围是________．
11．(2025·天津红桥区模拟)对实数a和b，定义运算“ ”：a b＝设函数f (x)＝(x2－2) (x－x2)，x∈R，若函数y＝f (x)＋c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是________．
12．(2025·海南模拟)已知函数f (x)是定义域为R的奇函数，当x＞0时，f (x)＝x2－2x．
(1)求出函数f (x)在R上的解析式；
(2)画出函数f (x)的图象，并写出单调区间；
(3)若y＝f (x)的图象与y＝m有3个交点，求实数m的取值范围．
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