课后习题(十六) 函数模型及其应用
1．(多选)(湘教版必修第一册P148习题4.5T4改编)某部影片的盈利额(即影片的票房收入与固定成本之差)记为y，观影人数记为x，y关于x的函数图象如图(1)所示．由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图(2)、图(3)中的实线分别为调整后y关于x的函数图象．
给出下列四种说法，其中正确的说法是( )
[A] 图(2)对应的方案是：提高票价，并提高固定成本
[B] 图(2)对应的方案是：保持票价不变，并降低固定成本
[C] 图(3)对应的方案是：提高票价，并保持固定成本不变
[D] 图(3)对应的方案是：提高票价，并降低固定成本
2．(人教A版必修第一册P139练习T1改编)有一组实验数据如表所示：
x 1 2 3 4 5
y 1.5 5.9 13.4 24.1 37
下列所给函数模型较适合的是( )
[A] y＝logax(a>1) [B] y＝ax＋b(a>1)
[C] y＝ax2＋b(a>0) [D] y＝logax＋b(a>1)
3．(多选)(人教A版必修第一册P155习题4.5T9改编)如图，某池塘里浮萍的面积y(单位：m2)与时间t(单位：月)的关系为y＝at(a＞0，且a≠1)．下列说法正确的是( )
[A] 浮萍每月的增长率为2
[B] 第5个月时，浮萍面积就会超过30 m2
[C] 浮萍每月增加的面积都相等
[D] 若浮萍蔓延到2 m2，3 m2，6 m2所经过的时间分别是t1，t2，t3，则t1＋t2＝t3
4．(人教A版必修第一册P161复习参考题4T13改编)为了预防某种病毒，某商场需要通过喷洒药物对内部空间进行全面消毒．出于对顾客身体健康的考虑，相关部门规定空气中这种药物的浓度不超过0.25毫克/立方米时，顾客方可进入商场．已知从喷洒药物开始，商场内部的药物浓度y(毫克/立方米)与时间t(分钟)之间的函数关系为y＝函数的图象如图所示．如果商场规定9：30顾客可以进入商场，那么开始喷洒药物的时间最迟是( )
[A] 9：00 [B] 8：40
[C] 8：30 [D] 8：00
5．(2025·常德模拟)荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”在“进步率”和“退步率”都是1%的前提下，我们可以把(1＋1%)365看作是经过365天的“进步值”，(1－1%)365看作是经过365天的“退步值”，则大约经过( )天时，“进步值”大约是“退步值”的100倍(参考数据：lg 101≈2.004 3，lg 99≈1.995 6)
[A] 100 [B] 230
[C] 130 [D] 365
6．(2025·浙江模拟)近年，“人工智能”相关软件以其极高的智能化水平引起国内关注，深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的．在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为L＝，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，G表示训练迭代轮数，则学习率衰减到0.2及以下所需的训练迭代轮数至少为(参考数据：lg 2≈0.301)( )
[A] 16 [B] 72
[C] 74 [D] 90
7．(多选)(2025·惠州模拟)现代研究结果显示，饮茶温度最好不要超过60 ℃，一杯茶泡好后置于室内，1分钟、2分钟后测得这杯茶的温度分别为80 ℃，65 ℃，给出两个茶温T(单位：℃)关于茶泡好后置于室内时间t(单位：分钟)的函数模型：①T＝80·＋20；②T＝60·＋20．根据所给的数据，下列结论中正确的是( )
(参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)
[A] 选择函数模型①
[B] 该杯茶泡好后到饮用至少需要等待3分钟
[C] 选择函数模型②
[D] 该杯茶泡好后到饮用至少需要等待2.5分钟
8．(2025·福州福清市模拟)当药品A注射到人体内，它在血液中的残余量会以每小时25%的速度减少，另一种药物B注射到人体内，它在血液中的残余量会以每小时10%的速度减少．现同时给两位患者分别注射800 mg药品A和500 mg药品B，当两位患者体内药品的残余量恰好相等时，所经过的时间约为(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)( )
[A] 0.57 h [B] 1.36 h
[C] 2.58 h [D] 3.26 h
9．(多选)(2025·重庆模拟)英国经济学家凯恩斯研究了国民收入支配与国家经济发展之间的关系，强调政府对市场经济的干预，并形成了现代西方经济学的一个重要学派——凯恩斯学派．凯恩斯抽象出三个核心要素：国民收入Y，国民消费C和国民投资I，假设国民收入不是用于消费就是用于投资，就有其中常数a0表示房租、水电等固定消费，a(a≤1)为国民“边际消费倾向”．则( )
[A] 若固定I且I≥0，则国民收入越高，“边际消费倾向”越大
[B] 若固定Y且Y≥0，则“边际消费倾向”越大，国民投资越高
[C] 若a＝，则收入增长量是投资增长量的5倍
[D] 若a＝－，则收入增长量是投资增长量的
10．(2025·金华模拟)某地区上年度电价为0.8元/kW·h，年用电量为a kW·h，本年度计划将电价下降到0.55～0.75元/kW·h之间，而用户期望电价为0.4元/kW·h．经测算下调电价后的新增用电量，和实际电价与用户的期望电价的差成反比(比例系数为μ)．该地区的电力成本价为0.3元/kW·h．已知μ＝0.2a，为保证电力部门的收益比上年至少增长20%，则最低的电价可定为______元/kW·h．
11．(2025·河南济源模拟)随着全民健身运动的开展，人们的健身需求更加多样化和个性化．某健身机构趁机推出线上服务，健身教练开通直播，线上具有获客、运营、传播等便利，线下具有器械、场景丰富等优势，成功吸引新会员留住老会员．据机构统计，当直播间吸引粉丝量不低于2万人时，其线下销售健身卡的利润y(单位：万元)随粉丝量x(单位：万人)的变化情况如下表所示．根据表中数据，我们用函数模型y＝loga(x＋m)＋b进行拟合，建立y关于x的函数解析式．请你按此模型估测，当直播间的粉丝量为17万人时，线下销售健身卡的利润大约为________万元．
x 3 5 9
y
12．(2025·娄底涟源市模拟)一种药在病人血液中的含量不低于2克时，它才能起到有效治疗的作用，已知每服用m(1≤m≤12且m∈R)克的药剂，药剂在血液中的含量y(克)随着时间x(小时)变化的函数关系式近似为y＝·f (x)，其中f (x)＝
(1)若病人一次服用9克的药剂，则有效治疗时间可达多少小时？
(2)若病人第一次服用6克的药剂，6个小时后再服用3m克的药剂，要使接下来的2小时中能够持续有效治疗，试求m的最小值．
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1．BC [由图(1)可设y关于x的函数为y＝kx＋b，k＞0，b＜0，k为票价，当x＝0时，y＝b，则－b为固定成本．由图(2)知，直线向上平移，k不变，即票价不变，b变大，则－b变小，固定成本减小，故A错误，B正确；由图(3)知，直线与y轴的交点不变，直线斜率变大，即k变大，票价提高，b不变，即－b不变，固定成本不变，故C正确，D错误．故选BC．]
2．C
3．BD [由题图可得，函数过点(1，2)，则2＝a1，即a＝2，故y＝2t．
对于A：浮萍每月的增长率为＝1，故A错误；
对于B：第5个月时，即t＝5时，浮萍的面积y＝25＝32＞30，故B正确；
对于C：第二个月比第一个月增加y2－y1＝22－21＝2，第三个月比第二个月增加y3－y2＝23－22＝4，即y2－y1≠y3－y2，故C错误；
对于D：由题意可得2＝，所以t1＝log22，t2＝log23，t3＝log26，则t1＋t2＝log22＋log23＝log2(2×3)＝log26＝t3，故D正确．故选BD．]
4．A [由题图可知函数的图象过点(10，1)，
代入函数的解析式，可得＝1，解得a＝1，
所以y＝
令y≤0.25，可得0.1t≤0.25(0≤t≤10)或≤0.25(t>10)，
解得0所以如果商场规定9：30顾客可以进入商场，那么开始喷洒药物的时间最迟是9：00．]
5．B [设大约经过n天“进步值”大约是“退步值”的100倍，
则＝100 n＝≈230天．故选B．]
6．C [由题意知，只要解不等式，化简得lg，
因为lg <0，
所以G≥×18≈73.856，故选C．]
7．AD [选择函数模型①，则当t＝1时，T＝80·＋20＝80 ℃，当t＝2时，T＝80·＋20＝65 ℃，符合要求，选择函数模型②，则当t＝1时，T＝60·＋20＝60 ℃，不符合要求，故选择函数模型①，即A正确，C错误；令T＝60，则有60＝80·＋20，即t lg ＝lg ，
即t＝≈＝2.5，
故该杯茶泡好后到饮用至少需要等待2.5分钟，故B错误，D正确．故选AD．]
8．C [设经过t小时后两位患者体内药品的残余量恰好相等，
由题意得，800×(1－25%)t＝500×(1－10%)t，
整理得，两边取常用对数得，
tlg＝lg，
即t(lg 5－lg 6)＝lg 5－lg 8，即t(1－2lg 2－lg 3)＝1－4lg 2，
所以t＝
≈≈2.58，
所以大约经过2.58 h时，两位患者体内药品的残余量恰好相等．故选C．]
9．AC [对于A，由得aY＝C－a0＝Y－I－a0，
所以a＝1－，若固定I且I≥0，由a0＞0，则国民收入Y越高，“边际消费倾向”a越大，选项A正确；对于B，因为I＝Y－C＝Y－a0－aY＝(1－a)Y－a0，因为a≤1，所以1－a≥0，固定Y且Y≥0，则“边际消费倾向”a越大，国民投资I越低，选项B错误；
对于C，a＝时，Y＝C＋I＝a0＋aY＋I＝a0＋Y＋I，所以Y＝5(a0＋I)，所以收入增长量ΔY是投资增长量ΔI的5倍，选项C正确；对于D，a＝－时，Y＝a0－Y＋I，所以Y＝(a0＋I)，则收入增长量是投资增长量的，选项D错误．故选AC．]
10．0.6 [设下调后的电价为x元/kW·h，
依题意知，新增用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为0.2a)，
则新增用电量为，即用电量增至＋a，
所以本年度收益y＝(x－0.3)，0.55≤x≤0.75，
要保证收益增长率不低于20%，
则y≥[a×(0.8－0.3)](1＋20%)，
即(x－0.3)≥[a×(0.8－0.3)](1＋20%)，
整理得x2－1.1x＋0.3≥0，解得x≥0.6或x≤0.5，
又0.55≤x≤0.75，所以0.60≤x≤0.75，即xmin＝0.6．]
11． [由题意得
化简得
即＝a m＝－1，a＝2，则＝log2(－1＋3)＋b＝1＋b b＝，
所以y＝log2(x－1)＋，
则x＝17时，y＝log2(17－1)＋．]
12．解：(1)由m＝9可得y＝3f (x)＝
当0≤x＜6时，令≥2，解得x≤11，此时0≤x＜6；
当6≤x≤8时，令12－≥2，解得x≤，此时6≤x≤，
综上可得0≤x≤，
所以病人一次服用9克的药剂，则有效治疗时间可达小时．
(2)当6≤x≤8时，y＝2，
由y＝8－x，y＝(m≥1)在[6，8]均为减函数，
可得y＝8－x＋在[6，8]单调递减，即有y≥8－8＋，
由≥2，可得m≥，可得m的最小值为．
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