课后习题(十七) 导数的概念及其意义、导数的运算
1．(人教A版选择性必修第二册P81习题5.2T3改编)已知函数f (x)＝x(19＋ln x)，若f ′(x0)＝20，则x0＝( )
[A] e2 [B] 1
[C] ln 2 [D] e
2．(人教B版选择性必修第三册P91习题6－1CT2改编)已知函数f (x)＝2f ′(3)x－x2＋ln x(f ′(x)是f (x)的导函数)，则f (1)＝( )
[A] － [B] －
[C] [D]
3．(人教B版选择性必修第三册P91习题6－1CT3改编)若直线y＝4x＋m是曲线y＝x3－nx＋13与曲线y＝x2＋2ln x的公切线，则n－m＝( )
[A] 11 [B] 12
[C] －8 [D] －7
4．(人教A版选择性必修第二册P81T1，2改编)求下列函数的导数：
(1)y＝x2＋；(2)y＝x sin x－ln x；
(3)y＝；(4)y＝(x－1)；
(5)y＝ex tan x；(6)y＝；
(7)y＝x sin x＋ex ln x－2；(8)y＝；
(9)y＝(3x＋2)3；(10)y＝sin 2x；
(11)y＝；(12)y＝ln (4x＋5)．
5．(2024·重庆九龙坡区月考)下列求导运算正确的是( )
[A] ′＝3x2＋
[B] ′＝
[C] (22x)′＝22x+1
[D] (x2cos x)′＝－2x sin x
6．(2024·北京怀柔区期末)已知函数y＝f (x)的图象如图所示，则下列各式中正确的是( )
[A] f ′(1)＞f (3)－f (2)＞f ′(3)
[B] f ′(3)＞f ′(1)＞f (3)－f (2)
[C] f ′(3)＞f (3)－f (2)＞f ′(1)
[D] f ′(1)＞f ′(3)＞f (3)－f (2)
7．(2025·新乡模拟)若曲线y＝x3＋x＋3在点(1，5)处的切线与曲线y＝ln x＋ax在点(1，a)处的切线平行，则a＝( )
[A] 3 [B] 2
[C] [D]
8．(2024·常州天宁区月考)下列命题正确的是( )
[A] (sin π)′＝cos π
[B] 已知函数f (x)＝ln (2x＋1)，若f ′(x0)＝1，则x0＝0
[C] 已知函数f (x)在R上可导，若f ′(1)＝2，则＝2
[D] 设函数f (x)的导函数为f ′(x)，且f (x)＝x2＋3xf ′(2)＋ln x，则f ′(2)＝－
9．(2024·山东淄博期末)若函数f (x)满足＝，则f ′(1)＝________．
－ [根据导数的定义可知，＝－＝－f ′(1)＝，
所以f ′(1)＝－．故答案为－．]
10．(2025·信阳模拟)曲线y＝在x＝处的切线方程为________．
11．(2025·牡丹江东安区模拟)已知曲线C：y＝x3＋x－2．
(1)求与直线y＝4x－1平行，且与曲线C相切的直线方程；
(2)设曲线C上任意一点处切线的倾斜角为α，求α的取值范围．
12．(2025·广东模拟节选)已知函数f (x)＝ln x＋1，g(x)＝ex－1．求曲线y＝f (x)与y＝g(x)的公切线的条数．
1/1课后习题(十七) 导数的概念及其意义、导数的运算
1．B 2．D
3．A [由y＝x2＋2ln x，得y′＝2x＋，由2x＋＝4，解得x＝1，
则直线y＝4x＋m与曲线y＝x2＋2ln x相切于点(1，4＋m)，
∴4＋m＝1＋2ln 1＝1，得m＝－3．
∴直线y＝4x－3是曲线y＝x3－nx＋13的切线，
由y＝x3－nx＋13，得y′＝3x2－n，设切点为(t，t3－nt＋13)，
则3t2－n＝4，且t3－nt＋13＝4t－3，联立可得2t3＝16，解得t＝2，由n＝3t2－4，得n＝8．
∴n－m＝8－(－3)＝11．
故选A．]
4．解： (1)由y＝x2＋，
得y′＝2x－．
(2)由y＝x sin x－ln x，
得y′＝(x sin x)′－(ln x)′
＝sin x＋x cos x－
＝sin x＋x cos x－·ln x－．
(3)由y＝，
得y′＝
＝．
(4)由y＝(x－1)＝，
得y′＝．
(5)由y＝ex tan x＝，得y′＝
＝
＝＝ex．
(6)由y＝，
得y′＝
＝．
(7)由y＝x sin x＋ex ln x－2，
得y′＝sin x＋x cos x＋ex ln x＋．
(8)由y＝，
得y′＝
＝．
(9)由y＝(3x＋2)3，得y′＝3×(3x＋2)2×3＝9(3x＋2)2．
(10)由y＝sin 2x，得y′＝cos 2x·(2x)′＝2cos 2x．
(11)由y＝，
得y′＝·(4x－6)′＝＝．
(12)由y＝ln (4x＋5)，得y′＝·(4x＋5)′＝．
5．B
6．C [由题图可知，函数y＝f (x)的图象在x＝3处的切线斜率大于在x＝1处的切线斜率，
则f ′(3)＞f ′(1)，设x＝2在函数图象上对应的点为A，x＝3在函数图象上对应的点为B，
则kAB＝＝f (3)－f (2)，
由题干图象可知，f ′(3)＞f (3)－f (2)＞f ′(1)．故选C．]
7．A 8．D
9．－ [根据导数的定义可知，＝－＝－f ′(1)＝，
所以f ′(1)＝－．故答案为－．]
10．y＝－x＋1 [y＝的导数为y′＝，
可得在x＝处的切线的斜率为k＝－，切点为，
曲线y＝在x＝处的切线方程为y－0＝，
即y＝－x＋1．]
11．解： (1)由y＝x3＋x－2，可得y′＝3x2＋1，
令3x2＋1＝4，解得x＝±1，
当x＝1时，切点坐标为(1，0)，
则切线方程为y＝4(x－1)，即4x－y－4＝0；
当x＝－1时，切点坐标为(－1，－4)，
则切线方程为y＋4＝4(x＋1)，即4x－y＝0；
综上，所求直线方程为4x－y－4＝0或4x－y＝0．
(2)由(1)结合导数的几何意义可得，tan α＝3x2＋1≥1，
又α∈[0，π)，则α∈．
12．解： 设曲线f (x)＝ln x＋1，g(x)＝ex－1的切点分别为(x1，f (x1))，(x2，g(x2))，
则f ′(x)＝，g′(x)＝ex，
故曲线f (x)＝ln x＋1，g(x)＝ex－1在切点处的切线方程分别为y＝(x－x1)＋ln x1＋1 y＝x＋ln x1，
y＝－1 y＝－1，
则需满足
故＝－1)(x2－1)＝0，
解得x2＝0或x2＝1，
因此曲线y＝f (x)与y＝g(x)有两条不同的公切线．
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