课后习题(十八) 导数与函数的单调性
1．(人教A版选择性必修第二册P103复习参考题5T3改编)f ′(x)是f (x)的导函数，若f ′(x)的图象如图所示，则f (x)的图象可能是( )
A B C D
2．(人教A版选择性必修第二册P86例1改编)函数f (x)＝cos x－x在(0，π)上的单调性是( )
[A] 先增后减 [B] 先减后增
[C] 单调递增 [D] 单调递减
3．(人教B版选择性必修第三册P95练习BT3改编)已知函数f (x)＝则f (x)的单调递减区间为________．
4．(人教A版选择性必修第二册P89练习T2改编)已知函数f (x)＝ln x＋e1-x－1，证明f (x)在(0，＋∞)上单调递增．
5．(2025·保定模拟)函数f (x)＝ex－ex的单调递减区间为( )
[A] (1，＋∞) [B] (0，＋∞)
[C] (－∞，0) [D] (－∞，1)
6．(多选)(2025·石家庄裕华区模拟)已知函数f (x)及其导函数f ′(x)的部分图象如图所示，设函数g(x)＝e－xf (x)，则下列命题正确的是( )
[A] 函数f (x)先减后增再减
[B] 函数f (x)先增后减
[C] 函数g(x)在区间(a，b)上单调递减
[D] 函数g(x)在区间(a，b)上单调递增
7．(多选)(2025·重庆沙坪坝区模拟)下列函数在定义域上为增函数的是( )
[A] f (x)＝x ln x [B] f (x)＝ln x＋x
[C] f (x)＝x－cos x [D] f (x)＝x2ex
8．(2024·广州三模)若函数f (x)＝2x3－3mx2＋6x在区间(1，＋∞)上单调递增，则实数m的取值范围是( )
[A] (－∞，1] [B] (－∞，1)
[C] (－∞，2] [D] (－∞，2)
C [f ′(x)＝6x2－6mx＋6，由已知条件知x∈(1，＋∞)时，f ′(x)≥0恒成立．设g(x)＝6x2－6mx＋6，则g(x)≥0在(1，＋∞)上恒成立．
即m≤x＋在(1，＋∞)上恒成立，
设h(x)＝x＋，则h(x)在(1，＋∞)上单调递增，
∴h(x)>2，从而m≤2，故选[C] ]
9．(2025·清远模拟)函数f (x)＝ex－ex＋2 024的单调递减区间为________．
10．(2025·山东济南模拟)已知函数f (x)＝x－2f ′(1)ln (x＋1)－f (0)ex，则f (x)的单调递减区间为________．
11．(2025·北京东城区模拟)设函数f (x)＝aex＋x，其中a∈R．曲线y＝f (x)在点(0，f (0))处的切线方程为y＝－x＋[B]
(1)求a，b的值；
(2)求f (x)的单调区间．
12．(2025·青岛模拟)已知函数f (x)＝x2－a ln x．
(1)若函数f (x)的图象在点P(1，f (1))处的切线l过坐标原点，求实数a的值；
(2)讨论函数f (x)的单调性．
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1．C
2．D [因为f ′(x)＝－sin x－1＜0在(0，π)上恒成立，所以f (x)在(0，π)上单调递减，故选D．]
3．(－∞，1)(或(－∞，1]) [当x<0时，f (x)＝－x－2，则f (x)在(－∞，0)上单调递减．当x≥0时，f (x)＝(x－2)ex，则f ′(x)＝ex＋(x－2)ex＝(x－1)ex，当0≤x<1时，f ′(x)<0，f (x)在[0，1)上单调递减．又(0－2)e0＝－2，所以f (x)的单调递减区间为(－∞，1)(或(－∞，1])．]
4．证明： 由题意知，f (x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝－e1-x＝．
令g(x)＝ex-1－x(x>0)，则g′(x)＝ex-1－1，
由g′(x)＝0，可得x＝1．
∴当x∈(0，1)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，
当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，
∴当x＝1时，g(x)min＝g(1)＝0，即g(x)≥0，
∴f ′(x)≥0，
则f (x)在(0，＋∞)上单调递增．
5．A [f ′(x)＝e－ex，令f ′(x)＜0，解得x＞1，
所以f (x)的单调递减区间为(1，＋∞)．
故选A．]
6．AD [对于A，B，由题意可得，f (x)与f ′(x)对应的图象如图所示，
法一：直接观察f (x)的图象可以得出函数f (x)先减后增再减；
法二：由f ′(x)图象可得，f ′(x)的正负变化，从左至右分别为负、正、负，
所以可以判断原函数f (x)的单调性为先减后增再减，故A正确，B错误；
对于C，D，因为g(x)＝e－xf (x)＝，
所以g′(x)＝＝，
由图可得，在区间(a，b)上，f ′(x)图象在f (x)图象上方，即f ′(x)＞f (x)，
所以g′(x)＞0，所以函数g(x)在区间(a，b)上单调递增，故C错误，D正确．
故选AD．]
7．BC [对于A，f (x)＝x ln x的定义域为(0，＋∞)，
f ′(x)＝ln x＋x·＝ln x＋1，令f ′(x)＝0得x＝，
所以在上，f ′(x)＜0，f (x)单调递减，
在上，f ′(x)＞0，f (x)单调递增，故A错误；
对于B，f (x)＝ln x＋x的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝＋1＝＞0，
f (x)在(0，＋∞)上单调递增，故B正确；
对于C，f (x)＝x－cos x的定义域为R，f ′(x)＝1－(－sin x)＝1＋sin x，
因为x∈R，所以sin x∈[－1，1]，所以1＋sin x∈[0，2]，
所以当x∈R时，f ′(x)≥0，f (x)单调递增，故C正确；
对于D，f (x)＝x2ex的定义域为R，f ′(x)＝x2ex＋2xex＝(x＋2)xex，
令f ′(x)＝0，得x＝－2或0，所以在(－∞，－2)上，f ′(x)＞0，f (x)单调递增，
在(－2，0)上，f ′(x)＜0，f (x)单调递减，
在(0，＋∞)上，f ′(x)＞0，f (x)单调递增，故D错误．故选BC．]
8．C [f ′(x)＝6x2－6mx＋6，由已知条件知x∈(1，＋∞)时，f ′(x)≥0恒成立．设g(x)＝6x2－6mx＋6，则g(x)≥0在(1，＋∞)上恒成立．
即m≤x＋在(1，＋∞)上恒成立，
设h(x)＝x＋，则h(x)在(1，＋∞)上单调递增，
∴h(x)>2，从而m≤2，故选C．]
9．(－∞，1) [易知函数f (x)的定义域为R，可得f ′(x)＝ex－e，令f ′(x)＜0，
解得x＜1，则函数f (x)的单调递减区间为(－∞，1)．]
10．(－1，0) [由题意可知x>－1，
f (0)＝0－2f ′(1)ln (0＋1)－f (0)e0＝－f (0)，
所以f (0)＝0，故f (x)＝x－2f ′(1)ln (x＋1)，
f ′(x)＝1－，
所以f ′(1)＝1－，解得f ′(1)＝，
故f ′(x)＝1－＝，
令f ′(x)<0，即<0，解得－1故f (x)的单调递减区间为(－1，0)．]
11．解： (1)∵函数f (x)＝aex＋x，∴f ′(x)＝aex＋1，
∵曲线y＝f (x)在点(0，f (0))处的切线方程为y＝－x＋b，
∴解得a＝－2，b＝－2．
(2)由(1)可得f ′(x)＝－2ex＋1＝－2，
∴当x＞－ln 2时，f ′(x)＜0，f (x)单调递减，
当x＜－ln 2时，f ′(x)＞0，f (x)单调递增．
故函数f (x)的单调递增区间为(－∞，－ln 2)，单调递减区间为(－ln 2，＋∞)．
12．解： (1)由f ′(x)＝2x－，有f ′(1)＝2－a，f (1)＝1，
可得曲线y＝f (x)在点P处的切线方程为y－1＝(2－a)(x－1)，
整理为y＝(2－a)x＋a－1，将(0，0)代入，有0＝a－1，可得a＝1，
故实数a的值为1．
(2)由f ′(x)＝2x－＝，x＞0．
①当a≤0时，f ′(x)＞0在(0，＋∞)上恒成立，可得函数f (x)的单调递增区间为(0，＋∞)，没有单调递减区间；
②当a＞0时，令f ′(x)＞0，可得x>，
令f ′(x)<0，可得0故函数f (x)的单调递减区间为，单调递增区间为．
综上可知，当a≤0时，f (x)在(0，＋∞)上单调递增；
当a＞0时，f (x)在上单调递减，在上单调递增．
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