课后习题(十九) 函数单调性的应用
1．D [f ′(x)＝2－cos x，因为cos x∈[－1，1]，所以f ′(x)>0恒成立，所以f (x)在(0，＋∞)上单调递增，因为2.7
2．C [由(x－1)f ′(x)≥0，得或①函数y＝f (x)在(－∞，1]上单调递减，f (0)>f (1)；在[1，＋∞)上单调递增，f (2)>f (1)，所以f (0)＋f (2)>2f (1)．②若函数y＝f (x)为常数函数，则f (0)＋f (2)＝2f (1)．综合①②得f (0)＋f (2)≥2f (1)．故选C．]
3．C [由题意，函数f (x)的定义域为R，f ′(x)＝3ax2－6x＋1，要使函数f (x)＝ax3－3x2＋x＋1恰有三个单调区间，则f ′(x)＝0有两个不相等的实数根，∴得a<3且a≠0，故选C．]
4．证明： 要证设p(x)＝ln x－x＋1，x∈(1，＋∞)，则p′(x)＝－1<0，p(x)在区间(1，＋∞)上单调递减，
则p(x)设q(x)＝ln x－，x∈(1，＋∞)，则q′(x)＝＝>0，q(x)在区间(1，＋∞)上单调递增，
则q(x)>ln 1－＝0，即ln x>(x∈(1，＋∞))．
综上，当x∈(1，＋∞)时，5．A [f ′(x)＞0，f (x)在R上单调递增，
又f (1)＝0，x＜1时，f (x)＜0，x＞1时，f (x)＞0，
对于(x－2)f (x)＞0，当x＞2时，不等式成立，
当1＜x＜2时，x－2＜0，f (x)＞0，不等式不成立，
当x＜1时，x－2＜0，且f (x)＜0，不等式成立，
故不等式的解集是(－∞，1)∪(2，＋∞)，故选A．]
6．A [由f (x)＝ln x－mx在[1，2]上单调递减，
可得f ′(x)＝－m≤0在[1，2]上恒成立，故m≥，
因为函数y＝在[1，2]上单调递减，
所以当x＝1时，函数取得最大值1，所以m≥1，所以m的最小值为1．
故选A．]
7．D [f ′(x)＝6x＋sin x，令g(x)＝6x＋sin x，g′(x)＝6＋cos x，因为－1≤cos x≤1，所以5≤6＋cos x≤7，即g′(x)＞0，所以g(x)在R上单调递增，又g(0)＝0，所以在(－∞，0)上g(x)＜0，f ′(x)＜0，f (x)单调递减，在(0，＋∞)上g(x)＞0，f ′(x)＞0，f (x)单调递增．因为f (－x)＝3(－x)2－cos (－x)＝3x2－cos x＝f (x)，所以f (x)为偶函数，所以f (－3)＝f (3)，因为e＜3＜π，
所以f (e)＜f (3)＜f (π)，即f (e)＜f (－3)＜f (π)．
故选D．]
8．C [由题意得f ′(x)＝2a－＝，
∵f (x)在(1，3)上不单调，∴f (x)在(1，3)上有极值点，
∴当a＝0时，f ′(x)＝－<0在(1，3)上恒成立，f (x)在(1，3)上单调递减，不满足题意；
当a≠0时，由f ′(x)＝0得x＝，则1<<3，解得故实数a的取值范围为．故选C．]
9．AD [对于A，∵f ′(x)＞0，∴f (x)在(0，＋∞)上单调递增，
∵e＜3＜π，∴f (e)＜f (3)＜f (π)，故A正确；
对于B，∵f (x)在(0，＋∞)上是上凸函数，
由导数的几何意义知，随着x的增大，曲线在某点的切线的斜率越来越小，
∴f ′(e)＞f ′(3)＞f ′(π)，故B错误；
对于C，D，设A(2 023，f (2 023))，
B(2 024，f (2 024))，
由切线的几何意义知f ′(2 024)＜kAB＜f ′(2 023)，
即f ′(2 024)<∴f ′(2 024)＜f (2 024)－f (2 023)＜f ′(2 023)，故C错误，D正确．故选AD．]
10．{x|x＜0或1＜x＜3} [结合函数图象可知，当x＜0时，f (x)单调递增，f ′(x)＞0，此时xf ′(x)＜0，
当0＜x＜1时，f (x)单调递增，f ′(x)＞0，此时xf ′(x)＞0，不符合题意，
当1＜x＜3时，f (x)单调递减，f ′(x)＜0，此时xf ′(x)＜0，
当x>3时，f (x)单调递增，f ′(x)＞0，此时xf ′(x)＞0，不符合题意．
不等式xf ′(x)<0的解集为{x|x＜0或1＜x＜3}．]
11．(1，＋∞) [令g(x)＝f (x)－x＋2，则g′(x)＝f ′(x)－1＞0，∴g(x)在R上单调递增，
又∵f (1)＝－1，∴g(1)＝0，∴当x＞1时，g(x)＞0，即f (x)＞x－2．
∴f (x)>x－2的解集为(1，＋∞)．]
12．解： (1)当a＝－3时，函数f (x)＝x－－4ln x(x＞0)，
f ′(x)＝1＋＝＝，
由f ′(x)＞0，可得0＜x＜1或x＞3，由f ′(x)＜0，可得1＜x＜3，
所以f (x)的单调递增区间为(0，1)，(3，＋∞)；单调递减区间为(1，3)．
(2)f ′(x)＝1－＝(x＞0)，
f (x)在区间(0，＋∞)上单调递增，
即f ′(x)≥0在区间(0，＋∞)上恒成立，
即a≤x2－4x＝(x－2)2－4在区间(0，＋∞)上恒成立，
由(x2－4x)min＝－4，得a≤－4，即a的取值范围为(－∞，－4]．
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1．(人教A版选择性必修第二册P86例1改编)已知函数f (x)＝2x－sin x，则下列结论正确的是( )
[A] f (2.7)[B] f (π)[C] f (e)[D] f (2.7)2．(人教B版选择性必修第三册P95练习BT1改编)对于R上可导的任意函数f (x)，若满足(x－1)f ′(x)≥0，则必有( )
[A] f (0)＋f (2)<2f (1) [B] f (0)＋f (2)≤2f (1)
[C] f (0)＋f (2)≥2f (1) [D] f (0)＋f (2)>2f (1)
3．(人教B版选择性必修第三册P113复习题B组T4改编)若函数f (x)＝ax3－3x2＋x＋1恰有三个单调区间，则实数a的取值范围为( )
[A] [3，＋∞) [B] (－∞，3)
[C] (－∞，0)∪(0，3) [D] (－∞，0)
4．(人教A版选择性必修第二册P99习题5.3T12改编)已知函数f (x)＝，x∈(1，＋∞)，证明：5．(2025·济宁模拟)函数f (x)的定义域为R，f (1)＝0，f ′(x)为f (x)的导函数，且f ′(x)＞0，则不等式(x－2)f (x)＞0的解集是( )
[A] (－∞，1)∪(2，＋∞) [B] (－∞，1)∪(1，＋∞)
[C] (0，1)∪(2，＋∞) [D] (－∞，0)∪(1，＋∞)
6．(2025·东营模拟)已知函数f (x)＝ln x－mx，若函数f (x)在[1，2]上单调递减，则实数m的最小值为( )
[A] 1 [B]
[C] 2 [D] 2
7．(2024·北京丰台区期末)已知函数f (x)＝3x2－cos x，则( )
[A] f (－3)＜f (e)＜f (π) [B] f (π)＜f (e)＜f (－3)
[C] f (π)＜f (－3)＜f (e) [D] f (e)＜f (－3)＜f (π)
8．(2025·南昌东湖区模拟)若函数f (x)＝2ax－ln x在(1，3)上不单调，则实数a的取值范围为( )
[A] (2，6) [B] (－∞，2)∪(6，＋∞)
[C] [D]
9．(多选)(2025·信阳模拟)设f (x)的图象在区间D上是一条连续不断的曲线， x1，x2∈D，x1≠x2，总有[A] f (e)＜f (3)＜f (π)
[B] f ′(e)＜f ′(3)＜f ′(π)
[C] f ′(2 023)＜f (2 024)－f (2 023)＜f ′(2 024)
[D] f ′(2 024)＜f (2 024)－f (2 023)＜f ′(2 023)
10．(2025·景德镇模拟)已知函数y＝f (x)(x∈R)的图象如图，则不等式xf ′(x)＜0的解集为________．
11．(2025·天津西青区模拟)已知函数f (x)的定义域为R，f ′(x)＞1，f (1)＝－1，则f (x)＞x－2的解集为________．
12．(2025·眉山仁寿县模拟)已知函数f (x)＝x＋－4ln x(a∈R)．
(1)当a＝－3时，求f (x)的单调区间；
(2)若f (x)在区间(0，＋∞)上单调递增，求a的取值范围．
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