课后习题(二十二) 利用导数研究不等式问题
1．(湘教版选择性必修第二册P44习题1.3T14改编)已知函数f (x)＝2ln x－x2ex＋1，若存在x0>0，使f (x0)≥ax0成立，则实数a的最大值为( )
[A] 0 [B] －1
[C] 1－e [D] 1－e2
2．(人教A版选择性必修第二册P94练习T2改编)证明：ln (x＋1)≤x，x∈(－1，＋∞)．
3．(2025·济南模拟)已知关于x的不等式ex sin x－cos x－a＞0在x∈上恒成立，则实数a的取值范围为( )
[A] [B]
[C] (－∞，－1] [D] (－∞，－1)
4．(2025·贵州模拟)已知函数f (x)＝xex＋2a，g(x)＝， x1∈[1，2]， x2∈[1，3]，都有不等式f (x1)≥g(x2)恒成立，则实数a的取值范围是( )
[A] [－e2，＋∞) [B]
[C] [D]
5．(2025·济宁模拟)已知不等式ax≤(2x＋1)ex对任意x∈[1，＋∞)恒成立，则正实数a的取值范围是________．
6．(2024·保定市唐县三模)已知函数f (x)＝x2－ax＋ln x，x＝1为f (x)的极值点．
(1)求a；
(2)证明：f (x)≤2x2－4x．
7．(2025·汉中模拟)已知函数f (x)＝ln x＋x2－ax，a∈R．若存在x使得f (x)≤2ln x，求实数a的取值范围．
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1．B [因为存在x0>0，使f (x0)≥ax0，所以2ln x－x2ex＋1≥ax能成立，又2ln x－x2ex＋1≥ax 2ln x－ax＋1≥x2ex，又因为x2ex＝ex+2ln x≥x＋2ln x＋1，所以2ln x－ax＋1≥x＋2ln x＋1能成立，即存在x0>0，－ax0≥x0能成立，所以－a≥1，解得a≤－1，所以a的最大值为－1．故选B．]
2．证明： 设f (x)＝ln (x＋1)－x(x>－1)，
∴f ′(x)＝－1＝＝，
又x>－1，∴x＋1>0，
令f ′(x)>0，则>0，∴－1∴f (x)在(－1，0)上单调递增；
令f ′(x)<0，则<0，∴x>0，
∴f (x)在(0，＋∞)上单调递减．
∴当x＝0时，f (x)取最大值，即f (x)max＝f (0)＝0，
∴f (x)≤f (0)＝0，即ln (x＋1)≤x，
∴ln (x＋1)≤x(x>－1)得证．
3．C [ x∈，ex sin x－cos x－a>0 a令f (x)＝ex sin x－cos x，x∈，
则f ′(x)＝ex(sin x＋cos x)＋sin x＞0，
于是得f (x)在上单调递增， x∈，f (x)>f (0)＝－1，则a≤－1，
所以实数a的取值范围为(－∞，－1]．
故选C．]
4．C [ x1∈[1，2]， x2∈[1，3]，都有不等式f (x1)≥g(x2)恒成立 f (x)min≥g(x)min．
∵f ′(x)＝ex(x＋1)，x∈[1，2]，f ′(x)>0，则f (x)在区间[1，2]上单调递增，∴f (x)min＝f (1)＝e＋2a．
∵g′(x)＝，x∈[1，3]，
∴当x∈[1，e]时，g′(x)≥0，则g(x)在[1，e]上单调递增，当x∈[e，3]时，g′(x)≤0，则g(x)在[e，3]上单调递减，
又g(1)＝0，g(3)＝>0，故g(x)min＝0，
综上，e＋2a≥0 a≥－．故选C．]
5．(0，3e] [因为x≥1，不等式ax≤(2x＋1)ex可变形为a≤．
设g(x)＝(x≥1)，则g′(x)＝＝．
当x∈[1，＋∞)时，g′(x)＞0，所以函数g(x)在x∈[1，＋∞)上单调递增．
则g(x)min＝g(1)＝3e，所以0＜a≤3e．故正实数a的取值范围是(0，3e]．]
6．解： (1)f ′(x)＝2x－a＋，
依题意，f ′(1)＝2×1－a＋1＝0，解得a＝3，
经检验符合题意，所以a＝3．
(2)证明：由(1)可知，f (x)＝x2－3x＋ln x，x>0，
要证f (x)＝x2－3x＋ln x≤2x2－4x，即证x2－x－ln x≥0，
设g(x)＝x2－x－ln x，则g′(x)＝2x－1－＝，
所以当x∈(1，＋∞)时，g′(x)＞0，g(x)单调递增，
当x∈(0，1)时，g′(x)＜0，g(x)单调递减，
当x＝1时，g(x)取得极小值，也是最小值，
所以g(x)≥g(1)＝0，所以f (x)≤2x2－4x．
7．解： 由题意可知，存在x使x2－ax≤ln x(x＞0)成立，
则存在x，使a≥x－(x>0)．
令h(x)＝x－(x>0)，
则h′(x)＝，
因为y＝x2在(0，＋∞)上是增函数，y＝ln x－1在(0，＋∞)上是增函数，
所以y＝x2＋ln x－1在(0，＋∞)上是增函数，且当x＝1时，y＝0．
所以当x∈(0，1)时，h′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，h′(x)＞0，
所以h(x)min＝h(1)＝1，所以a≥1．
所以实数a的取值范围为[1，＋∞)．
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