课后习题(二十四) 任意角和弧度制、三角函数的概念
1．(多选)(苏教版必修第一册P175习题7.1T2，3，5改编)下列说法正确的是( )
[A] 与1 920°终边相同的角中，最小正角是120°
[B] 三角形的内角必是第一或第二象限角
[C] 20°30′化成弧度是
[D] 终边落在直线y＝x上的角α的集合为{α|α＝k·180°＋60°，k∈Z}
2．(人教A版必修第一册P182练习T4改编)已知sin θ·cos θ<0，且|cos θ|＝cos θ，则角θ是( )
[A] 第一象限角 [B] 第二象限角
[C] 第三象限角 [D] 第四象限角
3．(人教A版必修第一册P184习题5.2T2改编)已知角α的终边上有一点P的坐标是(3a，4a)，其中a≠0，下列结论正确的是( )
[A] sin α＝ [B] cos α＝
[C] tan α＝ [D] tan α＝
4．(人教A版必修第一册P175练习T6改编)单位圆中，200°的圆心角所对的弧长为________，由该弧及半径围成的扇形的面积为________．
5．(2024·抚顺月考)3 888°的终边落在( )
[A] 第一象限 [B] 第二象限
[C] 第三象限 [D] 第四象限
6．(2024·沈阳期末)机械学家莱洛发现的莱洛三角形给人以对称的美感．莱洛三角形的画法：先画等边三角形ABC，再分别以点A，B，C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形．若线段AB的长为1，则莱洛三角形的周长是( )
[A] π [B]
[C] [D]
7．(2024·扬州中学月考)若α＝－5，则( )
[A] sin α>0，cos α>0
[B] sin α>0，cos α<0
[C] sin α<0，cos α>0
[D] sin α<0，cos α<0
8．(多选)(2024·成都郫都区月考)下列命题正确的是( )
[A] 若sin α＝－，且π<α<，则tan α＝－
[B] 若α是第二象限角，则是第一或第三象限角
[C] sin 1cos 2＜0
[D] 若α是第四象限角，则点P(sin α，tan α)在第四象限
9．(多选)(2024·沈阳皇姑区月考)下列说法正确的是( )
[A] 若α是第四象限角，则是第二或第四象限角
[B] 经过30分钟，钟表的分针转过－π弧度
[C] 若角α终边上一点P的坐标为(4t，－3t)(其中t＞0)，则sin α＝－
[D] 终边在直线y＝－x上的角的集合是
10．(2024·宜春丰城市校级期末)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴．若P(m，2)是角θ终边上一点，且cos θ＝－，则m＝________．
11．(2024·拉萨期末)《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章涉及了弧田面积的计算问题，如图所示，弧田是由弧和弦AB所围成的图中阴影部分．若弧田所在圆的半径为2，圆心角为105°，则该弧田的面积为________．
12．(2024·北京海淀区月考)在平面直角坐标系中，已知角α的终边经过点P(－4a，3a)(a≠0)．
(1)求sin α，cos α，tan α的值；
(2)设a＞0，角β的终边与角α的终边关于x轴对称，求cos β的值．
1/1课后习题(二十四) 任意角和弧度制、三角函数的概念
1．ACD [A．与1 920°终边相同的角为β＝k·360°＋1 920°＝(k＋5)·360°＋120°，k∈Z，当k＝－5时，β＝120°，所以与1 920°终边相同的角中，最小正角是120°，故A正确；
B．因为三角形的内角的范围是(0，π)，所以三角形的内角必是第一象限角或第二象限角或等于，故B错误；
C．22°30′化成弧度是22.5×＝，故C正确；
D．易得直线y＝x的倾斜角为60°，当角的终边在第一象限时，α＝60°＋k1·360°，k1∈Z；当角的终边在第三象限时， α＝240°＋k2·360°，k2∈Z．所以角α的集合为{α|α＝k·180°＋60°，k∈Z}，故D正确．故选ACD．]
2．D 3．C
4． [单位圆的半径r＝1，200°的弧度数是200×＝，由弧度数的定义得＝，
所以l＝，S扇形＝lr＝×1＝．]
5．D 6．A
7．A [因为－2π<α＝－5<－，
所以α＝－5为第一象限的角，所以sin α>0，cos α>0．故选A]
8．BC [对于A项，因为π<α<，所以tan α＞0，故A错误；
对于B项，若α是第二象限角，则＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z，
所以＋kπ<<＋kπ，k∈Z，即是第一或第三象限角，故B正确；
对于C项，因为0<1<<2<π，所以sin 1＞0，cos 2＜0，即sin 1cos 2＜0，故C正确；
对于D项，若α是第四象限角，则sin α＜0，tan α＜0，
所以点P(sin α，tan α)在第三象限，故D错误．
故选BC．]
9．ABC [对于A选项，α是第四象限角，故－＋2kπ<α<2kπ，k∈Z，
所以－＋kπ<当k为奇数时，为第二象限角，
当k为偶数时，为第四象限角，
则是第二或第四象限角，A正确；
对于B选项，钟表的分针顺时针转动，
经过30分钟，钟表的分针转过半圈，即－π弧度，B正确；
对于C选项，若角α终边上一点P的坐标为(4t，－3t)(其中t＞0)，
则sin α＝＝－，C正确；
对于D选项，终边为y＝－x位于第四象限的部分时，角的集合是，
终边为y＝－x位于第二象限的部分时，角的集合是，
故终边在直线y＝－x上的角的集合是，D错误．故选ABC．]
10．－6 [由题设知cos θ＝＝－，
即10m2＝9(m2＋4)，且m＜0，
即m2＝36，且m＜0，
解得m＝－6．]
11． [由题意，可得弧田所在圆的半径为2，圆心角为，
可得扇形的面积为S1＝×22＝，
△AOB的面积为S△AOB＝×2×2×sin ＝2sin＝2×＝，
所以此弧田的面积为S＝S1－S△AOB＝＝．]
12．解： (1)因为在直角坐标系中，角α的终边经过点P(－4a，3a)(a≠0)，
所以r＝|OP|＝＝5|a|．
当a＞0时，r＝5a，此时sin α＝＝，
cos α＝＝－，tan α＝＝－；
当a＜0时，r＝－5a，此时sin α＝＝－，
cos α＝＝，tan α＝＝－．
综上可得，当a＞0时，sin α＝，cos α＝－，
tan α＝－；
当a＜0时，sin α＝－，cos α＝，tan α＝－．
(2)由(1)知，当a＞0时，cos α＝－．
因为角β的终边与角α的终边关于x轴对称，所以β＝－α＋2kπ，k∈Z．
则cos β＝cos (－α)＝cos α＝－．
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