课后习题(二十六) 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
1．(人教A版必修第一册P220练习T5改编)若sin (α＋β)＋cos (α＋β)＝2cos sin β，则( )
[A] tan (α－β)＝1 [B] tan (α＋β)＝1
[C] tan (α－β)＝－1 [D] tan (α＋β)＝－1
2．(多选)(人教A版必修第一册P220练习T3改编)下列计算正确的是( )
[A] sin 15°－cos 15°＝－
[B] sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝
[C] sin cos ＝－
[D] sin 105°＝
3．(人教A版必修第一册P254复习参考题5T12(2)改编)tan 10°＋tan 50°＋tan 10°tan 50°＝______．
4．(苏教版必修第二册P55例3改编)已知sin θ＋sin ＝1，则cos ＝________．
5．(2024·北京东城区期末)cos 30°cos 15°－sin 30°sin 15°的值为( )
[A] 1 [B]
[C] [D]
6．(2024·遵义期末)已知tan α＝2tan β，sin (α－β)＝t，则sin αcos β＝( )
[A] －2t [B] 2t
[C] －t [D] t
7．(2024·德州期末)已知＝－1，则tan ＝( )
[A] [B] 3
[C] － [D] －3
8．(多选)(2024·德州德城区月考)下列式子化简正确的是( )
[A] cos 52°sin 82°－sin 52°sin 8°＝
[B] cos 15°－sin 15°＝
[C] ＝
[D] tan 32°＋tan 28°＋tan 32°tan 28°＝
9．(2024·沈阳期末)已知锐角α，β，且满足cos α＝，sin (β－α)＝，则sin β＝________．
10．(2024·台州期末)已知α，β∈，sin (α－β)＝，cos αcos β＝，则tan (α－β)＝________，cos (α＋β)＝________．
11．(2024·北海期末)已知角α，β∈(0，π)，tan (α＋β)＝，cos β＝．
(1)求的值；
(2)求tan (2α＋β)的值．
12．(2024·天水秦州区月考)已知sin α＝－，α∈．
(1)求cos 的值；
(2)若sin (α＋β)＝－，β∈，求β的值．
1/1课后习题(二十六) 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
1．C
2．ABD [对于A，sin 15°－cos 15°＝sin 15°cos 60°－cos 15°sin 60°＝sin (15°－60°)＝sin (－45°)＝－，故A正确；对于B，sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin (20°＋10°)＝sin 30°＝，故B正确；对于C，sin cos ＝2＝2sin ＝2sin ＝－，故C错误；对于D，sin 105°＝sin (60°＋45°)＝sin 60°cos 45°＋cos 60°sin 45°＝＝，故D正确．故选ABD．]
3． [∵tan 60°＝tan (10°＋50°)＝，
∴tan 10°＋tan 50°＝tan 60°(1－tan 10°tan 50°)
＝tan 10°tan 50°，∴原式＝tan 10°·tan 50°＋tan 10°tan 50°＝．]
4． [法一：由题知，sin θ＋sin ＝sin θ＋sin θ＋cos θ＝sin θ＋cos θ＝1，于是sin θ＋cos θ＝cos cos θ＋sin sin θ＝cos ＝．
法二：sin θ＋sin ＝sin ＋＝sin cos －cos sin ＋sin cos ＋cos sin ＝2sin cos ＝sin ＝1，从而cos ＝cos ＝sin ＝．]
5．C 6．B 7．A
8．ABD [cos 52°sin 82°－sin 52°sin 8°＝cos 52°sin 82°－sin 52°cos 82°＝sin (82°－52°)＝sin 30°＝，A正确；cos 15°－sin 15°＝2cos (15°＋30°)＝2cos 45°＝，B正确；＝＝tan (45°－15°)＝tan 30°＝，C错误；
因为tan (28°＋32°)＝＝，
所以tan 32°＋tan 28°＝tan 32°tan 28°，
tan 32°＋tan 28°＋tan 32°tan 28°＝，D正确．
故选ABD．]
9． [因为α，β是锐角，所以0<α<，0<β<，又cos α＝且sin2α＋cos2α＝1，
所以sinα＝，－<－α<0，－<β－α<，sin (β－α)＝，
所以cos (β－α)＝＝，
sinβ＝sin [(β－α)＋α]＝sin (β－α)cos α＋cos (β－α)·sin α＝＝．]
10．2 [由sin (α－β)＝，可得sin αcos β－cos αsin β＝，
两边分别除以cos αcos β＝，则tan α－tan β＝，
因为α，β∈，则α－β∈，
故cos (α－β)＝＝，
展开得cosαcos β＋sin αsin β＝，
因为cos αcos β＝，代入得sin αsin β＝，两式相除得tan α·tan β＝，
tan (α－β)＝＝＝2，
cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝＝．]
11．解： 因为α，β∈(0，π)，tan (α＋β)＝，cos β＝，
所以sin β＝，tan β＝，
所以tan α＝tan (α＋β－β)＝＝＝－．
(1)＝＝＝－．
(2)tan (2α＋β)＝tan (α＋β＋α)
＝＝＝．
12．解： (1)由sin2α＋cos2α＝1，sinα＝－，
α∈，可得cos α＝，
所以cos ＝cos αcos －sin αsin ＝＝．
(2)由α∈，β∈，可得α＋β∈，
故cos (α＋β)＝＝．
从而cos β＝cos [(α＋β)－α]＝cos (α＋β)cos α＋sin (α＋β)sin α
＝＝，
由β∈，可得β＝．
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