课后习题(二十九) 函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象与性质
1．(人教A版必修第一册P240习题5.6T1改编)为了得到y＝3cos的图象，只需把y＝3cos图象上所有的点( )
[A] 纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变
[B] 横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变
[C] 纵坐标缩短到原来的，横坐标不变
[D] 横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
2．(多选)(人教A版必修第一册P249习题5.7T2改编)如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在t s时相对于平衡位置的高度h(单位：cm)由关系式h＝2sin 确定，以t为横坐标，h为纵坐标，则下列说法正确的是( )
[A] 小球在开始振动时的位置是(0，)
[B] 小球的最高点和最低点与平衡位置的距离都是2 cm
[C] 经过2 s小球往复运动一次
[D] 每秒钟小球能往复振动次
3．(人教B版必修第三册P71复习题A组T15改编)如图，某摩天轮最高点距离地面的高度为120 m，转盘直径为110 m，开启后按逆时针方向匀速旋转，旋转一周需要30 min．游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，开始转动t min后距离地面的高度为H m，则在转动一周的过程中，高度H关于时间t的函数解析式是( )
[A] H＝55cos ＋65(0≤t≤30)
[B] H＝55sin ＋65(0≤t≤30)
[C] H＝－55cos ＋65(0≤t≤30)
[D] H＝－55sin ＋65(0≤t≤30)
4．(人教B版必修第三册P50练习A T2改编)函数y＝f (x)＝A sin (ωx＋φ)的部分图象如图，其中A>0，ω>0，|φ|<，则f＝________．
5．(2024·天津中学月考)音叉是呈“Y”形的钢质或铝合金发声器(如图1)，各种音叉可因其质量和叉臂长短、粗细不同而在振动时发出不同频率的纯音．敲击某个音叉时，在一定时间内，音叉上点P离开平衡位置的位移y与时间t的函数关系为y＝·sin ωt．图2是该函数在一个周期内的图象，根据图中数据可确定ω的值为( )
[A] 200 [B] 400
[C] 200π [D] 400π
6．(2024·西安新城区期末)将函数f (x)＝sin 2x的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍得到y＝g(x)的图象，则g(x)＝( )
[A] －3cos 2x [B] 3cos 2x
[C] －3sin [D] 3sin
7．(2025·福州模拟)已知P是半径为3 cm的圆形砂轮边缘上的一个质点，它从初始位置P0开始，按逆时针方向做圆周运动，角速度为 rad/s．如图，以砂轮圆心为原点，建立平面直角坐标系Oxy，若∠P0Ox＝，则点P的纵坐标y关于时间t(单位：s)的函数关系式为( )
[A] y＝3sin [B] y＝3sin
[C] y＝3sin [D] y＝3sin
8．(多选)(2024·桂林期末)函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)在一个周期内的图象如图所示，则( )
[A] A＝2
[B] ω＝2
[C] φ＝－
[D] 将函数f (x)图象上所有点的横坐标向右平移个单位长度(纵坐标不变)得到的函数图象关于y轴对称
9．(2024·泸州龙马潭区期末)已知将函数f (x)＝sin x cos x＋cos2x－的图象向左平移个单位长度后得到y＝g(x)的图象，则g(x)在上的值域为________．
10．(2025·北京丰台区模拟)将函数f (x)＝cos 2x的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数g(x)的图象．若函数g(x)的图象关于原点对称，则φ的一个取值为________．
11．(2024·渭南韩城市期末)已知函数f (x)＝A cos (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示．
(1)求f (x)的解析式；
(2)先将f (x)图象上所有点的纵坐标缩短到原来的，再向右平移个单位长度，最后将图象向上平移1个单位长度后得到g(x)的图象，求函数g(x)在x∈上的最大值．
12．(2025·齐齐哈尔建华区模拟)某同学用“五点法”画函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
ωx＋φ 0 π 2π
x
f (x) 0 2 0 －2 0
(1)根据以上表格中的数据求函数f (x)的解析式；
(2)将函数f (x)图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象．当x∈时，关于x的方程g(x)＝a恰有两个实数根，求实数a的取值范围．
1/1课后习题(二十九) 函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象与性质
1．D
2．ABD [当t＝0时，h＝2sin ＝，故小球在开始振动时的位置是(0，)，A正确；由解析式可得振幅A＝2，故小球的最高点和最低点与平衡位置的距离均为2 cm，B正确；易得函数的最小正周期T＝2π，故小球往复运动一次需2π s，C错误；由周期可得频率为，即每秒钟小球能往复振动次，D正确．故选ABD．]
3．B [根据题意，设H(t)＝A sin (ωt＋φ)＋B(0≤t≤30)，因为该摩天轮最高点距离地面的高度为120 m，转盘直径为110 m，所以该摩天轮最低点距离地面的高度为10 m，所以解得因为开启后按逆时针方向匀速旋转，旋转一周需要30 min，所以最小正周期T＝＝30，解得ω＝，因为t＝0时，H(0)＝10，所以10＝55sin φ＋65，即sin φ＝－1，解得φ＝－＋2kπ，k∈Z，取k＝0，此时φ＝－，所以H(t)＝55sin ＋65(0≤t≤30)．故选B．]
4． [由题图知A＝，最小正周期T＝＝π，∴|ω|＝＝2，又ω>0，∴ω＝2．又图象过点，且－是函数的上升零点，
∴－×2＋φ＝2kπ，k∈Z，∴φ＝＋2kπ，k∈Z，
又|φ|<，∴φ＝，∴f (x)＝sin ，则f＝sin ＝sin ＝．]
5．D [由题图可得，ω>0，T＝4×＝，
即＝，则ω＝400π．故选D．]
6．B
7．D [设点P的纵坐标y关于时间t的函数关系式为y＝A sin ，由题意可得A＝3，φ＝－， t s时，射线OP可视为角的终边，则y＝3sin ．故选D．]
8．AC [对于A，因为f (x)＝A sin (ωx＋φ)，由题图知A＝＝2，故A正确；
对于B，设函数的最小正周期为T，由题图知T＝＝，解得T＝，则ω＝＝3，故B错误；
对于C，由题图知函数图象经过点，
则2sin ＝0，解得φ＝－＋kπ，k∈Z，
因为|φ|<，得φ＝－，故C正确；
对于D，由A，B，C得f (x)＝2sin ，将函数f (x)＝2sin 图象上所有点的横坐标向右平移个单位长度(纵坐标不变)得到函数y＝2sin ＝2sin ＝－2sin 的图象，不是偶函数，图象不关于y轴对称，故D错误．
故选AC．]
9． [将函数f (x)＝sinx cos x＋cos2x－＝sin2x＋＝sin 的图象向左平移个单位长度后得到y＝g(x)＝sin ＝－sin 2x 的图象，
在上，2x∈，sin 2x∈，
∴－sin 2x∈，
故g(x)在上的值域为．]
10． [将函数f (x)＝cos 2x的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，
可得g(x)＝cos (2x＋2φ)的图象，由函数g(x)的图象关于原点对称，
可得g(0)＝cos 2φ＝0，所以2φ＝＋kπ，k∈N，φ＝，k∈N，当k＝0时，φ＝．]
11．解： (1)由题图得A＝2，＝＝，即T＝＝π，
∴ω＝2，∴f (x)＝2cos (2x＋φ)，
∵f＝2cos ＝2，
∴cos ＝1，∴＋φ＝2kπ，k∈Z，
又∵|φ|＜π，∴φ＝－，
∴f (x)＝2cos ．
(2)由题意得g(x)＝f＋1＝×2cos＋1，
化简得g(x)＝－cos 2x＋1，
当x∈时，2x∈，当2x＝π，即x＝时，g(x)有最大值，最大值为g＝－(－1)＋1＝2．
12．解： (1)由题表中数据可得A＝2，因为＝＝，所以T＝π，则ω＝＝2，
当x＝时，ωx＋φ＝，则φ＝－，所以f (x)＝2sin ．
(2)将f (x)＝2sin 图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)得到函数y＝2sin 的图象，
再将y＝2sin 的图象向左平移个单位长度得到函数g(x)的图象，
则g(x)＝2sin ＝2sin ＝2cos x，
如图，当x∈时，方程g(x)＝a恰有两个实数根，等价于函数g(x)＝2cos x，x∈的图象与直线y＝a有两个交点，
所以实数a的取值范围为[，2)．
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