课后习题(三十二) 平面向量的概念及线性运算
1．(人教A版必修第二册P23习题6.2T9改编)如图，D，E，F分别是△ABC各边的中点，则下列结论错误的是( )
[A] ＝
[B] 与共线
[C] 与是相反向量
[D] ＝||
2．(人教A版必修第二册P16例8改编)设向量a，b不共线，向量λa＋b与a＋2b共线，则实数λ＝________．
3．(湘教版必修第二册P11例5改编)已知 ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且＝a，＝b，则＝________，＝________．(用a，b表示)
4．(北师大版必修第二册P82习题2－1A组T2改编)一位模型赛车的赛车手遥控一辆赛车向正东方向前进1 m，然后将行驶方向按逆时针方向旋转角α，继续按直线方向前进1 m，再将行驶方向按逆时针方向旋转角α，然后继续按直线方向前进1 m，……，按此方法继续操作下去．
(1)作图说明当α＝45°时，最少转向几次可以使赛车的位移为零？
(2)按此方法操作，试写出几种赛车能回到出发点的情况．
5．(多选)(2024·宜春丰城市期末)已知平面向量a，b，c，下列四个命题不正确的是( )
[A] 若|a|＝0，则a＝0
[B] 单位向量都相等
[C] 方向相反的两个非零向量一定共线
[D] 若a，b满足|a|>|b|，且a与b同向，则a>b
6．(2024·乐山期末)四边形ABCD中，＝，则下列结论中错误的是( )
[A] ||＝||一定成立
[B] ＝一定成立
[C] ＝一定成立
[D] ＝一定成立
7．(2024·邢台期末)在△ABC中，(＋k)∥，则k＝( )
[A] 1 [B] －1
[C] 2 [D] －2
8．(2024·凉山州期末)在△ABC中，BC边上的中线为AD，点O满足＝3，则＝( )
[A] － [B] －
[C] [D] －
9．(2024·枣庄质检)已知D为线段AB上的任意一点，O为直线AB外一点，A关于点O的对称点为[C] 若＝x＋y，则x－y的值为( )
[A] －1 [B] 0
[C] 1 [D] 2
10．(2024·杭州市西湖区期末)化简：＝________．
11．(2024·德兴市期末)设a，b是两个不共线向量，＝2a＋λb，＝a＋b，＝a－2[B] 若A，C，D三点共线，则实数λ＝________．
12．(2024·吉安期末)在平行四边形ABCD中，＝2，2＝，AE和BF交于点P．
(1)若＝x＋(1－x)，求x的值；
(2)求的值．
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1．D
3．b－a －a－b [如图，
＝＝＝b－a，
＝＝－
＝－a－b．]
4．解： 记出发点为A．
(1)当α＝45°时，如图1，赛车行进路线构成一个正八边形，赛车所行驶的路程是8 m，最少转向7次可使赛车的位移为零．
(2)当α＝120°时，如图2，赛车行进路线构成一个正三角形，赛车所行驶的路程为3 m，转向2次可使赛车回到出发点；
当α＝90°时，如图3，赛车行进路线构成一个正方形，赛车所行驶的路程为4 m，转向3次可使赛车回到出发点；
当α＝60°时，如图4，赛车行进路线构成一个正六边形，赛车所行驶的路程为6 m，转向5次可使赛车回到出发点(答案不唯一)．
5．BD [对于A，若|a|＝0，则a＝0，故A正确；
对于B，单位向量的模为1，但是方向不一定相同，故B错误；
对于C，方向相同或相反的两个非零向量为共线向量，故C正确；
对于D，向量之间不能比较大小，只能比较向量的模，故D错误．故选BD．]
6．D 7．B 8．C
9．C [因为A关于点O的对称点为C，
所以＝－，
又＝x＋y，
所以＝x－y，
又因为A，B，D三点共线，
所以x－y＝1．
故选C．]
10．a－b [＝＝＝a－b．]
11．－7 [由题意可得：＝＝3a＋(λ＋1)b，
又＝a－2b，
A，C，D三点共线，所以＝，
解得λ＝－7．]
12．解： (1)根据题意得＝x＋(1－x)＝＋(1－x)，
结合＝，
且∥，可得＝，所以x＝．
(2)由(1)可得＝，则＝，即＝．
因为＝，即＝，
所以)＝)，整理得＝3，即＝3，可得＝＝5．
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