课后习题(三十八) 等差数列
1．A
2．BCD [对于A，令a＝1，b＝2，c＝3，则a2＝1，b2＝4，c2＝9，不满足2b2＝a2＋c2，故A错误；对于B，令a＝b＝c，则2a＝2b＝2c，满足2a＋2c＝2·2b，故B正确；对于C，∵a，b，c成等差数列，∴a＋c＝2b，∴(ka＋2)＋(kc＋2)＝k(a＋c)＋4＝2(kb＋2)，即ka＋2，kb＋2，kc＋2一定成等差数列，故C正确；对于D，令a＝b＝c，则＝＝，满足＝，故D正确．综上，故选BCD．]
3．D [由题知，奇数项有项，偶数项有项，奇数项之和为a1＋·2d＝，偶数项之和为(a1＋d)＋·2d＝，所以奇数项之和与偶数项之和的比为．故选D．]
4．820 [设第n排的座位数为an(n∈N*)，数列{an}为等差数列，其公差d＝2，则an＝a1＋(n－1)d＝a1＋2(n－1)．由已知a20＝60，得60＝a1＋2×(20－1)，解得a1＝22，则剧场总共的座位数为＝＝820．]
5．D 6．B 7．C
8．C [根据题意，等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，
设Sn＝kn(n＋3)，Tn＝kn(3n＋5)，k≠0，
从而a5＝S5－S4＝40k－28k＝12k，
b2＋b6＝2b4＝2(T4－T3)＝2(68k－42k)＝52k，
所以＝＝．故选C．]
9．B [因为{an}为等差数列，若S8＞S3，且S13＜0，
则S8－S3＝a4＋a5＋a6＋a7＋a8＝5a6＞0，即a6＞0，
又因为S13＝＝13a7＜0，即a7＜0，
当Sn取得最大值时，n＝6．故选B．]
10．10 [由题意知，
即
故＝＝，故n＝10．]
11．解： (1)设数列{bn}的公差为d′，
由题意知，b1＝a1＝2，b4＝a2，d′＝＝＝＝1，
所以bn＝b1＋(n－1)d′＝2＋(n－1)＝n＋1，
所以{bn}的通项公式是bn＝n＋1．
(2)数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝2＋3(n－1)＝3n－1，
记数列{an}与{bn}的前n项的和分别为Sn，S′n，
则T2n＝S′3n－Sn＝＝＝n(3n＋4)．
12．解： (1)由3S5＝5S3＋15，可得3＝5＋15，解得d＝1．
(2)证明：设数列{}的公差为d(d为常数)，
∵{}是等差数列，所以当n≥2时，＝d，
∴d＝＝＝＝，
∴＝＋(n－1)＝n，
∴Sn＝n2a1，①
当n≥2时，Sn－1＝(n－1)2a1，②
由①②得an＝Sn－Sn－1＝n2a1－(n－1)2a1＝(2n－1)a1 ，③
经检验，当n＝1时也满足③，
∴an＝(2n－1)a1，n∈N*，
当n≥2时，an－an－1＝(2n－1)a1－(2n－3)a1＝2a1，
∴{an} 是等差数列．
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1．(人教A版选择性必修第二册P15练习T4改编)在等差数列{an}中，a4＋a8＝10，a10＝6，则公差d等于( )
[A] [B] [C] 2 [D] －
2．(多选)(人教A版选择性必修第二册P55复习参考题4T8(1)改编)若a，b，c(a，b，c均不为0)是等差数列，则下列说法正确的是( )
[A] a2，b2，c2一定成等差数列
[B] 2a，2b，2c可能成等差数列
[C] ka＋2，kb＋2，kc＋2一定成等差数列
[D] 可能成等差数列
3．(苏教版选择性必修第一册P154习题4.2(2)T8改编)设等差数列的项数n为奇数，则其奇数项之和与偶数项之和的比为( )
[A] [B]
[C] [D]
4．(湘教版选择性必修第一册P19例7改编)某剧场有20排座位，后一排比前一排多2个座位，最后一排有60个座位，则剧场总共的座位数为________．
5．(2024·江西期末)已知在等差数列{an}中，a2＋a8＝10，a6＝20，则a2 025－a2 020＝( )
[A] 15 [B] 30
[C] 45 [D] 75
6．(2024·大理州期末)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S5＝11，S10＝24，则S15＝( )
[A] 34 [B] 39
[C] 42 [D] 45
7．(2024·大同期末)等差数列{an}的前n项和为Sn．若a1 012＋a1 013＋a1 014＝6，则S2 025＝( )
[A] 8 092 [B] 4 048
[C] 4 050 [D] 2 025
8．(2024·大连市沙河口区期末)已知等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且＝，则＝( )
[A] [B]
[C] [D]
9．(2024·北京海淀区期末)已知{an}为等差数列，Sn是其前n项和，若S8＞S3，且S13＜0，则当Sn取得最大值时，n＝( )
[A] 3 [B] 6
[C] 7 [D] 8
10．(2025·哈尔滨市道里区模拟)等差数列{an}共有2n＋1项，所有的奇数项之和为132，所有的偶数项之和为120，则n等于________．
11．(2025·开封模拟)已知等差数列{an}的首项a1＝2，公差d＝3，在{an}中每相邻两项之间都插入2个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}．
(1)求数列{bn}的通项公式；
(2)插入的数构成一个新数列，求该数列前2n项的和T2n．
12．(2025·深圳模拟)记Sn为数列{an}的前n项和．
(1)若{an}为等差数列，满足3S5＝5S3＋15，求公差d；
(2)已知an＞0，a2＝3a1，且数列{}是等差数列，证明：{an}是等差数列．
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