课后习题(三十九) 等比数列
1．(湘教版选择性必修第一册P26例1改编)在等比数列{an}中，a3＝2，a7＝8，则a5等于( )
[A] 5 [B] ±5 [C] 4 [D] ±4
2．(人教A版选择性必修第二册P37练习T1(3)改编)在等比数列{an}中，a3＝，S3＝，则a2的值为( )
[A] [B] －3
[C] － [D] －3或
3．(人教A版选择性必修第二册P34练习T3改编)朱载堉是中国明代一位杰出的音乐家、律学家和历学家，他的著作《律学新说》中制成了最早的“十二平均律”．十二平均律是目前世界上通用的一组音(八度)分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等程律”．即一个八度十三个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音是最初那个音的频率的2倍．设第三个音的频率为f1，第七个音的频率为f2，则＝( )
[A] 4 [B]
[C] [D]
4．(人教A版选择性必修第二册P41习题4.3T7(1)改编)已知正项数列{an}的前n项积为Tn，且满足an＝(n∈N*)．求证：数列为等比数列．
5．(2024·秦皇岛三模)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，满足a4＋a5＋a6＝351，S6＝364，则数列{an}的公比为( )
[A] [B] 2
[C] 3 [D] 4
6．(2024·吕梁期末)已知正项等比数列{an}满足a4＝16，a6＝64，则S5＝( )
[A] 62 [B] 30或10
[C] 62或－22 [D] 30
7．(2025·烟台模拟)已知等比数列{an}的前n项和Sn＝λ－2n+1，则λ＝( )
[A] －1 [B] 1
[C] －2 [D] 2
8．(多选)(2025·齐齐哈尔市建华区模拟)在正项等比数列{an}中，已知a3＝8，a5＝2，其前n项和为Sn，则下列说法中正确的是( )
[A] a1＝32 [B] an＝26-n
[C] ＝4 [D] S6＝63
9．(2024·厦门调研)等比数列{an}满足an＞0，且a2a8＝4，则log2a1＋log2a2＋log2a3＋…＋log2a9＝________．
9 [由题意可得a2a8＝＝4，a5＞0，所以a5＝2，则原式＝log2(a1a2…a9)＝9log2a5＝9．]
10．(2025·北京模拟)设等比数列{an}满足a1＋a2＝48，a4＋a5＝6，则公比q＝________，log2(a1a2a3…an)的最大值为________．
11．(2024·射洪市三模)等比数列{an}中，a1＝1，a7＝4a5．
(1)求{an}的通项公式；
(2)记Sn为{an}的前n项和，若Sm＝31，求m的值．
12．(2025·海淀区模拟)已知数列{an}满足a1＝，且an＋1＝(n∈N*)．
(1)求证：数列是等比数列，并求出{an}的通项公式；
(2)若＋…＋<2 025，求满足条件的最大整数n．
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1．C 2．D
3．D [依题意，十三个音的频率依次成等比数列，记为{an}，设公比为q，则a13＝a1q12，又∵a13＝2a1，
∴q＝，∴＝＝q4＝()4＝．故选D．]
4．证明： ∵an＝，且an＝(n≥2)，
∴＝(n≥2)，
∵an>0，∴Tn>0，∴3Tn－1＝Tn－1(n≥2)，
则Tn－＝(n≥2)，
当n＝1时，a1＝T1＝，得T1＝，
∴T1－＝，
∴数列是首项为，公比为的等比数列．
5．C 6．A
7．D [当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝＝－2n，
又∵a1＝S1＝λ－4，数列{an}是等比数列，
∴＝，即＝，解得λ＝2．故选D．]
8．ABD [设公比为q(q>0)，因为a3＝8，a5＝2，所以q2＝＝，
即q＝，a1＝＝32，A正确；
an＝a1qn-1＝32·＝26-n，故B正确；
＝q2＝，故C错误；S6＝＝63，故D正确．故选ABD．]
9．9 [由题意可得a2a8＝＝4，a5＞0，所以a5＝2，则原式＝log2(a1a2…a9)＝9log2a5＝9．]
10． 15 [因为a1＋a2＝48，所以由a4＋a5＝6，
可得q3(a1＋a2)＝6，q3＝，q＝．
由a1＋a2＝48，可得a1＋a1＝48，解得a1＝32，
所以an＝32·＝26-n，
log2(a1a2a3…an)＝log2(25·24·…·26-n)＝log22^(〖(() 5+6-n)n)/2〗＝，
因为＝－＋，n∈N*，
所以当n＝5或n＝6时，有最大值，最大值为15．]
11．解： (1)∵等比数列{an}中，a1＝1，a7＝4a5，
∴1×q6＝4×(1×q4)，∴q2＝4，解得q＝±2，
当q＝2时，an＝2n-1，
当q＝－2时，an＝(－2)n-1，
∴{an}的通项公式为an＝2n-1或an＝(－2)n-1．
(2)当a1＝1，q＝－2时，Sn＝＝＝，
由Sm＝31，得＝31，m∈N*，无解；
当a1＝1，q＝2时，Sn＝＝＝2n－1，
由Sm＝31，得2m－1＝31，m∈N*，
解得m＝5．
综上，m的值为5．
12．解： (1)证明：在数列{an}中，a1＝，an＋1＝(n∈N*)，
所以＝，
所以－1＝＝，且－1＝，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以－1＝＝1＋，
{an}的通项公式为an＝．
(2)若＋…＋<2 025，
则n＋＋…＋＝n＋＝n＋1－＜2 025，
所以n＜2 024＋，n∈N*，所以满足条件的最大整数n为2 024．
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