课后习题(四十) 数列求和(一)
1．D [S100＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…＋(－197＋199)＝2×50＝100．故选D．]
2．C [由题意可知，数列{a2n}是首项为1，公比为2的等比数列，数列{a2n－1}是首项为1，公差为2的等差数列，故数列{an}的前20项和为＋10×1＋×2＝1 123．故选C．]
3．－8 094 [令y＝f＋f＋…＋f＋f，①
y＝f＋f＋…＋f＋f，②
①＋②，得2y＝＋…＋．
因为f (x)＋f (2－x)＝x＋sin πx－3＋(2－x)＋sin [π(2－x)]－3＝－4，
所以2y＝－4×4 047，故y＝－8 094．]
4．解： (1)因为an是2与Sn的等差中项，所以2an＝Sn＋2，①
当n≥2时，2an－1＝Sn－1＋2，②
①－②得2an－2an－1＝an，
所以an＝2an－1(n≥2)，
又因为a1＝2，所以{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以an＝2n．
(2)bn＝(－1)n·log2a2n＋1＝(－1)n·(2n＋1)，
当n为偶数时，
Tn＝(b1＋b2)＋(b3＋b4)＋…＋(bn－1＋bn)＝(－3＋5)＋(－7＋9)＋…＋[－(2n－1)＋(2n＋1)]＝2＋2＋…＋2＝2·＝n；
当n为奇数时，Tn＝b1＋(b2＋b3)＋(b4＋b5)＋…＋(bn－1＋bn)＝－3＋(－2)＋(－2)＋…＋(－2)＝－3＋(－2)·＝－n－2．
综上所述，数列{bn}的前n项和Tn＝
5．D [∵当n≠26时，an＝＝＝1＋，
∴an＋a52－n＝1＋＋1＋＝2，
∵S＝a1＋a2＋…＋a51，
S＝a51＋a50＋…＋a1，
∴2S＝(a1＋a51)＋(a2＋a50)＋…＋(a51＋a1)＝2×51，
∴S＝51．故选D．]
6．ABD [设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q(q≠0)，
依题意，解得
所以an＝2n－1，bn＝2n，即选项A，B都正确；
因为cn＝
所以c2n－1＝a2n－1＝4n－3，c2n＝b2n＝4n，
所以数列{cn}的前2n项和S2n＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋(b2＋b4＋…＋b2n)
＝＝2n2－n＋(4n－1)，
所以S9＝S8＋a9＝2×42－4＋(44－1)＋17＝385，即选项C错误，D正确．故选ABD．]
7．240 [由an＝bn＝(－1)nan，
可得数列{bn}的前30项和为－a1＋a2－a3＋a4－…－a29＋a30＝－－…－
＝＋…＋
＝(3＋7＋11＋…＋59)＋＝＝240．]
8．解： (1)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2＋n)－[(n－1)2＋(n－1)]＝n，
当n＝1时，a1＝S1＝1，满足上式，
所以an＝n．
(2)依题意，b1＝S1＝1，b2＝S2＝3，由bn＋1＝λ bn＋1，得3＝λ＋1，解得λ＝2，
则bn＋1＝2bn＋1，即bn＋1＋1＝2(bn＋1)，而b1＋1＝2，
因此数列{bn＋1}是首项为2，公比为2的等比数列，
则bn＋1＝2n，即bn＝2n－1，
所以数列{bn}的前n项和Hn＝－n＝2n+1－n－2．
9．解： 因为f (x)＝，
所以f (x)＋f (－x)＝＝
＝1．
因为数列{an}是等比数列，
所以a1a99＝a2a98＝…＝a49a51＝＝1，
即ln a1＋ln a99＝ln a2＋ln a98＝…＝ln a49＋ln a51＝2ln a50＝0．
所以f (ln a1)＋f (ln a99)＝f (ln a2)＋f (ln a98)＝…＝f (ln a49)＋f (ln a51)＝2f (ln a50)＝1，
设S99＝f (ln a1)＋f (ln a2)＋f (ln a3)＋…＋f (ln a99)，①
又S99＝f (ln a99)＋f (ln a98)＋f (ln a97)＋…＋f (ln a1)，②
①＋②，得2S99＝99，
所以S99＝．
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1．(人教A版选择性必修第二册P51练习T1改编)数列{an}的通项公式an＝(－1)n(2n－1)，则该数列的前100项和为( )
[A] －200 [B] －100
[C] 200 [D] 100
2．(人教A版选择性必修第二册P41习题4.3T7改编)已知数列{an}中，a1＝a2＝1，an＋2＝则数列{an}的前20项和为( )
[A] 1 121 [B] 1 122
[C] 1 123 [D] 1 124
3．(人教A版选择性必修第二册P18思考改编)已知函数f (x)＝x＋sin πx－3，则f＋f＋f＋…＋f＋f＝________．
4．(人教B版选择性必修第三册P55习题5－5AT3改编)已知数列{an}的前n项和为Sn，满足a1＝2，且an是2与Sn的等差中项．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝(－1)n·log2a2n＋1，求数列{bn}的前n项和Tn．
5．(2025·崇仁县模拟)“数学王子”高斯是近代数学奠基者之一，他的数学研究几乎遍及所有领域，在数论、代数学、非欧几何、复变函数和微分几何等方面都作出了开创性的贡献．我们高中阶段也学习过很多高斯的数学理论，比如高斯函数、倒序相加法、最小二乘法等．已知某数列的通项an＝则a1＋a2＋…＋a51＝( )
[A] 48 [B] 49
[C] 50 [D] 51
6．(多选)(2025·怀仁市模拟)已知数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，a1＝1，b1＝2，a2＋b2＝7，a3＋b3＝13．记cn＝数列{cn}的前n项和为Sn，则( )
[A] an＝2n－1 [B] bn＝2n
[C] S9＝1 409 [D] S2n＝2n2－n＋(4n－1)
7．(2025·珠海模拟)大衍数列，来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．大衍数列中的每一项都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量的总和．大衍数列从第1项起依次为0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…．记大衍数列{an}的通项公式为an＝若bn＝(－1)nan，则数列{bn}的前30项和为________．
8．(2025·浦东模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝(n2＋n)，其中n是正整数．
(1)求{an}的通项公式；
(2)数列{bn}满足bn＋1＝λbn＋1，且b1＝S1，b2＝S2，求数列{bn}的前n项和Hn．
9．已知函数f (x)＝(x∈R)，正项等比数列{an}满足a50＝1，求f (ln a1)＋f (ln a2)＋…＋f (ln a99)．
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