课后习题(四十三) 空间点、直线、平面之间的位置关系
1．D [α∥β，说明a与b无公共点，
∴a与b可能平行，也可能是异面直线．]
2．BC [
选项 正误 原因
A × 若α∥β，a α，b β，则a与b平行或异面
B √ 若a∥b，b α，则平面α内所有与b平行的直线都与a平行
C √ 若α∥β，则平面α内所有直线都与β平行，因为a α，所以a∥β
D × 若α∩β＝b，a α，则当a∥b时，a∥β
故选BC．]
3．D [把展开图还原成正方体，如图所示．
还原后点G与C重合，点B与F重合，由图可知A，B，C说法正确，EF与AB相交，故D错误．故选D．]
4．D [根据题意还原正四棱柱的直观图，如图所示，取AA1的中点G，连接KG，则有KG∥LM，所以∠AKG或其补角为异面直线AK和LM所成的角．由题知AG＝2，AK＝KG＝＝，则有AK2＋KG2＝AG2，所以∠AKG＝90°，即异面直线AK和LM所成角的大小为90°．故选D．]
5．B [根据题意，连接AC，则A1C1∥AC，
∴A1，C1，C，A四点共面，
∴A1C 平面ACC1A1，∵M∈A1C，∴M∈平面ACC1A1，
又M∈平面AB1D1，∴M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，
同理O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，
∴A，M，O三点共线，∴A选项错误，B选项正确；
由异面直线的判定定理可知C选项中OM与DD1为异面直线，∴C选项错误；
由异面直线的判定定理可知D选项中AB1与BM为异面直线，∴D选项错误．
故选B．]
6．ABD [由正方体性质，AA1∥CC1，所以A，C，C1，A1四点共面，A正确；
∵直线A1C交平面C1BD于点M，
∴M∈平面C1BD，M∈直线A1C，
又A1C∈平面ACC1A1，
∴M∈平面ACC1A1，
∵O为DB的中点，BD 平面C1BD，底面ABCD为正方形，
所以O为AC的中点，
∴O∈平面C1BD，且O∈平面ACC1A1，
又C1∈平面C1BD，且C1∈平面ACC1A1，平面C1BD与平面ACC1A1相交，
则C1，M，O在交线上，即三点共线，故选项B正确；
平面BB1D1D∩平面C1BD＝BD，M∈平面C1BD，但M BD，
所以M 平面BB1D1D，C错误；
A1C∩平面ABCD＝C，BD 平面ABCD，C BD，
所以A1C与BD为异面直线，D正确．
故选ABD．]
7．D [取AB的中点为F，连接EF，A1F，如图，
因为E为棱AC的中点，F为AB的中点，所以EF∥BC，
所以∠A1EF为异面直线A1E与BC所成的角(或其补角)，
因为在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AA1＝4，
所以A1E＝＝2，A1F＝2，EF＝BC＝2，所以在△A1EF中，cos ∠A1EF＝＝＝，
所以异面直线A1E与BC所成角的余弦值为．故选D．]
8．6＋4 [如图，取AD中点H，连接EH，A1D，
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，因为E是AA1的中点，H为AD中点，
所以EH∥A1D，EH＝A1D，
又在正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1B1∥DC，A1B1＝DC，
所以四边形A1B1CD为平行四边形，
所以A1D∥B1C，所以EH∥B1C，
故梯形EB1CH即为平面B1CE截正方体ABCD-A1B1C1D1所得的截面，
由已知，EH＝＝2，B1E＝＝2，B1C＝＝4，CH＝＝2，
则截面周长为EB1＋B1C＋HC＋EH＝4＋6．]
9．解： (1)证明：平面ABCD∩平面CDD1C1＝DC，
由于Q∈EF 平面ABCD，Q∈HG 平面CDD1C1，
所以Q∈DC，即点Q在直线DC上．
(2)根据正方体的性质可知A1B1∥DC，
所以异面直线EF与A1B1所成角为∠DQE，
由于AB∥DC，E，F分别是AB，BC的中点，
所以∠DQE＝∠FEB＝45°，
所以异面直线EF与A1B1所成角的大小为45°．
1/1课后习题(四十三) 空间点、直线、平面之间的位置关系
1．(苏教版必修第二册P173练习T2改编)如果直线a 平面α，直线b 平面β，且α∥β，则a与b( )
[A] 共面
[B] 平行
[C] 是异面直线
[D] 可能平行，也可能是异面直线
2．(多选)(人教A版必修第二册P131练习T4改编)已知a，b是两条不重合直线，α，β是两个不重合平面，则下列说法正确的是( )
[A] 若α∥β，a α，b β，则a与b是异面直线
[B] 若a∥b，b α，则直线a平行于平面α内的无数条直线
[C] 若α∥β，a α，则a∥β
[D] 若α∩β＝b，a α，则a与β一定相交
3．(人教A版必修第二册P132习题8.4T9改编)如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则下列说法错误的是( )
[A] AB与CD是异面直线
[B] GH与CD相交
[C] EF∥CD
[D] EF与AB异面
4．(人教B版必修第四册P71练习B T1改编)如图，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的侧面展开图是边长为4的正方形，则在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，异面直线AK和LM所成角的大小为( )
[A] 30° [B] 45°
[C] 60° [D] 90°
5．(2025·深圳模拟)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，直线A1C与平面AB1D1的交点为M，A1C1与B1D1交于点O，则下列结论正确的是( )
[A] A，M，O三点确定一个平面
[B] A，M，O三点共线
[C] D，D1，O，M四点共面
[D] A，B1，B，M四点共面
6．(多选)(2025·哈尔滨香坊区模拟)在图示正方体中，O为BD中点，直线A1C∩平面C1BD＝M，下列说法正确的是( )
[A] A，C，C1，A1四点共面
[B] C1，M，O三点共线
[C] M∈平面BB1D1D
[D] A1C与BD异面
7．(2024·无锡锡山区期末)在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AA1＝4，E为棱AC的中点，则异面直线A1E与BC所成角的余弦值为( )
[A] － [B] －
[C] [D]
8．(2025·长沙模拟)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，E是侧棱AA1的中点，则平面B1CE截正方体ABCD-A1B1C1D1所得截面图形的周长是__________．
9．(2024·上海杨浦区月考)如图，已知E，F，G，H分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB，BC，CC1，C1D1的中点，且EF与HG相交于点Q．
(1)求证：点Q在直线DC上；
(2)求异面直线EF与A1B1所成角的大小．
1/1
