1.3.1函数单调性与导数 教学设计

1.3.1函数的单调性与导数
【教学目标】
1.探索函数的单调性与导数的关系
2.会利用导数判断函数的单调性并求函数的单调区间
3.通过本节的学习，掌握用导数研究单调性的方法
4.在探索过程中培养学生的观察、分析、概括的能力渗透数形结合思想、转化思想。
5.通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结，培养学生的
探索精神，引导学生养成自主学习的学习习惯。
【教学重点难点】
教学重点：探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间。
教学难点：探索函数的单调性与导数的关系。
【教 具】多媒体
【教学方法】 “124”模式 问题启发式
【教学过程】
一．复习回顾（学生回答）
复习 1：基本初等函数的导数公式
复习2：函数单调性的定义，判断单调性的方法，（图像法，定义法）
问题提出：
那么如何判断的单调性呢？（后面例题中详讲）引导学生图像法，定义去尝试发觉有困难，引出课题：板书课题：函数的单调性与导数
二．新知探究
探究任务一：函数单调性与其导数的关系：
问题1:如图（1）表示高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数的图像，图(2）表示高台跳水运动员的速度h的图像.
通过观察图像, 运动员从起跳到最高点，以及从
最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？
此时你能发现这两个函数图像有什么联系吗
（分组讨论）
启发: 函数在(0,a)上位增函数，函数在(0,a)上有何特点呢？函数在(a,b)上为减函数，那么函数在(a,b)上有何特点呢？
问题2：观察图（1）～图（4），探讨函数与其导函数是否也存在问题（1）的关系呢？（分组讨论）
问题3：通过对问题1和问题2的观察，你能得到原函数的单调性与其导函数的正负号有何关系？你能得到怎样的结论？（形成初步结论，结论：函数的单调性与导数的关系：在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；如果，那么函数在这个区间内单调递减．）
探究任务二：与函数单调性的关系：
问题4：若函数的导数，那么会是一个什么函数呢？（特别的，如果，那么函数在这个区间内是常值函数．）
例1:已知某函数的导函数的下列信息:
当当
当试画出函数图像的大致形状.
例2：判断下列函数的单调性,并求出单调区间:
（1） （2）
（3） （4）
（对于（2）让学生课后探究尝试单调性的定义法和图象法）
问:你对利用导数去研究函数的单调性有什么看法 你能总结出利用导数求单调区间的步骤吗？（简单易行）
“求解函数单调区间的步骤：
（1）确定函数的定义域；（2）求导数；
（3）解不等式，解集在定义域内的部分为增区间；
（4）解不等式，解集在定义域内的部分为减区间．
问题5：导数能帮助我们简洁的求出单调区间，画出大致图象，但我们知道就是递增（递减）也有快与慢的区别，在导数上如何体现呢？下面我们就来看一下下面这个问题
例3．如图1.3-6，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度与时间的函数关系图像．
分析：
在导数几何意义那节我们就感受了增加与减少也由快慢之分，那么我们以容器（2）为例，由于容器上细下粗，所以水以常速注入时，开始阶段高度增加得慢，以后高度增加得越来越快．反映在图像上，（A）符合上述变化情况．同理可知其它三种容器的情况．
解：
思考：例3表明，通过函数图像，不仅可以看出函数的增减，还可以看出其变化的快慢．结合图像，你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？
一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快，这时，函数的图像就比较“陡峭”；反之，函数的图像就“平缓”一些．
三，当堂自测
1．求证：函数在（0,2）内是减函数。
2．求下列函数的单调区间：
(1)y＝x－lnx； (2)y＝.
(3)f(x)＝x3＋； (4)f(x)＝sinx(1＋cosx)(0≤x≤2π)．
四，课堂小结
1.函数导数与单调性的关系:若函数y=f(x)在某个区间内可导,
如果f ′(x)>0, 则f(x)为增函数;如果f′(x)<0, 则f(x)为减函数.
2.掌握求单调区间的步骤
五，作业设计
课本26页，练习1，2，3，4
六，课后反思
本节课由于提前撰写了教学设计，并且经过了精心的修改，通过课堂教学的实施，能够把新课标理念渗透到教学中去，体现了以学生为主体，以教师为主导的作用发挥的比较到位，学生能极思考，思维敏捷，合作学习氛围浓厚，是一堂成功的教学设计课。
本节课存在的不足之处是：
教学引入时间较长，致使整堂课时间安排显得前松后紧。
教态不够自然、大方；显得过于紧张。
3、改进的思路：①在引导学生提问时，问题要简明扼要。
②多进行公开课，锻炼自己的胆量和语言表达能力。
附：板书设计
函数的单调性与导数
函数单调性与导数的关系利用导数求单调性的步骤 例题讲解例2： 学生板演