一、单选题
1 2 3 4 5 6 7 8
C A D B B C D D
二、多选题
9 10 11
ABC ABD BCD
三、填空题
12 13 14
1 1
18
4 6
四、解答题
15.（1）在底面 中，由 AB 2AC 2，可得 AC 1，
1
又 BAC 60 ，由余弦定理可得， BC 12 22 2 1 2 3 ，................................................... ..1 分
2
所以 AC 2 BC 2 AB2，即 AC BC，
S 1 1 3故 ABC AC BC 1 3 .................................................... ......................................................2 分2 2 2
又 PC 1，侧棱 PC 底面 ABC，
S 1 AC PC 1 1 1 1所以 △PAC ，2 2 2
S 1PCB BC PC
1
3 1 3 .................................................... ..........................................................4 分△ 2 2 2
又 PA PC2 CA2 2， PB PC2 CB2 2且 AB 2，
则 PAB为等腰三角形，设 PA边上的高为 h，
S 1 PA PB2 PA
2
1 2 4 1 1 7 7则 PAB 2 ，....................................................5 分2 2 2 2 2 2 2
3 1 3 7 7 1
所以三棱锥 P ABC 的表面积为 S ABC S PAC S PCB S PAB 3 ........6 分△ △ △ △ 2 2 2 2 2 2
（2）设球O的半径为 R .因为 AC BC， PC BC， PC AC，
所以三棱锥 P ABC外接球与以 AC,CB,PC为棱的长方体的外接球是同一个球，................................8 分
即球 O的直径恰好是以 AC,CB,PC为棱的长方体的体对角线，
2 2 2 O R 5故 2R PC CB CA 1 1 3 5，故球 的半径 ，......................................................11 分
2
{#{QQABLQKl4wKwghQACY77AQEoCwiQsJATLaoGgUAcOAwCyBFIBCA=}#}
3
O 4
πR3 4π 5
5 5π
所以球 的体积为. ................................................................................................13 分3 3 2 6
16．（1） AO mAB nAC， (m,m R)，
因为 B,O,D三点共线，所以 AO mAB 1 m AD，..................................................................................1 分
3 3m
又因为 AD 3DC，所以 AD
3
AC ，则 AO mAB AC，..............................................................3 分
4 4
同理，因为C,O,E三点共线，所以 AO nAC 1 n AE，.........................................................................4 分
2 2 2n
又因为 AE 2EB，所以 AE AB，则 AO nAC AB ，.................................................................5 分3 3
m 2 2n 1
m 3 3
根据平面向量基本定理，可得 ，解得 ，...........................................................................7 分
3 3m n n 1
4 2
m n 1 1 5所以 ...........................................................................................................................................8 分
3 2 6
（2）延长 AO与 BC交于点 F ，因为 B,F ,C三点共线，
所以
AF t AB 1 t AC ，........................................................................................................................................10 分
1 1
又因为 AO AB AC，且 AF / /AO，所以3 2 AO AF
，
1 1
即 AB AC t AB 1 t AC t AB 1 t AC，...........................................................................12 分3 2
1 2
t t 3 5 5 1
所以 ，解得 ，所以 AO AF5 ，则
OF AF ..............................................................14 分
1 t 1 6 6
2 6
S 1
所以 ...........................................................................................................................................................15 分
S 6
17．（1）由频率分布直方图可得 (0.015 0.020 a 0.025 0.010) 10 1，
解得 a 0.030；.....................................................................................................................................................2 分
由频率分布图可知众数约为75；.........................................................................................................................4 分
估算这 40名学生测试成绩的平均数为55 0.15 65 0.2 75 0.3 85 0.25 95 0.1 74.5 .......................7分
（2）①由图可得 80,90 和 90,100 0.25 5这两组的频率之比为 ，
0.10 2
{#{QQABLQKl4wKwghQACY77AQEoCwiQsJATLaoGgUAcOAwCyBFIBCA=}#}
故应从 80,90 5学生中抽取的学生人数为7 5（人），................................................................................9 分
7
2
应从 90,100 学生中抽取的学生人数为 7 27 （人）；..................................................................................11 分
②设从 80,90 中抽取的 5 人为 a,b,c,d ,e，从 90,100 学生中抽取的 2 人为 1，2，
则这个试验的样本空间为 {ab,ac,ad ,ae,a1,a2,bc,bd ,be,b1,b2,cd ,ce,c1,c2,de,d1,d2,e1,e2,12}，
共有 21 个基本事件；.........................................................................................................................................13 分
事件 A “至少有 1人测试成绩位于区间 90,100 ”，事件A的个数有 11个，即{a1,a2,b1,b2,c1,c2,d1,d2,e1,e2,12}，
故 P A 11 .........................................................................................................................................................15分
21
18．（1） 2acosB 2c b 2sin AcosB 2sinC sin B，...........................................................................2 分
2sin Acos B 2sin(A B) sin B 2(sin Acos B cos Asin B) sin B，..........................................................4 分
化简可得： 2cos Asin B sin B，
∵ < < , ∴ > ,
cos A 1 ，........................................................................................................................................................6 分
2
0 A π, A π ...................................................................................................................................................8
3 分
b c a a 2 3 a, sinB 3 b 3 c ,sinC
（2）① sinB sinC sin A 3 3 2 a 2 a，........................................10 分
2
2b 3 b 2c 3 c bc 3a ，
2 a 2 a
3 b2 c2 a2 abc 3 cos A a 1 a 3 a 3．.................................................13分2 2 2
② ① 3 b2 2由 得 c 3 3bc b2 c2 3 bc，
3 bc 2bc bc 3，当且仅当b c时等号成立，
ABC 1面积的最大值为 bc sin A 3 3 ．.......................................................................................................17 分
2 4
19．（1）因为 E为 AC中点， ABC是等边三角形，所以 BE AC ,............................................................1 分
又 AC DB ,DB BE B ,DB,BE 平面DBE ,
所以 AC 平面DBE ,则 AC DE，..................................................................................................................3 分
已知 AC 2 ,则 AE EC 1
2
又DB 2 ,DE 1 ,在等边 ABC中， BE 3，所以12 3 22 ，
由勾股定理逆定理DE2 +BE2 = DB2，所以DE BE，...................................................................................4 分
{#{QQABLQKl4wKwghQACY77AQEoCwiQsJATLaoGgUAcOAwCyBFIBCA=}#}
因为 AC BE E , AC,BE 平面 ABC ,所以DE 平面 ABC ..........................................................................5 分
（2）过点D作DM AD ,垂足为M ,连接 EM ,
由(1)知DE 平面 ABC , AB 平面 ABC，所以DE AB ,
因为DE DM D ,DE , DM 平面DEM ,所以 AB 平面DEM ,
EM 平面DEM ,所以 EM AB , 所以 EMD为二面角D AB C的平面角............................................8 分
因为 EM AE sin EAM 3 , DE 1 ,所以DM EM 2 DE 2 7 , cos EMD EM 21 ,
2 2 DM 7
21
所以二面角D AB C的余弦值为 ...........................................................................................................10 分
7
（3）连接 EF，由（1）知 AC 平面DBE , EF 平面 BDE，所以 AC EF，
S 1所以 AFC AC EF，所以当 AFC的面积最小时，EF最小，...............................................................12 分2
在 Rt DEB中，若 EF 最小，则 EF DB，
此时 EF 3 ， AF CF AE 2 EF 2 1 3 7 ，
2 2 2
因为 AC DB，DB EF， AC EF E ，所以 DB 平面 AFC，
又DB 平面 ABD，所以平面 ABD 平面 AFC， 过点C作CH AF，垂足为 H ，
因为平面 ABD 平面 AFC AF，所以CH 平面 ABD，
所以 AFC（或其补角）是CF与平面 ABD所成的角。 ...............................................................................15 分
7 7
AF 2 CF 2 AC 2 4 1
在 AFC中，由余弦定理可得 cos AFC 4 47 ，2 AE CF 2 7
4
所以 sin AFC 4 3 4 3，即CF与平面 ABD所成角的正弦值为 ...............................................................17 分
7 7
{#{QQABLQKl4wKwghQACY77AQEoCwiQsJATLaoGgUAcOAwCyBFIBCA=}#}2025年高一年级期末考试（数学）试题卷
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．
1．为了了解邵东市中小学生的视力情况，拟从邵东市的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到邵东市小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男、女生视力情况差异不大。则下列抽样方法最合理的是（ ）
A．简单随机抽样 B．按性别分层抽样 C．按学段分层抽样 D．按性别或学段分层抽样都行
2．复数的虚部为（ ）
A．1 B． C． D．
3．设是一个平面，、是两条直线，则正确的命题为（ ）
A．如果，，那么 B．如果，，那么
C．如果，，那么 D．如果，，那么
4．已知在中，，则的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形
5．已知平面向量，若与垂直，则=（ ）
A． B． C． D．14
6．小明参加一场射箭比赛，需要连续射击三个靶子，每次射箭结果互不影响，已知他射中这三个靶子的概率分别为x，x，，若他恰好射中两个靶子的概率是，那么他三个靶子都没射中的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．在中，点在线段上，且满足，点为线段上任意一点（除端点外），若实数，满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．9
8．在三棱锥中，，，，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有错选的得0分．
9．在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D发生的概率分别是0.1，0.2，0.3，0.4，则下列说法错误的是（ ）
A．与C是互斥事件，也是对立事件 B．与D是互斥事件，也是对立事件
C．与是互斥事件，但不是对立事件 D．A与是互斥事件，也是对立事件
10．在中，内角所对的边分别为，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则是钝角三角形
B．若是锐角三角形，则
C．若，，，则满足这组条件的三角形有两个
D．若，则
11．正方体的棱长为2，是侧面上的一个动点（含边界）；点在棱上，；则下列结论正确的有（ ）
A．沿正方体的表面从点到点的最短距离为
B．三棱锥的外接球表面积为
C．若，则点的运动轨迹长度为
D．平面被正方体截得截面面积为
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
12．在一次数学测验中，某小组的7位同学的成绩分别为：109，116，122，126，131，134，140，则这7位同学成绩的上四分位数与下四分位数的差为 ．
13．已知是边长为2的等边三角形，点是内一点，且，若，则 的最小值为 .
14．在三棱锥中，，点P在平面ABC上的投影O是的垂心，平面PBC，若，则三棱锥的体积的最大值为 ．
四、解答题：本大题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
(本题满分13分)
如图，三棱锥的各顶点都在球的表面上，底面中，，，侧棱底面ABC.
(1)求三棱锥的表面积；
(2)求球的体积.
(本题满分15分)
如图，在中，，，与交于O，若，
(1)求的值；
(2)设的面积为S，的面积为，求的值．
(本题满分15分)
学校组织全校学生进行了一次“交通安全知识知多少”的问卷测试．已知所有学生的测试成绩均位于区间，从中随机抽取了40名学生的测试成绩，绘制得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求图中的值，并估算这40名学生测试成绩的众数和平均分；（同一组中的数据取该组区间的中点值）
(2)我校2025年全力推进校园信息化建设．为了更好的帮助同学们了解学校的信息化建设情况，学校政教处利用比例分配的分层随机抽样方法，从和的学生中抽取7人组成“信息化建设”宣讲团．
①求应从和学生中分别抽取的学生人数；
②从选定的7人中随机抽取2人对高一同学进行宣讲，设事件“至少有1人测试成绩位于区间”，求事件的概率．
(本题满分17分)
在中，内角A，B，C对边分别为a，b，c，已知．
(1)求角A的值；
(2)若．
①求a的值；
②求面积的最大值．
(本题满分17分)
如图，在三棱锥中，为等边三角形，E为AC的中点，，且.
(1)证明：平面ABC；
(2)求二面角的余弦值；
(3)若F为线段DB上的动点，当的面积最小时，求CF与平面ABD所成角的正弦值.
