4.2.2 等差数列前n项和公式 教案

等差数列的前n项和公式
教材分析：
本节课是2019版高中数学(人教版)选择性必修第二册，第四章《数列》。本节课主要学习等差数列的前n项和公式的推导及应用。
等差数列前n项和公式的推导过程，体现了代数变换在数列研究中的价值，蕴含着数列求和的一般方法，以及分类讨论的数形思想，让学生体验从特殊到一般的研究方法，培养学生灵活运用公式的能力，发展学生逻辑推理、直观想象、数学运算、数学建模等核心素养。
教学目标：
通过经历等差数列求和公式的发现、探究过程，理解这些法则推导的依据，掌握等差数列前n项和公式的推导；
2、让学生经历探究、推导的过程，体验发现的乐趣。在应用公式的过程中，让学生归纳总结；
3、通过本节课的学习让学生感受到数学来源于生活，引导学生善于观察生活，从生活中发现问题，增加学习的信心，增强学习的积极性。
教学重难点：
重点:掌握等差数列前n项和公式；能用多种方法解决等差数列求和的问题
难点:深刻理解等差数列求和公式，并能灵活运用
教学策略：
通过探究、启发、当堂训练的教学程序，采用启发式讲解、互动式讨论、反馈式评价的授课方式，培养学生的自学能力和分析解决问题的能力，借助多媒体辅助教学，达到增加课堂效率的目的，营造生动活泼的课堂教学氛围。
教学过程：
课题引入
泰姬陵坐落于印度古都阿格拉，是世界七大奇迹建筑之一.传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的宝石镶饰而成，共有100层。
师：上述情境的图案中，第1层到第5层一共有多少颗宝石？
生：
师：如果改成求整个100层的宝石个数，你能同样快速的求出来吗？
数学家高斯在他10岁的时候就遇到了同样的问题。他是如何快速求出的和的？
师：你觉得高斯算法的特点是什么？
生：偶数个数相加，首尾配对相加，加法运算变为乘法运算。
二．讲授新课
合作探究
将学生分为几个小组，讨论研究以下三个问题。
问题1：等差数列的前n项和怎么求？
问题2：等差数列的前n项和怎么求？
问题3：等差数列前n项和公式中共涉及几个量，如何求出这些量？
学生先自我思考，再小组交流讨论，教师在学生中进行巡视，了解学生的进展情况，并适时加以引导。
（二）成果展示
问题一：
生：
找一位同学进行评价补充：
生2：不知道n为奇数还是偶数的情况下，无法直接说是个组。
师：请这位同学进行补充修改。
生：当n是偶数时，有
当n是奇数时，有
所以，对于任意正整数n，都有
师：我们发现，在求前n个正整数的和时，要对n分奇数、偶数进行讨论，比较麻烦.能否设法避免分类讨论？
，
，
将上述两式相加，可得
所以
问题二：
对于等差数列 ，因为
，
由上述方法得到启示，我们用两种方式表示
①
②
①+②,得
由此得到等差数列的前n项和公式
(1)
对于等差数列，利用公式（1），只要已知等差数列的首项和末项 ，就可以求得前n项和.另外，如果已知首项和公差d，那么这个等差数列就完全确定了，所以我们也可以用和d来表示.
把等差数列的通项公式代入公式（1），可得
(2)
问题三：
等差数列的前n项和公式
已知量 首项，末项 与项数 首项，公差与项数
选用 公式
解题时根据已知条件决定选用哪个公式.
两个公式一共涉及五个量. 通常已知其中三个，可求得其余两个，而且方法就是解方程（组），这也是等差数列的基本问题形式之一。
三．强化小练
例一：（1）.
（2）.
（3）等差数列的前n项和满足.
再次强调了求解时知三求二的使用方式。
变式训练：有穷等差数列的项数为n，前n项和为34，后5项的和为146，=234，求的值.
课堂小节
1：等差数列前n项和的公式；
2：等差数列前n项和公式的推导方法——倒序相加法；
3：在两个求和公式中,各有五个元素,只要知道其中三个元素,结合通项公式就可求出另两个元素.
作业布置
课后习题
板书设计
等差数列前n项和公式 1：公式推导过程 2：公式本身 PPT 例一： 变式：
本节反思
通过高斯求和的故事引入，激发学生兴趣，让学生充分掌握“倒序相加法”和“分类讨论法”。从基础应用（已知首项、末项、项数求和的直接套用）到综合问题（结合通项公式、方程思想），逐步提升难度，学生反馈较好。