1 分解因式

课件27张PPT。八年级数学（下册）第二章 分解因式1 分解因式多项式分解因式的概念请同学观察下面两个等式：
a3＋b3=(a＋b)(a2-ab＋b2)，
3ｍ2-3ｎ2＝3(ｍ＋ｎ)(ｍ-ｎ). 可以看出，这两个等式的左边都是多项式，右边都是整式乘积的形式，并且右边的每一个因式都能整除左边的式项式. 我们把上面这种从左式到右式的恒等变形叫做多项式的分解因式. 多项式分解因式的概念 分解因式与整式乘法的关系：　　 分解因式
结合：a2-b2 （a+b）（a-b）
整式乘法把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式分解因式，也叫做把这个多项式因式分解. 分解因式与整式乘法的关系 结论：分解因式与整式乘法正好相反. 说明：从左到右是分解因式其特点是：由和差形式（多项式）转化成整式的积的形式；从右到左是整式乘法其特点是：由整式积的形式转化成和差形式（多项式）. 问题：你能利用分解因式与整式乘法正好相反这一关系，举出几个分解因式的例子吗？如：
由(x+1)(x-1)=x2-1得x2-1=(x+1)(x-1)
由(x+2)(x-1)=x2+x-2得x2+x-2=(x+2)(x-1)等.分解因式是整式中的一种恒等变形 分解因式与整式乘法是两种相反的恒等变形，也是思维方向相反的两种思维方式，因此，分解因式的思维过程实际也是整式乘法的逆向思维的过程。 问：下列各题中，从左式到右式的变形，哪些是分解因式?哪些不是分解因式?为什么?(1)ａ2＋2ａｂ＋ｂ2＝(ａ＋ｂ)2；　
(2)ｘ2－3ｘ＋2＝(ｘ－1)(ｘ－2)；(3)(ｘ＋2)(ｘ－1)＝ｘ2＋ｘ－2；　　
(4)ｘ(ｘ＋2)＝ｘ2＋2ｘ；(5)ｘ2－ｙ2＝(ｘ＋ｙ)(ｘ－ｙ)；
(6)ｍ2＋ｍ－4＝(ｍ＋3)(ｍ－2)＋2.答：(1)，(2)，(5)题中，从左式到右式的变形是分解因式，因为各题中的左式都是多项式，而右式都是整式乘积形式，均符合分解因式的定义；而(3)，(4)，(6)题中，从左式到右式的变形都不是分解因式，各题中的右式都不是整式乘积的形式，因此不符合分解因式的定义. 多项式的分解因式，必须是把一个多项式化成几个整式乘积的形式. 单项式与多项式相乘，得
ｍ(ａ＋ｂ＋ｃ)＝ｍａ＋ｍｂ＋ｍｃ；
多项式与多项式相乘，得
　(ｘ＋ｍ)(ｘ＋ｎ＝ｘ2+(ｍ＋n)ｘ＋ｍn. 乘法公式有：
平方差公式：(ａ＋ｂ)(ａ－ｂ)＝ａ2－ｂ2.
完全平方公式:(ａ＋ｂ)2＝ａ2＋2ａｂ＋ｂ2，
(ａ－ｂ)2＝ａ2－2ａｂ＋ｂ2.
立方和与立方差公式:
(ａ＋ｂ)(ａ2－ａｂ＋ｂ2)＝ａ3＋ｂ3，
(ａ－ｂ)(ａ2＋ａｂ＋ｂ2)＝ａ3－ｂ3. 观察乘法运算及乘法公式中，等号的左边和右边各是什么式子?答：各式的等号左边都是整式乘积形式，而各式的等号右边都是多项式.如果我们把上面的乘法运算及乘法公式中的等号左边的式子与等号右边的式子互换，就得到: ｍａ＋ｍｂ＋ｍｃ＝ｍ(ａ＋ｂ＋ｃ)，　ｘ2＋(ｍ＋ｎ)ｘ＋ｍｎ＝(ｘ＋ｍ)(ｘ＋ｎ)，　ａ2-ｂ2＝(ａ＋ｂ)(ａ-ｂ)，　　　　　　　　ａ2＋2ａｂ＋ｂ2＝(ａ＋ｂ)2，　ａ2－2ａｂ＋ｂ2＝(ａ－ｂ)2，　ａ3＋ｂ3＝(ａ＋ｂ)(a2－ａｂ＋ｂ2)，　ａ3－ｂ3＝(ａ－ｂ)(a2＋ａｂ＋ｂ2). 这些式子中，从等式左边到等式右边的变形就是多项式的分解因式. 由此可得出：多项式的分解因式与整式乘法是方向相反的恒等式.整式的乘法运算是把几个整式的积变为多项式的形式，特征是向着积化和差的形式发展；而多项式的分解因式是把一个多项式化为几个整式乘积的形式，特征是向着和差化积的形式发展. 课堂练习 1.选择题.
(1)下列等式中，从左到右的变形为分解因式的是( ).
Ａ.12ａ2ｂ＝3ａ·4ａｂ　
Ｂ.(ｘ＋2)(ｘ－2)＝ｘ2－4
Ｃ.4ｘ2－8ｘ－1＝4ｘ(ｘ－2)-1
Ｄ.12ａｘ－12ａｙ＝12ａ(ｘ－ｙ). (2)下列等式中从左到右的变形分解因式的是( ).
Ａ.(ｘ＋5)(ｘ－1)＝ｘ2＋4ｘ－5
Ｂ.ｘ2－ｙ2－1＝(ｘ＋ｙ)(ｘ－１)-1
Ｃ.ｘ2－10ｘｙ＋25ｙ2＝(ｘ－5ｙ)2
Ｄａｘ2－ｂｘ2－ｘ＝ｘ2(ａ－ｂ) －ｘ DC(3)下列等式中从左到右的变形分解因式的是( ).Ａ.ａｂ(ａ－ｂ)＝ａ2ｂ－ａｂ2 Ｂ.(ｘ－3)(ｘ＋3)＝ｘ2－9?Ｃ.ａｘ＋ｂｘ－ａ＝ｘ(ａ＋ｂ) －ａ Ｄ.ａｂ＋ａｃ－ａ2＝ａ(ｂ＋ｃ－ａ)2.判断下列各题从左到右的变形，哪些是分解因式?哪些不是?为什么? (1)(ｘ＋ｙ)2＝ｘ2＋2ｘｙ＋ｙ2；
(2)ｙ2－16＝(ｙ＋4)(ｙ－4)；
(3)ｘ2-4ｘ＋5＝(ｘ－2)2＋1；
(4)ｍ2－2ｍ＋1＝(ｍ－1)2；
(5)ａ2－25＋ａ－1＝(ａ＋5)(ａ－5)＋ａ－1；
(6)ｘ2－5ｘ－6＝(ｘ－6)(ｘ＋1).D否是否是否是小结 1.多项式的分解因式的概念是，把一个多项式化为几个整式乘积的形式，叫做把这个多项式分解因式.
2.多项式的分解因式与整式乘法是方向相反的恒等变形. 1.判断正误.
(1)把一个代数式化为乘积形式，叫做把这个代数式分解因式； ( )
(2)把一个整式化为乘积形式，叫做把这个整式分解因式； ( )
(3)把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式分解因式. ( )作业 2.下列由左到右的变形，哪些是分解因式?哪些不是?为什么? (1)ｘ2＋2ｘｙ+y2－1＝(ｘ＋ｙ＋1)(ｘ＋ｙ－1)；
(2)ｘ2－ｙ2－3＝(ｘ＋ｙ)(ｘ－ｙ) －3；
(3)ｍ2＋2ｍn＋ｎ2-2ｍ－2ｎ＝(ｍ＋ｎ)2－2(ｍ＋ｎ)；
(4)9(ａ2－1)＝9(ａ＋1)(ａ－1)；
(5)ｂｘ2－3ｂ＝ｂ(ｘ2－3)；
(6)(ａ＋2)(ａ－3)+5＝ａ2－ａ－1；
(7)9ｘ2－ｙ2＝(3ｘ+ｙ)(3ｘ－ｙ). 利用分解因式与整式乘法的关系，可以从整式乘法探求分解因式的结果。什么是完全平方式 ： 两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方.
ａ2＋2ａｂ＋ｂ2＝(ａ＋ｂ)2；
ａ2－2ａｂ＋ｂ2＝(ａ－ｂ)2 .
式子a2+2ab+b2及a2－2ab+b2叫做完全平方式，上面的两个公式就是完全平方公式.运用这两个公式，可以把形式是完全平方式的多项式分解因式.注意
完全平方式是指代数式:
a2+2ab+b2.a2－2ab+b2.具备什么特征的多项是完全平方式?答：一个多项式如果是由三部分组成，其中的两部分是两个式子(或数)的平方，并且这两部分的符号都是正号，第三部分是上面两个式子(或数)的乘积的二倍，符号可正可负，像这样的式子就是完全平方式.多项式 －x2－4y2+4xy是否符合完全平方式的结构特点?这样的多项式能否进行因式分解? 分析：这个多项式的两个平方项的符号均为负，因此不符合完全平方式的形式，不能直接运用完全平方公式把它因式分解，如果把它的各项均提出一个负号，那么括号内的多项式就符合完全平方式的结构特点，从而可以运用完全平方公式分解因式. 解：－x2+4y2+4xy
= －(x2－4xy+4y2)
=－[x2－2·2x·y+(2y) 2]
=－(x－2y) 2. 注意：
1.在一个多项式中，两个平方项的符号必须相同，才有可能成为完全平方式.2.在对类似例1的多项式分解因式时，一般都是先把完全平方项的符号变为正的，也就是先把负号提到括号外面，然后再把括号内的多项式运用完全平方公式分解因式.例2 把(x+y) 2－6(x+y)+9分解因式.分析：多项式中的两个平方项分别是(x+y) 2和32 ，另一项6(x+y)=2·(x+y)·3，符合完全平方式的形式，这里“x+y”相当于完全平方式中的a，“3”相当于相当于公式中的b，设a=x+y，我们可以把原式变为
　　　(x+y) 2－6(x+y)+9=a2－6a+9，
因而能运用完全平方公式，得到(a－3) 2.
在解题过程中，可以把代换这一步骤省略. 解 ：(x+y) 2－6(x+y)+9
=(x+y) 2－2 ·(x+y)·3+32
=(x+y－3) 2. 例3. 把m2+10m(a+b)+25(a+b) 2分解因式. 问：观察和分析这个多项式，是否符合完全平方式形式?为什么? 答：可以把m2+10m(a+b)+25（a+b）2写成m2+2 · m · 5(a+b)+[5(a+b)] 2.这里m相当于完全平方式里的a，5(a+b)相当于完全平方式里的b.原式是完全平方式，可以运用完全平方公式因式分解.
解：m2+10m(a+b)+25(a+b) 2
= m2+2 · m · 5(a+b)+[5(a+b)] 2
= [m+5(a+b)] 2
= (m+5a+5b) 2.
注意：通过以上各例题可以看到，在给出的多项式中，两个平方项可以是单项式 (或数)，也可以是多项式. 例4 把下列各式分解因式：　　(1)3ax2+6axy+3ay2；　　(2)81m4－72m2n2+16n4. 对于(1)，请同学观察和分析，这个多项式的结构有什么特点?怎样分解因式?
答：这个多项式的各项都有公因式3a，可以先提出，即
　　3ax2+6axy+3ay2=3a(x2+2xy+y2).
括号内的多项式是一个完全平方式，可以用完全平方公式因式分解. 对于(2)，结合这个多项式的结构特点，怎样分解因式?
答：所给的多项式是三项式，其中第一、三项可以变形为平方项，即81m4=(9m2) 2，16n4=(4n2) 2，中间项72m2n2=2·9m2·4n2，所以这个多项式符合完全平方式形式，因此可以运用完全平方公式因式分解. 解　(1)3ax2+6axy+3ay2=3a(x2+2xy+y2)=3a(x+y) 2. 注意：如果多项式的各项有公因式，应该先提出这个公因式，再进一步分解因式. (2)81m4－72m2n2+16n4
=(9m2) 2－2·9m2·4n2+(4n2) 2
=(9m2－4n2) 2.
问：做到这一步还能不能继续再分解?
答：括号内的多项式是平方差形式，可以运用平方差公式分解因式.
　　　　原式=(9m2－4n2) 2
　　　　　　=[(3m) 2－(2n) 2] 2
　　　　　　=[(3m+2n)(3m－2n)] 2
　　　　　　=(3m+2n) 2 (3m－2n) 2. 三、课堂练习 把下列各式分解因式：
(1)(x+y) 2－10(x+y)+25；　(2)－2xy－x2－y2；
(3)ax2+2a2x+a3；　　　　(4)－a2c2－c4+2ac3；
(5)(a+b) 2－16(a+b)+64；(6)(x2+2x) 2+2(x2+2x)+1；
(7)(m2－6) 2 －6(m2－6)+9；(8)a4－8a2b2+16b4. 答案：　　(1)(x+y－5) 2； (2)－(x+y) 2；
(3)a(x+a) 2； (4)－c2 (a－c) 2；
(5)(a+b－8) 2；　 (6)(x+1)4；
(7)(m+3) 2 (m－3) 2；(8)(a+2b) 2 (a－2b) 2. 小结　　运用完全平方公式把一个多项式分解因式的主要思路与方法是：1.首先要观察、分析和判断所给出的多项式是否为一个完全平方式，如果这个多项式是一个完全平方式，再运用完全平方公式把它进行分解因式.有时需要先把多项式经过适当变形，得到一个完全平方式，然后再把它分解因式.2.在选用完全平方公式时，关键是看多项式中的第二项的符号，如果是正号，则用公式 a2+2ab+b2=(a+b) 2；如果是负号，则用公式 a2－2ab+b2=(a－b) 2.3.在一个多项式中，两个平方项的符号必须相同，才有可能成为完全平方式.4.在对类似例1的多项式分解因式时，一般都是先把完全平方项的符号变为正的，也就是先把负号提到括号外面，然后再把括号内的多项式运用完全平方公式分解因式.5.当给出的多项式的结构比较复杂时，不能直接看出是否为完全平方式的形式，可以通过代换的方法或经过适当的变形(如添括号)，把原多项式化为完全平方式.6.把一个多项式分解因式，首先观察这个多项式的特点，选用适当的方法分解因式. 当所给的多项式的各项有公因式时，应先提公因式； 当一个多项式的两个平方项都含有负号时，先提出负号，使括号内的多项式的平方项变为正号； 当多项式可以看作是二次三项式时，通过变换，把这个多项式转化为完全平方式，再进行分解因式.结束寄语同学们：通过对因式分解的学习和认识，你能与同学们交流一下对“分解因式”学习过程的感受吗？祝同学们学习愉快！谢谢同学们，再见！