函数及其表示——初升高数学人教A版（2019）教材衔接（含解析）

（1）函数及其表示——初升高数学人教A版（2019）教材衔接
知识衔接
回顾初中
一般来说，在某个变化过程中有两个变量和，如果对于在某一个范围内的每一个确定的值，都要唯一确定的值与它对应，那么就称是的函数，其中叫做自变量，叫做因变量.
衔接高中
一、集合
1.集合的定义
一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）.集合通常用大写的拉丁字母表示，集合中的元素用小写的拉丁字母表示.如果是集合中的元素，就说属于集合，记作；如果不是集合中的元素，就说不属于集合，记作.
2.常用数集
全体自然数（包括0）的集合简称自然数集，记作；
全体整数的集合简称整数集，记作；
全体正整数的集合简称正整数集，记作或；
全体有理数的集合简称有理数集，记作；
全体实数的集合简称实数集，记作
3.集合的表示
（一）列举法
把集合中的元素一一列举出来并用大括号“{}”括起来.如方程的根组成的集合用表示.
（二）描述法
用集合元素的共同特征表示集合的方法称为描述法，具体表示为{元素代表|共同特征}，如表示方程的解集.
二、函数
设是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称：是从集合到集合的一个函数，记作，.其中，叫作自变量，的取值范围叫作函数的定义域；与值相对应的值叫作函数值，函数值的集合叫作函数的值域.
函数的三要素为定义域、对应关系和值域.由于值域是定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，那我们就称这两个函数相等.
函数的三种表示方法：解析法、列表法、图象法
三、区间
设是两个实数，而且.我们规定：
（1）满足不等式的实数的集合叫作闭区间，表示为；
（2）满足不等式的实数的集合叫作开区间，表示为；
（3）满足不等式或的实数的集合叫作半开半闭区间，分别表示为，.
四、增函数、减函数和单调函数的定义
（1）①增函数：设函数的定义域为，如果对于定义域内的某个区间上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是增函数，区间称为的单调递增区间.
②减函数：如果对于定义域内的某个区间上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是减函数，区间称为的单调递减区间.
（2）如果函数在某个区间是增函数或减函数，那么我们说函数在这一区间上具有（严格的）单调性，称函数为单调函数.
习题衔接
1.下列关系中，正确的有( )
①；②；③；④；⑤.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.下列曲线中不能表示 y是 x的函数的是( )
A. B.
C. D.
3.已知函数在R上单调递减，则实数a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
4.已知集合，，则B中所含元素的个数为( )
A.3 B.6 C.8 D.10
5.下列叙述正确的是( )
A.用区间可表示为 B.用区间可表示为
C.用集合可表示为 D.用集合可表示为
6.已知函数是R上的减函数，则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.下列说法正确的是( )
A.高一（1）班视力比较好的同学可以构成集合
B.方程的解构成的集合与相等
C.
D.方程的实数解构成的集合为
8.若函数则函数的单调递减区间为( )
A. B. C.和 D.
9.（多选）集合用描述法可表示为( )
A.是不大于9的非负奇数} B.，且
C. D.
10.（多选）集合用描述法可表示为( )
A.是不大于9的非负奇数} B.且
C. D.
11.下列各式：①；②；③；④,其中y是x的函数的有______.
12.定义集合运算：，已知集合，，则_________.
13.用区间表示下列集合：
（1）__________；
（2）__________；
（3）__________；
（4）或__________；
（5）且__________.
14.已知是R上的增函数,则a的取值范围是_______________.
15.已知函数.
(1)判断函数在上的单调性,并用定义法证明你的结论;
(2)若,求函数的最大值和最小值.
答案以及解析
1.答案：C
解析：为实数，故①正确；是无理数，故②正确；由于是无理数，故③不正确；，故④不正确；，故⑤正确.综上所述，①②⑤正确.故选C.
2.答案：B
解析：选项ACD中，对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以y是x的函数，故A、C、D均不符合题意；
B、对于自变量x的值，因变量y不是唯一的值与它对应，所以y是x的函数，故B不符合题意；
故选：B.
3.答案：B
解析：由题意得解得.故选B.
4.答案：D
解析：当时，不存在符合条件的y；当时，符合；当时，符合；当时，符合；当时，符合.综上所述，B中所含元素的个数为10.故选D.
5.答案：D
解析：对于A，用区间可表示，错误；
对于B，用区间可表示为，错误；
对于C，用集合可表示为，错误；
对于D，用集合可表示为，正确；
故选：D
6.答案：B
解析：由于函数是定义在R上的减函数，
所以，函数在区间上为减函数，
函数在区间上为减函数，且有，
即，解得.
因此，实数a的取值范围是.
故选：B.
7.答案：B
解析：A:视力比较好的标准不明确,不能构成集合,错;
B:由,可得解为或,对应集合为,对;
C:显然表示不同的点,故集合不相等,错;
D:若时,集合为,不能写成,错.
故选:B
8.答案：C
解析：函数的大致图象如图所示，
一元二次函数图象的对称轴为直线，所以函数的单调递减区间为和.故选C.
9.答案：AB
解析：对于A，是不大于9的非负奇数，故A正确；
对于B，，且，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D错误.
10.答案：AB
解析：对于A，是不大于9的非负奇数}表示的集合是，故A正确；对于B，，且表示的集合是，故B正确；
对于C，表示的集合是，故C错误；
对于D，表示的集合是，故D错误.故选AB.
11.答案：①③④
解析：由题意,y是x的函数的有,,共3个,,对于每一个确定的的值并不是都有唯一确定的y值与之对应,故y不是x的函数；
故答案为：①③④.
12.答案：
解析：由题意知，集合，，
因为，
所以.
13.答案：（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
解析：
14.答案：
解析：根据题意,可得,解得.
所以a的取值范围是.
故答案为：.
15.答案：(1)减函数,证明见解析
(2),
解析：(1)函数在上是减函数,证明如下：
任取,,且,
则,
因为,所以,,
所以,即,
所以在区间上是减函数.
(2)因为函数在区间上是减函数,
所以,.