一元二次不等式（含解析）——初升高数学人教A版（2019）教材衔接

（5）一元二次不等式——初升高数学人教A版（2019）教材衔接
知识衔接
回顾初中
初中阶段已经学过因式分解，一元一次不等式（组）和简单的一元二次方程及函数，掌握因式分解的基本技巧，熟练一元一次不等式（组）的解法，会求解一元二次方程的根，并熟悉一元二次函数的简略图象.
衔接高中
一元二次不等式的定义：只含有一个未知数且未知数的最高次数是2的不等式叫做一元二次不等式.形如（或，或，或），其中
一元二次不等式的解法步骤
一元二次不等式或的解法：
设相应的一元二次方程的两个根分别为，且，，则不等式的解的各种情况如下表：
二次函数 的图象
一元二次方程 的根 有两个相异的实根 有两个相等实根 无实根
一元二次不等式 的解 或 全体实数
一元二次不等式 的解 无解 无解
今后，我们在解一元二次不等式时，如果二次项系数大于零，那么可以利用上面的结论直接求解；如果二次项系数小于零，那么可以先在不等式两边同时乘以，将不等式变成二次项系数大于零的形式，再利用上面的结论去解不等式.
习题衔接
1.若关于x的不等式有解,则实数m的取值范围是( )
A.或 B.
C.或 D.
2.定义行列式,若行列式,则实数a的取值范围为( )
A. B.
C. D.
3.已知关于x的不等式的解集为，则不等式的解集是（ ）
A. B.
C. D.
4.若不等式对任意实数x均成立,则实数m的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.不等式的解集为，则函数的图象大致为( )
A. B. C. D.
6.已知不等式的解集为或,则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.的解集为
7.若不等式的解集为,则不等式的解集为( )
A.或 B.
C. D.或
8.若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
9.（多选）关于x的不等式，下列说法正确的是( )
A.当时，不等式的解集为
B.当时，不等式的解集为或
C.当时，不等式的解集为
D.当时，不等式的解集为
10.（多选）已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是( )
A.
B.
C.的解集为
D.的解集为或
11.已知关于x的不等式的解集为R，则实数a的取值范围是______.
12.已知关于x的不等式的解集为或,则不等式的解集为______________.
13.当关于x的不等式对一切实数x都成立时，k的取值范围是_________.
14.一元二次不等式的解集是，则不等式的解集为___________.
15.已知,不等式的解集是.
（1）求的解析式;
（2）不等式组的正整数解仅有2个,求实数k取值范围;
（3）若对于任意,不等式恒成立,求t的取值范围.
答案以及解析
1.答案：A
解析：因为关于的不等式有解,所以,解得或.
故选A.
2.答案：D
解析：因为,由,得到,
整理得到,解得或,
故选：D.
3.答案：D
解析:由题可知的根为1和2，代入方程可得，，
不等式等价于，则解集为，
故选：D.
4.答案：D
解析：,
因为不等式对于任意x均成立,
所以当时,,符合题意;
当时,则,解得,
综上所述,,
故选:D.
5.答案：A
解析：因为不等式的解集为，所以，方程的两根分别为，，由根与系数的关系得解得所以函数的图象开口向下，且与x轴的交点坐标为和，结合选项知A符合，故选A.
6.答案：D
解析：对于A,由已知可得开口向下,即,故A错误;
对于BCD,,是方程的两个根,
所以,
所以,,
,故BC错误,D正确;
故选:D.
7.答案：D
解析：因为不等式的解集为,
所以,,是方程且,
所以,,即,,
所以等价于,
由于,
所以等价于,解得或.
所以的解集为或.
故选：D.
8.答案：C
解析：因为不等式的解集为，所以，且和3是方程的两个实根，所以，所以，，故，解得或，所以关于x的不等式的解集为.故选C.
9.答案：AD
解析：对于A，当时，不等式为，解得，所以不等式的解集为，故A正确；
对于B，C，D，由可得，对应方程的两个实根分别为，，
当即时，原不等式的解集为，当即时，原不等式的解集为，当，即时，的解集为，故B，C不正确，D正确，故选AD.
10.答案：ABC
解析：因为不等式的解集为或，所以方程的两个根为1和3，且，由根与系数的关系得，，解得，，A正确；
，B正确；
不等式可化为，因为，所以，解得，所以不等式的解集为，C正确；
不等式可化为，因为，所以，即，解得，所以不等式的解集为，D错误.故选ABC.
11.答案：
解析：因为关于x的不等式的解集为R，
所以，解得，
即实数a的取值范围是.
故答案为：
12.答案：
解析：由题意得的两个根为,,
,则,
则,即,
即,解得,
则不等式的解集为.
故答案为：.
13.答案：
解析：当时，不等式可化为，显然恒成立，
当时，若不等式对一切实数x都成立，
需满足，且，即；
综上可得，,
即k的取值范围是.
故答案为：
14.答案：或
解析：由一元二次不等式的解集是，可得，且一元二次方程的两个根为和，所以解得所以不等式即为，即，解得或，所以不等式的解集为或.
15.答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）因为,不等式的解集是,
所以2、4是一元二次方程的两个实数根,
由韦达定理可得,解得,所以.
（2）不等式组,即,
解得,
因为原不等式组的正整数解仅有2个,可得该正整数解为7、8,
可得到,解得,则实数取值范围是.
（3）因为对任意,不等式恒成立,所以,
当时,恒成立;
当时,二次函数的对称轴方程为,
当时,函数在上单调递减,
所以只需满足,解得;
当时,函数在上单调递增,
所以只需满足,解得.
综上,t的取值范围是.