襄阳市 2025 年 7 月高二期末统一调研测试
数 学
本试卷满分 150 分,考试用时 120 分钟.
★祝考试顺利★
注意事项:
1. 答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上,并将准考证号条形码
粘贴在答题卡上的指定位置.
2. 选择题的作答:每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑. 写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3. 非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内. 写在试卷、
草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4. 考试结束后,请将答题卡上交.
一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项
是符合题目要求的.
1. ︿ ︿ ︿根据下表所示的样本数据,用最小二乘法求得线性回归方程为 y= 0. 3x+a,则 a 的值为
x 1 2 3 4 5
y 2 2 2 3 3
A. -1. 5 B. -1 C. 1 D. 1. 5
2. 某物体的位移 s 与时间 t 的函数为 s= 3t2 +2t( t>0),其中 s 的单位是米,t 的单位是秒,那
么物体在 1 秒末的瞬时速度是
A. 5 米 /秒 B. 6 米 /秒 C. 8 米 /秒 D. 110 米 /秒
3. 已知随机变量 X~N(100,σ2),P(X≥90)= 0. 65,则 P(90≤X≤110)=
A. 0. 15 B. 0. 2 C. 0. 3 D. 0. 35
4. 集合M={-3,-2,-1,0,1,2,3,4},N={-4,-3,-2,-1,1,2,3},从集合M中取一个元素作为点
的横坐标,从集合 N 中取一个元素作为点的纵坐标,则该点在第二象限内有( )种情况
A. 9 B. 12 C. 15 D. 16
5. 连续掷一颗质地均匀的骰子两次,在两次骰子点数之积为偶数的条件下,两次骰子点数
均为偶数的概率为
A. 1 B. 1 C. 1 D. 1
6 4 3 2
高二数学试卷 第 1 页(共 4 页)
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6. 已知(a+b) n 的展开式中第 4 项和第 6 项的二项式系数相等,则 Cn-1 +Cn n+1 n+210 10 +C11 +C12 =
A. 12 B. 78 C. 220 D. 286
7. 某学校有 A,B 两家餐厅,某同学连续三天午餐均在学校用餐. 如果某天去 A 餐厅,那么
第 2 2天还去 A 餐厅的概率为 ;如果某天去 B 餐厅,那么第 2 天还去 B 餐厅的概率为
3
3 . 若该同学第 1 天午餐时随机选择一家餐厅用餐,则该同学第 3 天去 A 餐厅用餐的概
4
率为
A. 11 B. 127 C. 13 D. 205
24 288 24 288
8. 函数 f(x)= sin3x+6sinx,x∈[0,π ]的最大值为
2
A. 4 B. 3 3 C. 7 2 D. 5
2
二、多选题:本题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分. 在每小题给出的选项中,有多项符合题
目要求.全部选对的得 6 分,部分选对的得部分分,有选错的得 0 分.
9. 下列说法错误的是
A. 两个随机变量的线性相关程度越强,则样本相关系数 r 越接近于 1
B. 甲、乙两个模型的决定系数 R2 分别为 0. 98 和 0. 82,则模型甲的拟合效果更好
C. ︿对于经验回归方程 y= 2-3x, ︿当解释变量 x 每增加一个单位时,预报变量 y 平均增加
2 个单位
D. 在回归分析模型中,若残差平方和越大,则模型的拟合效果越好
10. 下列函数的图像与 x 轴相切于点(0,0)的是
A. y= x3 +3x2 B. y= ex-1 C. y= cosx-1 D. y= sinx
11. 已知函数 f(x)= x3 -3x2 +(2-a)x+b,则下列结论正确的是
A. 当 a>-1 时,f(x)有两个极值点
B. 当 a= 2 时,f(x)在 x= 2 处取得极大值
C. 若 f(x)满足 f(2-x) +f(x)= 2,则 a2 +b2 1的最小值为
2
D. 若 f(x)存在极大值点 x0,且 f(x0)= f(x1),其中 x0≠x1,则 2x0 +x1 = 3
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分.
12. 设随机变量 X 的分布列为
X 1 2 3 4
P k 2k 3k 4k
则 P(X≥3)= .
13. 某班级有 4 名男生和 2 名女生参加一场座谈会,座位安排在一排的 6 个座位上,要求女生不
能坐在最左端和最右端,且任意女生不能相邻,则满足条件的座位安排共有 种.
14. 已知函数 f(x)= xlnx-
-
2x, m>0,n>0 m≠n, f(m) f(n)若对于任意的 且 恒有 m2 -n2
数 k 的取值范围为 .
高二数学试卷 第 2 页(共 4 页)
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四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
15. (本小题 13 分)
某大型学校有初中学生 2400 人,高中学生 1600 人. 学校为了解学生的体育锻炼习
惯,采用按比例分配的分层抽样方式从中抽取 100 人进行问卷调查.
将每天体育锻炼时长 2 小时视为锻炼达标,整理出如下列联表:
学段
是否达标 合计
初中 高中
达标 28
不达标 24
合计 60 40 100
(1)请完成上面列联表,并依据小概率值 α = 0. 05 的独立性检验,分析学生体育锻炼
达标情况是否与学段(初中、高中)有关联. (结果保留小数点后三位)
(2)如果将上面列联表中的所有数据都扩大为原来的 10 倍,依据小概率值 α = 0. 05
的独立性检验,分析学生体育锻炼达标情况是否与学段(初中、高中)有关联. (结果保留
小数点后三位)
:χ2 = n(ad
-bc) 2
附 , α 0. 1 0. 05 0. 01 0. 005 0. 001
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
x
= + + + α 2. 706 3. 841 6. 635 7. 879 10. 828其中:n a b c d.
16. (本小题 15 分)
设(x-2) 2025 =a +a x+a x20 1 2 +……a 20252025x ,求下面各式的值.
(1)求 a2024;
(2)求 a1 +a3 +a5 +……+a2025;
(3)求 a1 +2a2 +3a3 +……+2025a2025 .
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17. (本小题 15 分)
新能源汽车发展非常迅速,某地区 2017 年至 2024 年(年份代码分别记为:1,2,3,4,
5,6,7,8)某品牌新能源汽车的科研经费投入和销售量统计如下:
年份代码 i 1 2 3 4 5 6 7 8
科研经费 xi(单位:百亿元) 2 3 6 10 13 15 18 21
销售量 yi(单位:百万辆) 1 1 2 2. 5 3. 5 3. 5 4. 5 6
8 8 8
参考数据:∑xiyi = 347,∑x2i = 1308,∑y2 = 93, 1785 ≈42. 25.i= 1 i= 1 i= 1 i
n n
∑ (xi-x
- ) (y -y-i ) ∑xiyi-n
-xy-
i= 1 ︿ i= 1 ︿ - ︿ -
参考公式:相关系数 r= . b= ,a= y-bx
n n n 2 - 2
∑ (x - 2i-x ) ∑ (y
- 2 ∑x -nx
i= 1 i= 1 i
-y ) i= 1 i
(1)根据样本数据,计算科研经费 x 与销售量 y 之间的样本相关系数,并推断它们的
线性相关程度(结果精确到 0. 01);
(2)根据样本数据, ︿ ︿求销售量 y 关于科研经费 x 的线性回归方程(a,b 用分数表达) .
18. (本小题 17 分)
有一个摸奖游戏,在一个口袋中装有 6 个红球和 4 个黑球,这些球除颜色外完全相
同. 游戏规定:每位参与者进行 n(n∈N+ )次摸球,每次从袋中摸出一个球,有两种摸球方
式:一是(有放回摸球)每次摸球后将球均放回袋中,再进行下一次摸球,摸到红球的次数
记为 X;二是(不放回摸球)每次摸球后将球均不放回袋中,直接进行下一次摸球,摸到红
球的次数记为 Y.
(1)若 n= 4,
求随机变量 Y 的分布列和数学期望;
游戏规定摸到的红球数不少于摸到的黑球数则中奖,在这个规则下,设有放回摸球
中奖概率为 P 1,无放回摸球中奖概率为 P 2,求 P 1 和 P 2 并比较它们大小.
x
(2)若 n= 10,当 P (X = k)取得最大时的 k 值满足 f(x) = a k (a> 1,k∈N+ ),若函数
y= f(6x)与 y= x 有两个不同的公共点,求 a 的取值范围.
19. (本小题 17 分)
已知函数 f(x)= e2x-(4a+2)ex+4ax+3,g(x)= lnx
+1+b,
x
(1)讨论 f(x)的单调性;
(2)当 a= 0 时,若 f(x) +2ex g(x)恒成立,求 b 的取值范围.
高二数学试卷 第 4 页(共 4 页)
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{#{QQABaQCl5wgwkhRACY76BU0ICUsQkJCSLYoGBVAeuARqCAFABCA=}#}2025高二数学（下）参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 D C C A C D B B ACD AC ACD
二、填空题
12．0.7 13．144 14． ,+)
解答题
15．（1）依题意，列联表如下： .......................................................2分
是否达标 学段
初中 高中
达标 36 28 64
不达标 24 12 36
合计 60 40 100
零假设为：学生体育锻炼达标情况与学段（初中、高中）无关．
根据列联表，= ..............................................6分
所以根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即认为学生体育锻炼达标情况与学段（初中、高中）无关．......................................7分（2）将表格中的所有数据都扩大为原来的10倍，
则，= ...........................................12分
所以根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为学生体育锻炼达标情况与学段（初中、高中）有关联． ................ ......................................................13分
（1）=-4050 ............................................................................................3分
令f(x)=
则，
两式相减得，.......................................................9分
（3）因为，
两边分别求导，得2025，
令，得．............................................15分
17.（1）.........................................1分
. ...........................................2分
，将，，，代入可得：
.
，将，，代入可得： ...........................................................5分
，将，，代入可得：
. 最后计算相关系数：根据公式 .........................................7分
由于接近，所以两个变量线性相关且线性相关程度很强..........................8分
(2) = ............................................................................................11分
由，代入可得： .......................................................14分
所以关于的回归直线方程为...........................................................15分
（1）(ⅰ)对于不放回摸球，各次试验的结果不独立，Y可取0，1，2，3，4..........1分
Y服从超几何分布，Y的分布列为：
Y 0 1 2 3 4
P
,. 【备注：分布列可以写通项也可以列表格，表格中的数据不约分也正确】 .........................................5分
Y 0 1 2 3 4
P
; ..............................................................................................6分
(ⅱ)由题意得,.................................8分
.........................................10分
当n=10, 则XB（10，），若P（X=k）最大，则
，得又............13分
故,,由题得=x有两个不相等的正实根
两边取对数得，lna=有两个不相等的正实根 ,........................................................14分
构造函数g(x)=,求导得，,易知g(x)在（0，e)单调递增，在（e,+)单调递减，
且x由数形结合得，,
所以 ................................................................................................17分
（1）........................................................................1分
..........................................................................................2分
当时，，所以当时，单调递减，当时，单调递增；.............................................................................................4分
当时，由，得或，
当即时，在上单调递增，.............................................5分
当时，时，在上单调递减，
和时，在单调递增；
.........................................................6分
当时，时，在上单调递减，
和时，在上单调递增.
.........................................................7分
综上可得：①时，在单调递减，在上单调递增；
②时，在上单调递增；
③时，在上单调递减，在上单调递增；
④时，在上单调递减，在上单调递增.............8分
（2）当时,即恒成立，...................................................................9分
令，则，.........................................................................10分
令，则，
所以m(x)在上单调递增，又,
所以存在唯一的，使得，...................................12分
当时，，即，则在上单调递减，
当时，，即，则在上单调递增，
则.又因...............15分
设，则，易知在上单调递增，
所以l，得故=2
因此，故b的取值范围为 ................................................................17分
