《高考快车道》2026版高三一轮总复习数学(基础版)85　第八章　第4课时　直线与圆、圆与圆的位置关系 课件

(共99张PPT)
第八章　解析几何
第4课时　直线与圆、圆与圆的位置关系
[考试要求]　1．能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆、圆与圆的位置关系．
2．能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．
[考试要求]　1．能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆、圆与圆的位置关系．
2．能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．
考点一　直线与圆的位置关系的判定
设圆O的半径为r(r>0)，圆心到直线l的距离为d，则直线与圆的位置关系可用下表表示：
位置关系 相离 相切 相交
图形
量化 方程观点 Δ__0 Δ__0 Δ__0
几何观点 d__r d__r d__r
常见问题 最值问题 切线问题 弦长问题
＜
＝
＞
＞
＝
＜
[常用结论]
圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2．如图1．
(2)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线的方程为x0x＋y0y＝r2．如图2．
考向1　直线与圆位置关系的判断
[典例1]　(人教A版选择性必修第一册P91例1改编)直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是(　　)
A．相交 B．相切
C．相离 D．不确定
√
A　[法一(代数法)：由消去y，
整理得(1＋m2)x2－2m2x＋m2－5＝0，
因为Δ＝16m2＋20>0，所以直线l与圆相交．故选A．
法二(几何法)：由题意知，圆心(0，1)到直线l的距离为d＝<1<＝r，所以直线l与圆相交．故选A．
法三(定点法)：直线l：mx－y＋1－m＝0，整理得m(x－1)＋1－y＝0，恒过定点(1，1)，而1＋(1－1)2<5，即(1，1)在圆内，所以直线l与圆相交．故选A．]
链接·2025高考试题
(2025·全国一卷)已知圆x2＋(y＋2)2＝r2(r>0)上到直线y＝x＋2的距离为1的点有且仅有两个，则r的取值范围是(　　)
A．(0，1) B．(1，3)
C．(3，＋∞) D．(0，＋∞)
√
B　[由题意得圆心(0，－2)到直线y＝x＋2的距离d＝2.当r＝d－1＝1时，圆x2＋(y＋2)2＝r2(r>0)上到直线y＝x＋2的距离为1的点有且仅有一个，当r＝d＋1＝3时，圆x2＋(y＋2)2＝r2(r>0)上到直线y＝x＋2的距离为1的点有且仅有三个，故当10)上到直线y＝x＋2的距离为1的点有且仅有两个．故选B.]
反思领悟　判断直线与圆的位置关系的常见方法
(1)代数法：联立方程之后利用Δ判断．
(2)几何法：利用圆心到直线的距离与半径的关系．
(3)点与圆的位置关系法(定点法)：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．
巩固迁移1　已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是(　　)
A．相切 B．相交
C．相离 D．不确定
√
B　[因为M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，
所以a2＋b2>1，
而圆心O到直线ax＋by＝1的距离d＝＝<1，
所以直线与圆相交．故选B．]
【教用·备选题】
(多选)(经典题)已知直线l：ax＋by－r2＝0(r>0)与圆C：x2＋y2＝r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是(　　)
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切
B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离
D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
√
√
√
ABD　[对于A，∵点A在圆C上，∴a2＋b2＝r2，圆心C(0，0)到直线l的距离d＝＝r，∴直线l与圆C相切，A正确．
对于B，∵点A在圆C内，∴a2＋b2＜r2，圆心C(0，0)到直线l的距离d＝＞r，∴直线l与圆C相离，B正确．
对于C，∵点A在圆C外，∴a2＋b2＞r2，圆心C(0，0)到直线l的距离d＝＜r，∴直线l与圆C相交，C错误．
对于D，∵点A在直线l上，∴a2＋b2＝r2，圆心C(0，0)到直线l的距离d＝＝r，∴直线l与圆C相切，D正确．
故选ABD．]
考向2　切线问题
[典例2]　已知点P(＋1，2－)，点M(3，1)，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4．
(1)求过点P的圆C的切线方程；
(2)求过点M的圆C的切线方程，并求出切线长．
[解]　由题意得圆心C(1，2)，半径r＝2．
(1)因为(＋1－1)2＋(2－－2)2＝4，所以点P在圆C上．
又kPC＝＝－1，所以所求切线的斜率k＝－＝1．
所以过点P的圆C的切线方程是y－(2－)＝x－(＋1)，即x－y＋1－2＝0．
(2)因为(3－1)2＋(1－2)2＝5>4，
所以点M在圆C外部．
当过点M的直线斜率不存在时，
直线方程为x＝3，即x－3＝0．
又点C(1，2)到直线x－3＝0的距离d＝3－1＝2＝r，
即此时满足题意，所以直线x＝3是圆C的切线．
当切线的斜率存在时，
设切线方程为y－1＝k(x－3)，
即kx－y＋1－3k＝0，
则圆心C到切线的距离d＝＝r＝2，解得k＝．
所以切线方程为y－1＝(x－3)，
即3x－4y－5＝0．
综上可得，过点M的圆C的切线方程为x－3＝0或3x－4y－5＝0．
因为|MC|＝＝，
所以过点M的圆C的切线长为＝＝1．
反思领悟　(1)本例(1)中，点P在圆上，求圆的切线方程的关键是利用点P与圆心C的连线与切线垂直求切线斜率．
(2)本例(2)中，点M在圆外，求圆的切线方程一般用几何法．当切线斜率存在时，设切线方程为y－1＝k(x－3)，利用点到直线的距离公式表示出圆心(1，2)到切线的距离d，然后令d＝r＝2，进而求出切线斜率k．要注意验证斜率不存在的情况．
(3)求切线长，常利用点M、圆心C、切点构成的直角三角形求解．
巩固迁移2　(2025·北京市东城区模拟)已知点M(1，)在圆C：x2＋y2＝m上，过M作圆C的切线l，则l的倾斜角为(　　)
A．30° B．60°
C．120° D．150°
√
D　[由题意得m＝1＋3＝4，
当l的斜率不存在时，此时过M的直线方程为x＝1，与圆C：x2＋y2＝4相交，不符合题意；
当l的斜率存在时，设切线l的方程为y－＝k(x－1)，
则＝2，解得k＝－，因为l的倾斜角的范围为0°≤θ<180°，
故l的倾斜角为150°．]
考向3　弦长问题
[典例3]　(2024·保定月考)已知直线l：(m－1)x＋2y＋3－m＝0与圆C：x2＋y2－6x＋6y＝0交于A，B两点，则线段AB的长度的取值范围是(　　)
A．[，3] B．[2，6]
C．[2，4] D．[，6]
√
B　[圆C：x2＋y2－6x＋6y＝0可得圆心C(3，－3)，半径r＝3，
因为直线l：(m－1)x＋2y＋3－m＝0，恒过直线x－1＝0和－x＋2y＋3＝0的交点，
即解得x＝1，y＝－1，
即直线l恒过定点P(1，－1)，
因为12＋(－1)2－6－6＜0，所以定点P在圆内，
设圆心C到直线l的距离为d，则弦长|AB|＝2，
当d＝0时，弦长最大，这时过P的弦长最长，为圆的直径2r＝6，
当d最大时，dmax＝|PC|＝＝2，
所以弦长的最小值为|AB|min＝2＝2＝2，
所以线段AB的长度的取值范围为[2，6]．故选B．]
反思领悟　求圆的弦长一般用几何法；若弦心距为d，圆的半径为r，则弦长|AB|＝2．由此可知，本例中，当d＝0，即直线过圆心时，|AB|最长；当PC⊥l时，d最大，|AB|最短．
巩固迁移3　(人教A版选择性必修第一册P98习题2.5T3改编)直线m：x＋y－1＝0被圆M：x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为(　　)
A．4 B．2
C． D．
√
B　[∵x2＋y2－2x－4y＝0，
∴(x－1)2＋(y－2)2＝5，
∴圆M的圆心坐标为(1，2)，半径为．
又点(1，2)到直线x＋y－1＝0的距离d＝＝，
∴直线m被圆M截得的弦长等于2＝2．]
考向4　直线与圆位置关系中的最值问题
[典例4]　(2024·曲靖市会泽县期末)过直线x－2y＋5＝0上一点P向圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝4作切线，切点为M，则|PM|的最小值为________．
4
4　[根据题意，圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝4，其圆心C的坐标为(1，
－2)，半径r＝2，
圆心C到直线x－2y＋5＝0的距离d＝
＝2>2，
所以直线与圆相离，
因为△PCM为直角三角形，且PM⊥CM，
所以|PM|＝＝4，
当且仅当PC与直线x－2y＋5＝0垂直时，等号成立，
所以|PM|的最小值为4．]
反思领悟　解答本题的关键是能够把所求线段长|PM|表示为圆心与直线上的点之间的距离的函数|PM|＝的形式，然后利用求函数值域的方法求得最小值．
巩固迁移4　过直线x－y－m＝0上一点P作圆M：(x－2)2＋(y－3)2＝1的两条切线，切点分别为A，B，若使得四边形PAMB的面积为的点P有两个，则实数m的取值范围为(　　)
A．(－5，3)
B．(－3，5)
C．(－∞，－5)∪(3，＋∞)
D．(－∞，－3)∪(5，＋∞)
√
A　[由圆M：(x－2)2＋(y－3)2＝1可知，圆心M(2，3)，半径为1，
所以|MA|＝|MB|＝1，
所以四边形PAMB的面积为S＝|PA||MA|＋|PB|·|MB|＝|PA|＝，
所以|PM|＝＝＝2，
要使四边形PAMB的面积为的点P有两个，
则<2，解得－5考点二　圆与圆的位置关系
若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：
外离 外切 相交 内切 内含
图形
量的关系 d＞______ d＝______ |r1－r2|＜d＜r1＋r2 d＝______ d＜______
r1＋r2
r1＋r2
|r1－r2|
|r1－r2|
[常用结论]
1．两圆相交时公共弦所在直线的方程
设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，①
圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，②
若两圆相交，则有一条公共弦，其公共弦所在直线方程由①－②所得，即(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0．
2．两个圆系方程
(1)过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)．
(2)过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(该圆系不含圆C2，解题时，注意检验圆C2是否满足题意，以防漏解)．
考向1　两圆位置关系的判断
[典例5]　(2024·泊头市月考)已知圆C1：x2＋(y－3)2＝4与圆C2：x2＋y2－6x＋2y＋1＝0，则圆C1与圆C2的位置关系为(　　)
A．相交 B．外切
C．外离 D．内含
√
B　[圆C1：x2＋(y－3)2＝4，圆心C1(0，3)，半径r1＝2，
圆C2：x2＋y2－6x＋2y＋1＝0可化为(x－3)2＋(y＋1)2＝9，圆心C2(3，－1)，半径r2＝3，
则|C1C2|＝＝5＝2＋3＝r1＋r2，
故圆C1与圆C2的位置关系为外切．故选B．]
反思领悟　判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．
巩固迁移5　(2025·北京市朝阳区模拟)已知圆E：(x－2)2＋(y－4)2＝25，圆F：(x－2)2＋(y－2)2＝1，则这两圆的位置关系为(　　)
A．内含 B．相切
C．相交 D．外离
√
A　[圆E：(x－2)2＋(y－4)2＝25的圆心为E(2，4)，半径r1＝5，
圆F：(x－2)2＋(y－2)2＝1的圆心为F (2，2)，半径r2＝1，
因为圆心距|EF|＝＝2，
且|EF|＜|r1－r2|＝4，所以两圆的位置关系为内含．
故选A．]
考向2　圆系方程
[典例6]　(2024·沈阳市皇姑区期末)圆心在直线x－y－4＝0上，且经过两圆x2＋y2＋6x－4＝0和x2＋y2＋6y－28＝0的交点的圆的方程为
(　　)
A．x2＋y2－x＋7y－32＝0
B．x2＋y2－x＋7y－16＝0
C．x2＋y2－4x＋4y＋9＝0
D．x2＋y2－4x＋4y－8＝0
√
A　[根据题意，要求圆经过两圆x2＋y2＋6x－4＝0和x2＋y2＋6y－28＝0的交点，
设其方程为(x2＋y2＋6x－4)＋λ(x2＋y2＋6y－28)＝0，
变形可得(1＋λ)x2＋(1＋λ)y2＋6x＋6λy－4－28λ＝0，
其圆心为，又由圆心在直线x－y－4＝0上，
则有－－4＝0，解得λ＝－7，
所以圆的方程为－6x2－6y2＋6x－42y＋192＝0，
即x2＋y2－x＋7y－32＝0，故选A．]
反思领悟　过两圆x2＋y2＋6x－4＝0和x2＋y2＋6y－28＝0交点的圆系方程为＋y2＋6y－28)＝0．当λ＝
－1时，这一方程为一次方程，两圆相交时，表示公共弦所在直线方程，两圆相切时，表示公切线所在直线方程．
巩固迁移6　(2025·太原市尖草坪区模拟)过点M(2，－1)，且经过圆x2＋y2－4x－4y＋4＝0与圆x2＋y2－4＝0的交点的圆的方程为(　　)
A．x2＋y2＋x＋y－6＝0
B．x2＋y2＋x－y－8＝0
C．x2＋y2－x＋y－2＝0
D．x2＋y2－x－y－4＝0
√
A　[设经过圆x2＋y2－4x－4y＋4＝0与圆x2＋y2－4＝0的交点的圆的方程为
(x2＋y2－4x－4y＋4)＋λ(x2＋y2－4)＝0，
由题意将M的坐标代入可得(4＋1－8＋4＋4)＋λ(4＋1－4)＝0，
解得λ＝－5，所以所求圆的方程为x2＋y2＋x＋y－6＝0，故选A．]
考向3　公切线、公共弦问题
[典例7]　已知两圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0和C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0．
(1)判断两圆公切线的条数；
(2)求公共弦所在的直线方程以及公共弦的长度．
[解]　(1)两圆的标准方程分别为
C1：(x－1)2＋(y＋5)2＝50，
C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝10，
则圆C1的圆心坐标为(1，－5)，半径r1＝5；
圆C2的圆心坐标为(－1，－1)，半径r2＝．
又|C1C2|＝2，r1＋r2＝5，r1－r2＝5，
所以r1－r2<|C1C2|所以两圆有两条公切线．
(2)将两圆方程相减，得公共弦所在直线方程为x－2y＋4＝0．
圆心C1到直线x－2y＋4＝0的距离d＝＝3，
设公共弦长为2l，由勾股定理得＝d2＋l2，
得50＝45＋l2，解得l＝，所以公共弦的长度为2l＝2．
反思领悟　本例(1)中两圆相交，有两条公切线；本例(2)，两圆方程作差消去x2，y2项得到x，y的二元一次方程即为公共弦所在直线方程；求公共弦长，常选其中一圆，由圆心到公共弦的距离d，半弦长l，半径r构成直角三角形，利用勾股定理求解．
巩固迁移7　(2025·金华市金东区模拟)圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2＋2x－2y＋1＝0的公共弦长为(　　)
A． B．
C． D．1
√
B　[两圆的圆心坐标分别为(0，0)，(－1，1)，半径均为1，故两圆的圆心距为，0<<2，故两圆相交，
∴圆x2＋y2＝1与圆x2＋y2＋2x－2y＋1＝0的公共弦所在直线的方程为
(x2＋y2＋2x－2y＋1)－(x2＋y2－1)＝2x－2y＋2＝0，即x－y＋1＝0，
∵圆C1：x2＋y2＝1的圆心C1(0，0)到公共弦x－y＋1＝0的距离为d＝
＝，圆C1的半径r＝1，∴公共弦长为2＝．
故选B．]
随堂练习
√
1．(人教A版选择性必修第一册P91例1改编)圆(x－1)2＋(y＋2)2＝6与直线2x＋y－5＝0的位置关系是(　　)
A．相切
B．相离
C．相交且直线过圆心
D．相交但直线不过圆心
D　[由题意知圆心(1，－2)到直线2x＋y－5＝0的距离d＝＝<，且2×1＋(－2)－5≠0，所以直线与圆相交但不过圆心．故选D．]
2．(2024·上海市长宁区期末)圆A：x2＋y2－8x＋6y＋16＝0与圆B：x2＋y2＝64的位置关系是(　　)
A．相交 B．内切
C．相离 D．外切
√
B　[把圆A：x2＋y2－8x＋6y＋16＝0化为标准方程得(x－4)2＋(y＋3)2＝9，
∴圆心A的坐标为(4，－3)，半径r＝3，
由圆B：x2＋y2＝64，得到圆心B的坐标为(0，0)，半径R＝8，
两圆心间的距离d＝|AB|＝5，
∵8－3＝5，即d＝R－r，∴两圆的位置关系是内切．故选B．]
3．(2025·哈尔滨市香坊区模拟)已知圆C1：x2＋y2＝4，圆C2：x2＋y2－4x－4y＋4＝0，两圆的公共弦所在直线的方程是(　　)
A．x＋y＋2＝0 B．x＋y－2＝0
C．x＋y＋1＝0 D．x＋y－1＝0
√
B　[由圆C1：x2＋y2＝4，圆C2：x2＋y2－4x－4y＋4＝0，
两式作差得4x＋4y－4＝4，即x＋y－2＝0，
所以两圆的公共弦所在直线的方程是x＋y－2＝0．故选B．]
4．(人教A版选择性必修第一册P92例2改编)圆x2＋y2－4x＝0在点P(1，)处的切线方程为_____________．
x－y＋2＝0　[圆的方程为(x－2)2＋y2＝4，圆心坐标为(2，0)，半径为2，点P在圆上，所以点P与圆心连线的斜率为－，所以过点P
的切线的斜率为，所以切线方程为y－＝(x－1)，即x－y＋
2＝0．]
x－y＋2＝0
链接·2025高考试题
(2025·天津卷) l1：x－y＋6＝0与x轴交于点A，与y轴交于点B，与圆(x＋1)2＋(y－3)2＝r2(r>0)交于C，D两点，|AB|＝3|CD|，则r＝________．
2
2　[对于直线l1：x－y＋6＝0，令x＝0，得y＝6，令y＝0，得x＝
－6，所以A(－6，0)，B(0，6)，所以|AB|＝6.因为|AB|＝3|CD|，所以|CD|＝2.圆(x＋1)2＋(y－3)2＝r2的圆心为(－1，3)，圆心到直线l1的距离d＝＝，所以r＝＝＝2.]
【教用·备选题】
1．(2024·重庆市渝中区期末)已知圆C1：(x－a)2＋(y－1)2＝1与圆C2：(x－1)2＋(y－3)2＝4有且仅有2条公切线，则实数a的取值范围是
(　　)
A．(1－，1＋) B．(1＋，1＋)
C．(－2，0) D．(1－，1＋)
√
A　[由圆C1：(x－a)2＋(y－1)2＝1与圆C2：(x－1)2＋(y－3)2＝4有且仅有2条公切线可知两圆的位置关系为相交，所以|r1－r2|＜|C1C2|＜r1
＋r2，即1<<3，
平方得1＜a2－2a＋5＜9，
解得1－故选A．]
2．(2024·濮阳市南乐县月考)已知直线l：y＝x＋a与圆x2＋y2＝2和圆(x－4)2＋y2＝m2(m＞0)都相切，则实数m的值为(　　)
A． B．2
C．3 D．或3
√
D　[因为直线l：y＝x＋a与圆x2＋y2＝2相切，
所以＝，解得a＝±2，
因为直线l：y＝x±2和圆(x－4)2＋y2＝m2(m＞0)相切，
所以＝m或＝m，
解得m＝3或m＝，
故实数m的值为3或．
故选D．]
3．(2025·宜宾模拟)已知点P是直线x＋y＋3＝0上一动点，过点P作圆C：(x＋1)2＋y2＝1的两条切线，切点为A，B，则弦AB长度的最小值为(　　)
A．1 B．
C．2 D．2
√
B　[易知当弦AB最小时，∠ACB最小，
则|PC|最小，
而|PC|的最小值为圆心C到直线x＋y＋3＝0的距离，
即＝，此时cos ∠ACP＝＝，
则sin ∠ACP＝＝＝|AB|，
解得|AB|＝．故选B．]
4．(2024·绵阳市开学考试)已知A(0，－2)，B(2，0)，点P为圆C：x2＋y2－2x－8y＋13＝0上任意一点，则△PAB面积的最大值为(　　)
A．5 B．5－2
C． D．5＋2
√
D　[圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心C(1，4)，半径r＝2，
直线AB的方程为y＝x－2，
于是点C到直线AB：x－y－2＝0的距离
d＝＝，而点P在圆C上，
因此点P到直线AB距离的最大值为＋2，
又|AB|＝＝2，所以△PAB面积的最大值为S＝×2＝5＋2．故选D．]
5．(2024·郴州期末)若直线l：kx－y＋2－2k＝0与曲线C：y＝有两个不同的交点，则实数k的取值范围是________．
　
　[由题意可得直线l：kx－y＋2－2k＝0即y＝k(x－2)＋2，
所以直线l恒过定点A(2，2)，
曲线C：y＝为以(0，0)为圆心，
2为半径的上半圆(包含x轴部分)，
它们的图象如图所示．
当直线l过点(－2，0)时，它们有两个交点，此时k＝＝，
当直线l与上半部分圆相切时，有一个交点，此时k＝0，
由图象可知，若直线l与曲线C有两个不同的交点，则0即实数k的取值范围是．]
课后习题(五十三)　直线与圆、圆与圆的位置关系
1．(人教A版选择性必修第一册P92例2改编)由直线x－y＋4＝0上一点P向圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1引切线，则切线长的最小值为(　　)
A． B．3
C．2 D．2－1
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
A　[圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的圆心C(1，1)，半径为1，由直线x－y＋4＝0上一点P向圆(x－1)2＋(y－1)2＝1引切线，设切点为M，连接PC，MC(图略)，则|PM|＝＝，要使切线长最小，则|PC|最小，而|PC|的最小值等于圆心C到直线x－y＋4＝0的距离，故|PC|min＝＝2，
故切线长的最小值为＝．故选A．]
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
2．(人教B版选择性必修第一册P120探索与研究改编)圆x2－4x＋y2＝0与圆x2＋y2＋4x＋3＝0的公切线共有(　　)
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
D　[由x2－4x＋y2＝0，得(x－2)2＋y2＝22，则圆心坐标为(2，0)，半径为2；由x2＋y2＋4x＋3＝0，得(x＋2)2＋y2＝12，则圆心坐标为
(－2，0)，半径为1．
故两圆的圆心距为4，半径之和为3，
因为4>3，所以两圆的位置关系是外离，故两圆的公切线共有4条．
故选D．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
3．(多选)(人教A版选择性必修第一册P98练习T2改编)已知圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2＋2x－8y＝0的交点为A，B，则下列结论正确的是(　　)
A．直线AB的方程为x－2y＝0
B．|AB|＝
C．线段AB的垂直平分线方程为2x＋y－2＝0
D．若点P为圆O1上的一个动点，则点P到直线AB的距离的最大值为＋1
√
√
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
ACD　[根据题意，由x2＋y2－2x＝0，得(x－1)2＋y2＝1，则圆心O1(1，0)，半径r＝1，由x2＋y2＋2x－8y＝0，得(x＋1)2＋(y－4)2＝17，则圆心O2(－1，4)，半径R＝．
对于A，联立得x－2y＝0，
即直线AB的方程为x－2y＝0，A正确；对于B，圆心O1到直线AB的
距离d＝＝，则|AB|＝2×＝，B错误；
对于C，线段AB的垂直平分线即直线O1O2，由O1(1，0)，O2(－1，4)，易得直线O1O2的方程为2x＋y－2＝0，C正确；对于D，由圆心
O1到直线AB的距离d＝，知点P到直线AB的距离的最大值为＋
1，D正确．故选ACD．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
4．(人教A版选择性必修第一册P92例2改编)过点A(3，5)作圆O：x2＋y2－2x－4y＋1＝0的切线，则切线的方程为_____________________
____．
5x－12y＋45＝0或x－3
＝0
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
5x－12y＋45＝0或x－3＝0　[圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0化为标准方程得(x－1)2＋(y－2)2＝4，则圆心O(1，2)，半径为2，
因为|OA|＝＝>2，所以点A(3，5)在圆外．显然，当切线斜率不存在时，直线与圆相切，即切线方程为x－3＝0；当切线斜率存在时，设所求切线方程为y－5＝k(x－3)，即kx－y＋5－3k＝0．又圆心为(1，2)，半径r＝2，而圆心到切线的距离d＝＝2，即|3－2k|＝2，解得k＝，此时直线方程为5x－12y＋45＝0．
故所求切线方程为5x－12y＋45＝0或x－3＝0．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
5．(2025·唐山模拟)已知直线l：x－y＋2＝0，圆C：x2＋y2＝r2(r>0)，若圆C上恰有三个点到直线l的距离等于，则r＝(　　)
A．2 B．4
C．2 D．8
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
C　[圆心C(0，0)，则点C到直线l的距离d＝＝，又因为圆C上恰有三个点到直线l的距离为，所以圆心到直线l的距离d＝，
即r＝2d＝2．故选C．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
6．(2024·重庆市沙坪坝区期末)过点P(－1，1)的直线l与圆C：x2＋y2＋4x－2＝0交于A，B两点，则|AB|的最小值为(　　)
A．2 B．
C．4 D．2
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
C　[圆C的标准方程为(x＋2)2＋y2＝6，圆心C(－2，0)，半径r＝，
因为(－1＋2)2＋12＜6，所以点P(－1，1)在圆C内，
设圆心C到直线l的距离为d，则|AB|＝2，
当d＝|CP|，即CP⊥l时，|AB|取得最小值，
因为|CP|＝＝，
所以|AB|的最小值为2＝4．故选C．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
7．(多选)(2025·菏泽市牡丹区模拟)已知直线l：x＋my－m＋2＝0，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝5，则下列说法正确的是(　　)
A．直线l恒过定点(－2，1)
B．直线l与圆C相交
C．当直线l平分圆C时，m＝－3
D．当点C到直线l的距离最大时，m＝
√
√
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
ACD　[对于A，l：x＋my－m＋2＝0，即x＋2＋m(y－1)＝0，
令y－1＝0，有y＝1，x＝－2，所以直线l恒过定点P(－2，1)，故A正确；
对于B，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝5的圆心C(1，2)，半径r＝，
点C(1，2)到直线l：x＋my－m＋2＝0的距离为d＝，
从而d2－r2＝－5＝＝，
取m＝2，则此时有d＝r，即圆C与直线l相切，故B错误；
对于C，当直线l平分圆C时，点C(1，2)在直线l：x＋my－m＋2＝0上，
即1＋2m－m＋2＝0成立，解得m＝－3，故C正确；
对于D，点C到直线l的距离满足d≤|PC|，当且仅当PC⊥l时，等号成立，
而PC的斜率为k＝＝，
所以当等号成立时有·＝－1，解得m＝，故D正确．
故选ACD．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
8．(多选)(2024·连云港期末)已知圆C：x2＋y2－4y＋2＝0，则下列说法正确的有(　　)
A．圆C关于直线x－y＝0对称的圆的方程为(x－2)2＋y2＝2
B．直线x－y＋1＝0被圆C截得的弦长为
C．若圆C上有四个点到直线x－y＋m＝0的距离等于，则m的取值范围
是(1，3)
D．若点P(x，y)是圆C上的动点，则x2＋y2的取值范围是[2－，2＋]
√
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
AC　[A项，圆C：x2＋y2－4y＋2＝0，即为x2＋(y－2)2＝2，圆心为(0，2)，半径为，
因为(0，2)关于直线x－y＝0对称的坐标为(2，0)，则圆C关于直线x－y＝0的对称圆的方程为(x－2)2＋y2＝2，故A正确；
B项，圆心C(0，2)到直线x－y＋1＝0的距离为，
则所求弦长为2＝，故B错误；
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
C项，由题意有圆心C到直线x－y＋m＝0的距离小于r－，
即<＝，
∴|m－2|＜1，∴1＜m＜3，
则m的取值范围是(1，3)，故C正确；
D项，根据圆的标准方程，可设x＝cos α，y＝sin α＋2，
x2＋y2＝2sin2α＋2sin2α＋4＋4sinα＝6＋4sin α，
则x2＋y2的取值范围是[6－4，6＋4]，故D错误．
故选AC．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
9．(2024·淮北一模)已知圆O：x2＋y2＝9与圆C：x2＋y2－4x－6y＋9＝0交于A，B两点，则直线AB的方程为_____________；△ABC的面积为________．
2x＋3y－9＝0
　
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
2x＋3y－9＝0　　[两圆的方程相减得4x＋6y＝18，化简得2x＋3y
－9＝0，故直线AB的方程为2x＋3y－9＝0．圆C：x2＋y2－4x－6y＋9＝0变形得到(x－2)2＋(y－3)2＝4，圆心C(2，3)，半径为2，
故圆心C(2，3)到直线AB的距离为d＝＝，
则|AB|＝2×＝，
故△ABC的面积为|AB|·d＝＝．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
10．(2024·南京市雨花台区三模)已知圆O：x2＋y2＝2，过点M(1，3)的直线l交圆O于A，B两点，且|AB|＝2，则直线l的方程为___________________．
x＝1或4x－3y＋5＝0　[当直线l的斜率不存在时，l的方程为x＝1，
由可得或
所以|1－(－1)|＝2＝|AB|，符合题意；
x＝1或4x－3y＋5＝0
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
当直线l的斜率存在时，设l的方程为y－3＝k(x－1)，
因为|AB|＝2，所以圆心(0，0)到直线l的距离d＝，
由＋d2＝2，得k＝，所以直线l的方程为y－3＝(x－1)，
则直线l的方程为x＝1或4x－3y＋5＝0．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
11．(2024·江门市新会区月考)已知圆C的方程为x2＋y2－2x－4y＋2m＝0．
(1)求实数m的取值范围；
(2)若直线x－2y－1＝0与圆C相切，求实数m的值；
(3)若圆C与圆O：x2＋y2＝1相切，求实数m的值．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
[解]　(1)x2＋y2－2x－4y＋2m＝0，
可化为(x－1)2＋(y－2)2＝5－2m，
所以5－2m>0 m<，故m的取值范围为．
(2)由(1)知，圆心C(1，2)，半径r＝，
因为圆(x－1)2＋(y－2)2＝5－2m和直线x－2y－1＝0相切，
所以＝，解得m＝．
(3)因为圆O：x2＋y2＝1与圆C相切，
所以|OC|＝1＋＝或|OC|＝|－1|＝，
解得m＝<或m＝－<，
故实数m的值是或－．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
12．(2024·吉林期末)已知动点P与两个定点A(1，0)，B(4，0)的距离的比是2．
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)直线l过点(2，1)，且被曲线C截得的弦长为2，求直线l的方程．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
[解]　(1)设点P(x，y)，
∵动点P与两个定点A(1，0)，B(4，0)的距离的比是2，
∴＝2，即|PA|＝2|PB|，
则＝2，化简得x2＋y2－10x＋21＝0，
所以动点P的轨迹C的方程为(x－5)2＋y2＝4．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
(2)由(1)可知点P的轨迹C是以(5，0)为圆心，2为半径的圆，
∵直线l被曲线C截得的弦长为2，
∴圆心(5，0)到直线l的距离d＝＝1．
①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝2，此时圆心到直线l的距离是3，不符合题意；
②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－1＝k(x－2)，即kx－y－2k＋1＝0，
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
所以圆心(5，0)到直线l的距离d＝＝1，
化简得9k2＋6k＋1＝k2＋1，解得k＝0或k＝－，
此时直线l的方程为y＝1或3x＋4y－10＝0．
综上，直线l的方程是y＝1或3x＋4y－10＝0．
谢 谢 ！