《高考快车道》2026版高三一轮总复习数学(基础版)96　第八章　规范答题五　解析几何 课件

(共15张PPT)
第八章　解析几何
规范答题五　解析几何
[典例]　(15分)(2024·天津卷)已知椭圆＝1(a>b>0)，椭圆的离心率e＝，左顶点为A，下顶点为B，O为坐标原点，C是线段OB的中点，其中S△ABC＝．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的动直线与椭圆有两个交点P，Q，在y轴上是否存
在点T使得·≤0？若存在，求出点T纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由．
明条件，顺思路
①由e＝及a2＝b2＋c2可得a与c，b与c的关系：a＝2c，b＝c．
②由点A，B，C的位置即可写出其坐标．
③利用面积公式及S△ABC＝建立方程求c，进而求出a，b，写出椭圆的标准方程．
明条件，顺思路
④由题意，需先设出点P，Q，T的坐标及过点的动直线方程．

⑤直线与椭圆相交，需联立方程，进而由根与系数的关系得出x1＋x2，x1x2及y1y2，y1＋y2．
明条件，顺思路
⑥由P，Q，T三点坐标表示出的坐标．
⑦由条件·≤0，应用数量积公式运算，将根与系数的关系式代入．
⑧由·≤0即可转化为关于k的二次不等式恒成立问题．
⑨结合斜率存在、不存在两种情况给出结论．
规范答，抢得分
[解]　(1)因为e＝＝，
所以a＝2c，
又a2＝b2＋c2，所以b＝＝c．………………………(1分)
由题知A(－a，0)，B(0，－b)，C．
规范答，抢得分
所以S△ABC＝|BC|·|OA|＝··a
＝·c·2c＝，
得c＝，
所以a＝2，b＝3．………………………………………………(3分)
故椭圆的方程为＝1．……………………………………(4分)
规范答，抢得分
(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，T(0，t)，当直线PQ的斜率不存在时，不妨设P(0，3)，Q(0，－3)，
则·＝(0，3－t)·(0，－3－t)
＝t2－9≤0，解得－3≤t≤3．………………………………… (6分)
规范答，抢得分
当直线PQ的斜率存在时，设其方程为y＝kx－．
由可得(3＋4k2)x2－12kx－27＝0，所以Δ＝144k2＋
4×27(3＋4k2)>0，x1＋x2＝，x1x2＝－．………………(8分)
规范答，抢得分
y1＋y2＝k(x1＋x2)－3＝－3，
y1y2＝＝k2x1x2－(x1＋x2)＋＝＝．
规范答，抢得分
∵＝(x1，y1－t)，＝(x2，y2－t)，
∴·＝x1x2＋(y1－t)·(y2－t)
＝x1x2＋y1y2－t(y1＋y2)＋t2
＝－－t＋t2≤0，…………………(11分)
(4t2－36)k2＋3t2＋9t－≤0对k∈R恒成立，…………………(12分)
规范答，抢得分
则有
解得－3≤t≤，…………………………………………………(14分)
综上可得，－3≤t≤，即点T的纵坐标的取值范围是．…………………………………………………………………(15分)
点关键，防陷阱
注意隐含条件a2＝b2＋c2．
中点坐标公式：
此处是否可以建立关于a或b的方程？
易错点：
设直线方程时需考虑特殊直线，如直线的斜率不存在，斜率为0等．
点关键，防陷阱
注意运算结果的正确性．
一元二次不等式ax2＋bx＋c≤0恒成立
此处需注意对直线斜率存在、不存在两种情况下参数t的范围求交集．
谢 谢 ！