《高考快车道》2026版高三一轮总复习数学(基础版)99　第九章　第2课时　排列与组合 课件

(共80张PPT)
第九章　计数原理、概率、随机变量及其分布
第2课时　排列与组合
[考试要求]　1．理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式．
2．会用排列、组合分析和解决一些简单的实际问题．
考点一　排列问题
1．排列与排列数
(1)排列：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并______________________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．
(2)排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有________的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作．
按照一定的顺序排成一列
不同排列
2．排列数公式及性质
(1)排列数公式
＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)
＝(m，n∈N*，且m≤n)．
(2)性质：①＝____；
②0！＝__．
n!
1
[常用结论]
＝．
＝．
(3)(n＋1)！－n！＝n·n!
[典例1]　有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法数．
(1)选5人排成一排；
(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；
(3)全体排成一排，其中甲不站最左边，也不站最右边；
(4)全体排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边；
(5)甲、乙、丙三人从左到右顺序一定．
[解]　(1)从7人中选5人排列，有＝7×6×5×4×3＝2 520(种)．
(2)分两步完成，先选3人站前排，有种方法，余下4人站后排，有种方法，共有＝5 040(种)．
(3)法一(特殊元素优先法)：先排甲，有5种方法，其余6人有种排列方法，共有＝3 600(种)．
法二(特殊位置优先法)：左右两边位置可安排另6人中的两人，有种排法，其他有种排法，共有＝3 600(种)．
(4)法一(特殊元素优先法)：甲在最右边时，其他的可全排，有种方法；甲不在最右边时，可从余下的5个位置任选一个，有种，而乙可排在除去最右边的位置后剩下的5个中任选一个有种，其余人全排列，有种不同排法，共有＝3 720(种)．
法二(间接法)：7人全排列，有种方法，其中甲在最左边时，有种方法，乙在最右边时，有种方法，其中都包含了甲在最左边且乙在最右边的情形，有种方法，故共有＝3 720(种)．
(5)由于甲、乙、丙的顺序一定，则满足条件的站法共有＝840(种)．
链接·2025高考试题
(2025·上海卷)4个家长和2个儿童去爬山，6个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列种数为________．
288　[先选2个家长排在队列的头和尾的排法数为＝12，剩下的家长和儿童全排的排法种数为＝24，则不同的排列种数为12×24＝288.]
288
反思领悟　本例(1)(2)把符合条件的排列数直接列式计算；本例(3)中，甲有限制条件，可以采用“特殊元素优先法”，先把甲排在中间5个位置，再把余下6人全排列，也可以采用“特殊位置优先法”，即先排最左边和最右边两个位置，再排中间5个位置；本例(4)可以按甲分类，采用“特殊元素优先法”，也可以采用“间接法”，即7人全排列，再排除甲在最左边，乙在最右边的情形，但甲在最左边，乙在最右边排除(减)了两次，应再加一次；本例(5)甲、乙、丙三人顺序一定，可以先不考虑顺序限制，排列后再除以定序元素的全排列．
巩固迁移1　(1)(2024·盐城期末)由1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数的个数为(　　)
A．24 B．60
C．120 D．720
(2)(2024·内江月考)有4名学生和2名老师站成一排拍照，若2名老师不站两端，则不同排列方式共有(　　)
A．72种 B．144种
C．288种 D．576种
√
√
(3)(2024·泉州质检)某停车场有两排空车位，每排4个，现有甲、乙、丙、丁4辆车需要泊车，若每排都有车辆停泊，且甲、乙两车停泊在同一排，则不同的停车方案有________种(填数字)．
(1)C　(2)C　(3)672　[(1)由题意可知，由1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数即为1，2，3，4，5全排列，
所以没有重复数字的五位数的个数为＝120．故选C．
672
(2)首先将2名老师排在中间4个位置中的2个位置，再将其余4名学生全排列，
故不同排列方式共有＝288(种)．
故选C．
(3)若甲、乙两车停泊在同一排，丙、丁两车停泊在同一排，则有种方案；
若丙、丁选一辆与甲、乙停泊在同一排，另一辆单独一排，则有种方案．
所以共有＝672(种)停车方案．]
考点二　组合问题
1．组合与组合数
(1)组合：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个____．
(2)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有________的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的______，记作．
组合
不同组合
组合数
2．组合数的公式及性质
(1)组合数公式
＝＝＝(m，n∈N*，且m≤n)．
(2)组合数性质
①＝__；
②＝；
③＝．
1
[典例2]　某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货．现从35种商品中选取3种．
(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？
(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？
(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？
(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？
(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？
[解]　(1)从余下的34种商品中，选取2种有＝561(种)，
∴某一种假货必须在内的不同取法有561种．
(2)从34种可选商品中，选取3种，有＝5 984(种)．
∴某一种假货不能在内的不同取法有5 984种．
(3)从20种真货中选取1件，从15种假货中选取2件有＝
2 100(种)．
∴恰有2种假货在内的不同的取法有2 100种．
(4)选取2种假货有种，选取3种假货有种，共有选取方式＝2 100＋455＝2 555(种)．
∴至少有2种假货在内的不同的取法有2 555种．
(5)选取3种的总数为，选取3种假货有种，
因此共有选取方式＝6 545－455＝6 090(种)．
∴至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种．
反思领悟　组合问题常有以下两类题型
(1)“含有”或“不含有”问题：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中选取．
(2)“至少”或“最多”问题：用直接法和间接法都可以求解，当直接分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．
巩固迁移2　(2025·江苏扬州模拟)某教学楼从二楼到三楼的楼梯共10级．上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，某同学从二楼到三楼准备用7步走完，则第二步走两级台阶的概率为(　　)
A． B．
C． D．
√
C　[10级台阶要用7步走完，则有4步是上一级，3步是上两级，
共＝35(种)走法，
若第二步走两级台阶，则其余6步中有2步是上两级，
共＝15(种)走法，
所以第二步走两级台阶的概率为＝．故选C．]
考点三　排列、组合的综合问题
解决排列、组合问题的五种技巧
(1)特殊元素优先安排．
(2)排列、组合混合问题要先选后排．
(3)相邻问题捆绑处理，不相邻问题插空处理．
(4)定序问题倍缩法处理，分排问题直排处理．
(5)正难则反，等价转化．
考向1　相邻、不相邻问题
[典例3]　(1)(2024·兴宁市月考)2024年巴黎奥运会期间，甲、乙、丙3名运动员与5名志愿者站成一排拍照留念，若甲与乙相邻、丙不排在两端，则不同的排法种数为(　　)
A．1 120 　　B．7 200 　 C．8 640 　D．14 400
(2)若A，B，C，D，E五个人并排站在一起，则A，B不相邻的站法共有(　　)
A．24种 　 　B．72种 　 C．60种 　 D．78种
√
√
(1)B　(2)B　[(1)甲与乙相邻有种不同的排法，将甲与乙看作是一个整体，与除丙外的5人排好，有种不同的排法，再将丙排入隔开的不在两端的5个空中，有种不同的排法，
所以共有＝7 200(种)不同的排法．
故选B．
(2)先将A，B之外的3人全排列，产生4个空，再将A，B两元素插空，所以共有＝72(种)．故选B．]
反思领悟　本例(1)中，甲与乙相邻，采用“捆绑法”看作一个元素；本例(2)中，A，B不相邻，采用“插空法”．
巩固迁移3　(2025·海口模拟)某学校为了丰富同学们的寒假生活，寒假期间给同学们安排了6场线上讲座，其中讲座A只能安排在第一场或最后一场，讲座B和C必须相邻，则不同的安排方法共有(　　)
A．34种 B．56种
C．96种 D．144种
√
C　[由题意知讲座A只能安排在第一场或最后一场，∴有＝2(种)结果，∵讲座B和C必须相邻，∴共有＝48(种)结果，根据分步乘法计数原理知共有2×48＝96(种)结果．故选C．]
考向2　分组、分配问题
[典例4]　按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方法？
(1)分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；
(2)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；
(3)平均分成三份，每份2本；
(4)平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本；
(5)分成三份，1份4本，另外两份每份1本；
(6)甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本．
[解]　(1)无序不均匀分组问题．先选1本有种选法；再从余下的5本中选2本有种选法；最后余下3本全选有种方法，故共有＝60(种)．
(2)有序不均匀分组问题．由于甲、乙、丙是不同的三人，在第(1)问基础上，还应考虑再分配，共有＝360(种)．
(3)无序均匀分组问题．共有＝15(种)．
(4)在第(3)问的基础上，还应考虑再分配，共有＝90(种)．
(5)分成三份，1份4本，另外两份每份1本，这是部分均匀分组问题，
求出组合总数除以即可，共有＝15(种)．
(6)在第(5)问的基础上，还应考虑再分配，共有＝90(种)．
反思领悟　分组分配问题的三种类型及求解策略
类型 求解策略
整体 均分 解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以(n为均分的组数)，避免重复计数
类型 求解策略
部分 均分 解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，一个分组过程中有几个这样的均匀分组就要除以几个这样的全排列数
不等分 只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数
巩固迁移4　(1)(2024·佳木斯期末)现有6本相同的数学课本分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，则不同的分配方案种数为(　　)
A． B．
C． D．＋4
(2)(2024·天津南开区期末)若将6本不同的小说全部分给3个同学，每本书只能分给一个人，每个人至少分一本书，则不同的分法种数为(　　)
A．540 B．90
C．10 D．450
√
√
(1)D　(2)A　[(1)由题意得，分配方案有三种：
第一种方案：两个人各1本，一个人4本，分配的方法数为＝3；
第二种方案：三个人各2本，分配的方法数为1；
第三种方案：一个人1本，一个人2本，一个人3本，分配的方法数为．
因此共有＋4种方法．故选D．
(2)将6本不同的小说全部分给3个同学，每本书只能分给一个人，每个人至少分一本书，
先将6本不同的小说分成3组，
有＝90(种)不同的分法，
再将这3组分给3名同学，
则不同的分法种数为＝540．
故选A．]
随堂练习
√
1．(2024·烟台期末)从6名大学毕业生中任选3名去某中学支教，不同选派方法的总数为(　　)
A．12 B．18
C．20 D．120
C　[由题意得不同选派方法的总数为＝20．故选C．]
2．(2024·济宁期末)某学校为高三学生安排语文、数学、外语、物理四场讲座，其中数学不能安排在第一场和最后一场，则不同的安排方法有(　　)
A．12种 B．18种
C．20种 D．24种
√
A　[根据题意，由于数学不能安排在第一场和最后一场，则数学有2种安排方法，再将其余3场讲座安排在剩余3场，有＝6(种)情况，则有2×6＝12(种)安排方法．故选A．]
3．某夜市的某排摊位上共有6个铺位，现有4家小吃类店铺，2家饮料类店铺打算入驻，若要排出一个摊位规划，要求饮料类店铺不能相邻，则可以排出的摊位规划总个数为(　　)
A． B．
C． D．
√
D　[先将4个小吃类店铺进行全排，再从这4个小吃类店铺的5个空位中选2个进行排列，故排出的摊位规划总个数为．]
4．(人教A版选择性必修第三册P27习题6.2T13改编)从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动，则男、女生都有的选法种数是________．
30　[选出的3人中有2名男同学和1名女同学的方法有＝18(种)，选出的3人中有1名男同学和2名女同学的方法有＝12(种)，故3名学生中男、女生都有的选法有18＋12＝30(种)．]
30
【教用·备选题】
1．(2024·大连一模)将ABCDEF六位教师分配到3所学校，若每所学校分配2人，其中A，B分配到同一所学校，则不同的分配方法共有(　　)
A．12种 B．18种
C．36种 D．54种
√
B　[先将CDEF四位教师分成2组，每组2人，则有＝3(种)方法，
然后将含AB的3组分配到3所学校，则不同的分配方法共有＝18(种)．故选B．]
2．(多选)小明、小华、小红、小兰四位同学分别到镇江的南山、焦山、北固山参观旅游，要求每位同学只去一个地方，每个地方至少安排一位同学参观，则下列选项正确的是(　　)
A．若安排两位同学去焦山，则有12种安排方法
B．若安排小红和小兰去同一个地方参观，则有6种安排方法
C．若小华不去南山参观，则有24种安排方法
D．共有18种安排方法
√
√
√
ABC　[对于A，安排两位同学去焦山，则有＝6×2＝12(种)方法，故A正确；对于B，安排小红和小兰去同一个地方参观，则有＝6(种)方法，所以B正确；对于C，小华不去南山参观，若小华是1个人，则有＝2×3×2＝12(种)方法．若小华和另一人一起，则有＝12(种)方法，所以共有24种方法，故C正确；对于D，每位同学只去一个地方，每个地方至少安排一位同学参观，则有＝6×6＝36(种)安排方法，故D错误．]
3．(2025·黄冈模拟)源于探索外太空的渴望，航天事业在21世纪获得了长足的发展．太空中的环境为某些科学实验提供了有利条件，宇航员常常在太空旅行中进行科学实验．在某次太空旅行中，宇航员们负责的科学实验要经过5道程序，其中A，B两道程序既不能放在最前，也不能放在最后，则该实验不同程序的顺序安排共有(　　)
A．18种 B．36种
C．72种 D．108种
√
B　[先排A，B两道程序，其既不能放在最前，也不能放在最后，则在第2，3，4道程序选两个放A，B，共有种放法；再排剩余的3道程序，共有种放法．
则共有＝36(种)方法．故选B．]
4．(2024·锡林郭勒盟期末)某企业举办职工运动会，有篮球、足球、羽毛球、乒乓球4个项目．现有A，B两个场地承办这4个项目的比赛，且每个场地至少承办其中一个项目，则不同的安排方法有(　　)
A．10种 B．12种
C．14种 D．20种
√
C　[若一个场地承办一个项目，另一个场地承办三个项目，则有＝8(种)安排；
若每个场地都承办两个项目，则有＝6(种)安排．
综上可得一共有8＋6＝14(种)不同的安排方法．故选C．]
5．(2024·临沂期末)某班上有5名同学相约周末去公园拍照，这5名同学站成一排，其中甲、乙两名同学要求站在一起，丙同学不站在正中间，不同的安排方法数为(　　)
A．24 B．36
C．40 D．48
√
C　[先将甲、乙捆绑看作一个元素，那么就变成共有4个不同元素参与站成一排，
由于丙同学不站在正中间，
①当甲、乙(或乙、甲)两名同学在前两个位置时，丙同学可在后两个位置中任选一个位置，另两名同学在剩余的两个位置自由排列，共有＝8(种)方法；
②当甲、乙(或乙、甲)两名同学在2、3两个位置时，另外三名同学在剩余的三个位置自由排列，共有＝12(种)方法；
③当甲、乙(或乙、甲)两名同学在3、4两个位置时，另外三名同学在剩余的三个位置自由排列，共有＝12(种)方法；
④当甲、乙(或乙、甲)两名同学在4、5两个位置时，丙同学可在前两个位置中任选一个位置，另两名同学在剩余的两个位置自由排列，共有＝8(种)方法．
因此总共满足条件的不同排法有2(8＋12)＝40(种)．故选C．]
6．(2024·新乡二模)老师有6本不同的课外书要分给甲、乙、丙三人，其中甲分得2本，乙、丙每人至少分得1本，则不同的分法有(　　)
A．248种 B．168种
C．360种 D．210种
√
D　[老师有6本不同的课外书要分给甲、乙、丙三人，其中甲分得2本，乙、丙每人至少分得1本，
①当甲分2本，乙分1本，丙分3本时，
不同的分法有＝60(种)；
②当甲分2本，乙分2本，丙分2本时，
不同的分法有＝90(种)；
③当甲分2本，乙分3本，丙分1本时，
则不同的分法有＝60(种)．
所以不同的分法共有60＋90＋60＝210(种)．故选D．]
7．(2024·九省联考)甲、乙、丙等5人站成一排，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法共有(　　)
A．20种 B．16种
C．12种 D．8种
√
B　[因为乙和丙之间恰有2人，所以乙、丙及中间2人占据首四位或尾四位．①当乙、丙及中间2人占据首四位，此时还剩末位，故甲在乙、丙中间，排乙、丙有种方法，排甲有种方法，剩余两个位置两人全排列有种排法，所以有＝8(种)方法；②当乙、丙及中间2人占据尾四位，此时还剩首位，故甲在乙、丙中间，排乙、丙有种方法，排甲有种方法，剩余两个位置两人全排列有种排法，所以有＝8(种)方法．由分类加法计数原理可知，一共有8＋8＝16(种)排法．]
8．(多选)(2024·枣庄期末)下列有关排列数、组合数的等式中，其中n∈N*，m∈N，m≤n，正确的是(　　)
A．＝
B．＝
C．＝
D．＝330
√
√
AC　[对于A，根据组合数的性质可知＝，故A正确；
对于B，举反例：设m＝2，n＝3，则＝＝＝＝4，此时，故B错误；
对于C，右边＝＝＝＝＝左边，故C正确；
对于＝－1＝－1＝－1＝329，故D错误．故选AC．]
9．(2024·焦作期末)某果农计划在A，B，C，D这4个地块上种植2种不同的果树，每个地块只种植一种果树，有苹果、梨、桃子、杏4种果树可供选择，则不同的种植方案数为________．(用数字作答)
84　[先将A，B，C，D这4个地块分成两组：一组3块，一组1块或一
组2块，一组2块，有种，再在两组地块上种植2种不同的果树，所以不同的种植方案有＝84(种)．]
84
10．(2024·泰安期末)中华文化源远流长，为了让青少年更好地了解中国的传统文化，某培训中心计划利用暑期开设“围棋”、“武术”、“书法”、“剪纸”、“京剧”、“刺绣”六门体验课程．
(1)若体验课连续开设六周，每周一门，求“京剧”和“剪纸”课程排在不相邻的两周的所有排法种数；
(2)现有甲、乙、丙三名学生报名参加暑期的体验课程，每人都选两门课程，甲和乙有一门共同的课程，丙和甲、乙的课程都不同，求所有选课的种数；
(3)计划安排A，B，C，D，E五名教师教这六门课程，每门课程只由一名教师任教，每名教师至少任教一门课程，教师A不任教“围棋”课程，教师B只能任教一门课程，求所有课程安排的种数．
[解]　(1)第一步，先将另外四门课排好，有种情况；
第二步，将“京剧”和“剪纸”课程分别插入5个空隙中，有种情况；
所以“京剧”和“剪纸”课程排在不相邻的两周的排法有＝480(种)．
(2)第一步，先将甲和乙的不同课程选好，有种情况；
第二步，将甲和乙的相同课程选好，有种情况；
第三步，因为丙和甲、乙的课程都不同，所以丙的选课有种情况．
因此，所有选课种数为＝360．
(3)①当A只任教1门课程时：先排A任教课程，有种；再从剩下5门课程中排B的任教课程，有种；
接下来剩余4门课程中必有2门课程由同一名老师任教，分三组全排列，共有种，所以当A只任教1门课程时，
共有＝5×5××3×2×1＝900(种)；
②当A任教2门课程时：先选A任教的2门课程有种，这样剩下4门
课程分为4组，共有＝×4×3×2×1＝240(种)．
综上，所有课程安排方案有1 140种．
课后习题(六十)　排列与组合
1．(多选)(人教A版选择性必修第三册P25练习T2改编)下列等式中，正确的是(　　)
A．＝
B．＝
C．＝
D．＝
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
ABD　[对于A，左边＝＋m·＝＋m·＝＝右边，∴A正确；对于B，右边＝＝·＝r·＝左边，∴B正确；对于C，右边＝＝≠左边，∴C错误；对于D，右边＝·＝＝＝左边，∴D正确．故选ABD．]
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
2．(人教A版选择性必修第三册P19例4改编)从0，1，2，3，4，5这六个数字中选3个数字，可以组成的无重复数字的三位偶数的个数为
(　　)
A．52 B．56
C．48 D．72
A　[当个位为0时，共有＝5×4＝20(个)；当个位不为0时，共有＝2×4×4＝32(个)，所以共有20＋32＝52(个)偶数．故选A．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
3．(人教B版选择性必修第二册P38复习题A组T3改编)在数学中，有这样一类顺读与倒读都是同一个数的自然数，被称为“回文数”．如44，585，2 662等，那么用数字1，2，3，4，5，6可以组成4位数的“回文数”的个数为(　　)
A．30 B．36
C．360 D．1 296
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
B　[由题意，可分两类，第一类：由一个数组成4位数“回文数”，在6个数字中任取1个，有种情况．第二类：由两组相同的数字组成4位数“回文数”，在6个数字中任取2个，这2个数字互换位置又可以组成另一个数，所以有种情况．综上，由数字1，2，3，4，5，6可以组成4位数的“回文数”的个数为＝36．故选B．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
4．(人教A版选择性必修第三册P27习题6.2T13改编)从2名女生、4名男生中选3人参加学科竞赛，且至少有1名女生入选，则不同的选法共有________种(用数字作答)．
16
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
16　[法一：可分两种情况：第一种情况，只有1名女生入选，不同的选法有＝12(种)；第二种情况，有2名女生入选，不同的选法有＝4(种)．根据分类加法计数原理知，至少有1名女生入选的不同的选法共有12＋4＝16(种)．
法二：从6人中任选3人，不同的选法共有＝20(种)，从6人中任选3人都是男生，不同的选法有＝4(种)，所以至少有1名女生入选的不同的选法共有20－4＝16(种)．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
5．(2024·昆明一模)某校计划从3位男教师和4位女教师中选出2人参加支教活动，要求至少有1位男教师，则不同的选法的种数为(　　)
A．12 B．15
C．18 D．21
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
B　[依题意，从7人中任选2人，有种方法，
其中没有男教师的选法有种，
所以抽取的2人中，男教师最少有1人的选法种数为＝21－6＝15．
故选B．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
6．(2024·南平市延平区校级月考)由1，2，3，4，5，6可组成没有重复数字，且2，3不相邻的六位数的个数是(　　)
A．36 B．72
C．480 D．600
√
C　[由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字，且2，3不相邻的六位数，则此六位数的个数是＝480．
故选C．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
7．(2024·商丘期末)五人站成一排拍照，其中甲、乙必须相邻且两人均不能站两端，则不同的站法有(　　)
A．12种 B．24种
C．36种 D．48种
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
B　[由题意，首先将甲、乙两人捆绑，有种方法，
其次将捆绑后的甲、乙安排在中间2个位置，有种方法，
最后将剩余3人全排列，有种方法，所以不同的站法有＝24(种)．
故选B．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
8．(2025·江苏南通模拟)“碳中和”是指通过植树造林、节能减排等形式，以抵消自身产生的二氧化碳排放量，实现二氧化碳“零排放”．某“碳中和”研究中心计划派4名专家分别到A，B，C三地指导“碳中和”工作，每位专家只去一个地方，且每地至少派驻1名专家，则分派方法的种数为(　　)
A．72 B．36
C．48 D．18
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
B　[由题意可知有2名专家去一个地方，其余两个地方各分派一名专家，故共有＝36(种)分派方法．
故选B．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
9．(多选)(2024·镇江期末)在4张奖券中，一、二、三、四等奖各1张，将这4张奖券分给甲、乙、丙、丁4个人，每人至多2张，则下列结论正确的是(　　)
A．若甲、乙、丙、丁均获奖，则共有24种不同的获奖情况
B．若甲获得了一等奖和二等奖，则共有6种不同的获奖情况
C．若仅有2人获奖，则共有36种不同的获奖情况　
D．若仅有3人获奖，则共有144种不同的获奖情况
√
√
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
ACD　[根据题意，依次分析选项：
对于A，若甲、乙、丙、丁均获奖，即4张奖券分给甲、乙、丙、丁4个人，每人1张，有＝24(种)不同的获奖情况，A正确；对于B，若甲获得了一等奖和二等奖，将三、四等奖奖券分给其他3人即可，有＝9(种)不同的获奖情况，B错误；对于C，若仅有2人获奖，即获奖的2人每人得到2张奖券，有＝36(种)不同的获奖情况，C正确；对于D，若仅有3人获奖，即获奖的3人中有1人得到2张奖券，剩下2人每人1张奖券，有＝144(种)不同的获奖情况，D正确．
故选ACD．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
10．(2024·百色期末)已知＝，则的值为________．
0　[∵＝，∴n＋1＝3n－4或n＋1＋3n－4＝25，
解得n＝2.5或n＝7，∵n为正整数，故n＝7，
∴＝＝10！－(10×9－1)×8！－8×7！＝10！－(10！－8！)－8！＝0．]
0
题号
1
3
5
2
4
6
8
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12
11．(2024·郑州一模)2023年12月6日上午，2023世界5G大会在郑州国际会展中心拉开帷幕．世界5G大会是全球5G领域国际性盛会，也是首次在豫举办．本次大会以“5G变革共绘未来”为主题，以持续推动5G不断演进创新为目标．现场邀请全球有影响力的科学家、企业家、国际组织负责人等参会，并进行高层次、高水平交流研讨．为确保大会顺利进行，面向社会招聘优秀志愿者，参与大会各项服务保障工作．现从包含甲、乙的6人中选派4人参与“签到组”“服务组”“物料组”“机动组”四个不同的岗位工作，每人去一个组，其中甲、乙至少有一人参加且甲不去“签到组”的选派方法共有________种．(用数字作答)
276
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
276　[根据题意可知6人中选派4人参与的选派方式共有＝360(种)，
其中甲、乙都不参与的选派方式共有＝24(种)，
其中甲、乙至少有一人参加且甲去“签到组”的选派方式共有＝60(种)，
所以甲、乙至少有一人参加且甲不去“签到组”的选派方法共有＝360－24－60＝276(种)．]
题号
1
3
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2
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12
12．(2024·眉山东坡区期末)从1到9的九个数字中取三个偶数四个奇数，试问：
(1)能组成多少个没有重复数字的七位数？
(2)上述七位数中三个偶数排在一起的有几个？
(3)在(1)中任意两偶数都不相邻的七位数有几个？
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
[解]　(1)由题意知本题是一个分步计数问题，
第一步在4个偶数中取3个，有种结果，
第二步在5个奇数中取4个，有种结果，
第三步得到的7个数字进行全排列有种结果，
∴符合题意的七位数有＝100 800(个)．
(2)上述七位数中，三个偶数排在一起可以把三个偶数看成一个元素进行排列，三个元素之间还有一个排列，有＝14 400(个)．
(3)上述七位数中偶数都不相邻，可先把4个奇数排好，
再将3个偶数分别插入5个空档，
共有＝28 800(个)．
谢 谢 ！