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第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布
第8课时 二项分布、超几何分布与正态分布
[考试要求] 1.理解两点分布、二项分布、超几何分布的概念,能解决一些简单的实际问题.
2.借助正态曲线了解正态分布的概念,并进行简单应用.
考点一 n重伯努利试验与二项分布
1.两点分布
如果P(A)=__,则P()=1-p,那么X的分布列为
X 0 1
P 1-p p
我们称X服从两点分布或__________.
提醒:随机变量X只取两个值的分布未必是两点分布.
p
0-1分布
2.n重伯努利试验与二项分布
(1)n重伯努利试验
把只包含____可能结果的试验叫做伯努利试验.
将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验.
两个
(2)二项分布
一般地,在n重伯努利试验中,设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1),用X表示事件A发生的次数,则X的分布列为P(X=k)=____________________,k=0,1,2,…,n.如果随机变量X的分布列具有上式的形式,则称随机变量X服从二项分布,记作X~____________.
pk(1-p)n-k
B(n,p)
(3)两点分布与二项分布的均值、方差
①若随机变量X服从两点分布,那么E(X)=p,D(X)=___________.
②若X~B(n,p),则E(X)=____,D(X)=______________.
提醒:在实际应用中,往往出现数量“较大”“很大”“非常大”等字眼,这表明试验可视为n重伯努利试验,进而判定是否服从二项分布.
p(1-p)
np
np(1-p)
考向1 n重伯努利试验及其概率
[典例1] (1)若某射手每次射击击中目标的概率均为,每次射击的结果相互独立,则在他连续4次射击中,恰好有两次击中目标的概率为( )
A. B.
C. D.
√
(2)机械研究所对新研发的某批次机械元件进行寿命追踪调查,随机抽查的200个机械元件情况如表:
使用时间/天 10~20 21~30 31~40 41~50 51~60
个数 10 40 80 50 20
√
若以频率估计概率,现从该批次机械元件中随机抽取3个,则至少有2个元件的使用寿命在30天以上的概率为( )
A. B. C.D.
(1)B (2)D [(1)在某射手连续4次射击中,恰好有两次击中目标的概率为=.故选B.
(2)由题意可知,该批次每个机械元件使用寿命在30天以上的概率为
,因此,从该批次机械元件中随机抽取3个,至少有2个元件的使用
寿命在30天以上的概率为P==.]
反思领悟 n重伯努利试验概率求解的策略
(1)先判断问题中涉及的试验是否为n重伯努利试验,判断时注意各次试验之间是否相互独立,并且每次试验的结果是否只有两种,在任何一次试验中,某一事件发生的概率是否都相等,全部满足n重伯努利试验的要求才能用相关公式求解.
(2)解此类题时常用互斥事件概率加法公式,相互独立事件概率乘法公式及对立事件的概率公式.
巩固迁移1 甲、乙两人各进行3次射击,甲每次击中目标的概率为,乙每次击中目标的概率为,他们每次射击是否击中目标互不影响,则甲恰好比乙多击中目标1次的概率为________.
[事件“甲恰好比乙多击中目标1次”分为“甲击中1次乙击中0次”“甲击中2次乙击中1次”“甲击中3次乙击中2次”三种情形,
其概率P==.]
考向2 二项分布
[典例2] (2025·济南模拟)某杂志社对投稿的稿件要进行评审,评审的程序如下:先由两位主编进行初审.若两位主编的初审都通过,则予以录用;若两位主编的初审都不通过,则不予录用;若恰能通过一位主编的初审,则再由另外的两位主编进行复审,若两位主编的复审都通过,则予以录用,否则不予录
用.假设投稿的稿件能通过各位主编初审的概率均为,复审的稿件能通过各位主编复审的概率均为,且每位主编的评审结果相互独立.
(1)求投到该杂志社的1篇稿件被录用的概率;
(2)记X表示投到该杂志社的3篇稿件中被录用的篇数,求X的分布列及期望.
[解] (1)由题意可得投到该杂志社的1篇稿件初审直接被录用的概率
P1==.
投到该杂志社的1篇稿件初审没有被录用,复审被录用的概率P2=
=.
故投到该杂志社的1篇稿件被录用的概率P=P1+P2==.
(2)由题意可知X的所有可能取值为0,1,2,3,且X~B,
P(X=0)==,
P(X=1)===,
P(X=2)===,
P(X=3)==.
则X的分布列为
故E(X)=3×=.
X 0 1 2 3
P
反思领悟 (1)在根据n重伯努利试验求二项分布的有关问题时,关键是理清事件与事件之间的关系,确定二项分布的试验次数n和变量的概率,从而求得概率.
(2)求随机变量ξ的期望与方差时,可首先分析ξ是否服从二项分布,如果ξ~B(n,p),则用公式E(ξ)=np,D(ξ)=np(1-p)求解,可大大减少计算量.
(3)有些随机变量虽不服从二项分布,但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布,这时,可以综合应用E(aξ+b)=aE(ξ)+b以及E(ξ)=np求出E(aξ+b),同样还可求出D(aξ+b).
巩固迁移2 (1)(多选)(2025·大连模拟)若随机变量X~B,下列说法正确的是( )
A.P(X=3)=
B.E(X)=
C.E(3X+2)=22
D.D(3X+2)=20
√
√
√
(2)某种植户对一块地上的n(n∈N*)个坑进行播种,每个坑播3粒种子,每粒种子发芽的概率均为,且每粒种子是否发芽相互独立.如果每个坑内至少有两粒种子发芽,则不需要进行补种,否则需要补种.
①求每个坑不需要补种的概率;
②当n=4时,用X表示要补种的坑的个数,求X的分布列和期望.
(1)BCD [因为X~B,所以P(X=3)=·,故A错误;E(X)=10×=,故B正确;E(3X+2)=3E(X)+2=3×+2=22,故C正确;D(X)=10×=,D(3X+2)=32D(X)=9×=20,故D正确.故选BCD.]
(2)[解] ①由题意可知,每个坑要补种的概率
P==,
则每个坑不需要补种的概率为1-=.
②易知X的可能取值为0,1,2,3,4,且X~B,
因此P(X=0)==,
P(X=1)==,P(X=2)==,
P(X=3)==,P(X=4)==,
所以X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
故E(X)=4×=2.
考点二 超几何分布
1.定义
一般地,假设一批产品共有N件,其中有M件次品,从N件产品中随机抽取n件(不放回),用X表示抽取的n件产品中的次品数,则X的分布列为P(X=k)=,k=m,m+1,m+2,…,r.其中n,N,M∈N*,M≤N,n≤N,m=max{0,n-N+M},r=min{n,M}.如果随机变量X的分布列具有上式的形式,那么称随机变量X服从超几何分布.
2.超几何分布的均值
若X服从参数为N,M,n的超几何分布,则E(X)=.
[典例3] 宿州号称“中国云都”,拥有华东最大的云计算数据中心、CG动画集群渲染基地,是继北京、上海、合肥、济南之后的全国第5家量子通信节点城市.为了统计智算中心的算力,现从全市n个大型机房和6个小型机房中随机抽取若干机房进行算力分析,若一
次抽取2个机房,全是小型机房的概率为.
(1)求n的值;
(2)若一次抽取3个机房,假设抽取的小型机房的个数为X,求X的分布列和均值.
[解] (1)由题知,共有(n+6)个机房,抽取2个机房有种方法,其中全是小型机房有种方法,
因此全是小型机房的概率P==,
解得n=4.即n的值为4.
(2)X的可能取值为0,1,2,3.
P(X=0)===,
P(X=1)===,
P(X=2)===,
P(X=3)===.
则随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P
则E(X)=0×+1×+2×+3×=.
反思领悟 (1)超几何分布描述的是不放回抽样问题,随机变量为抽到的某类个体的个数.超几何分布的特征是:①考察对象分两类;②已知各类对象的个数;③从中抽取若干个个体,考查某类个体数X的分布列.
(2)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型,其本质是古典概型.
巩固迁移3 已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采用分层随机抽样的方法从中抽取7人,进行睡眠时间的调查.若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠充足,现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数,求随机变量X的分布列与数学期望.
[解] 随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.
所以P(X=0)==,P(X=1)==,
P(X=2)==,P(X=3)==,
所以随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以E(X)=0×+1×+2×+3×=.
【教用·备选题】
某公司采购部需要采购一箱电子元件,供货商对该电子元件整箱出售,每箱10个.在采购时,随机选择一箱并从中随机抽取3个逐个进行检验.若其中没有次品,则直接购买该箱电子元件;否则,不购买该箱电子元件.
(1)若某箱电子元件中恰有一个次品,求该箱电子元件能被直接购买的概率;
(2)若某箱电子元件中恰有两个次品,记对随机抽取的3个电子元件进行检测时次品的个数为X,求X的分布列及期望.
[解] (1)设某箱电子元件有一个次品能被直接购买为事件A,则P
==.
(2)X可能取值为0,1,2.
则P==,P==,P==.
故X的分布列是
X 0 1 2
P
故E=0×+1×+2×=.
考点三 正态分布
1.正态曲线与正态分布
(1)我们称f (x)= (x∈R,其中μ∈R,σ>0为参数)为正态
密度函数,称其图象为正态密度曲线,简称正态曲线.
(2)若随机变量X的概率分布密度函数为f (x),则称随机变量X服从正态分布,记为__________________.特别地,当μ=__,σ=__时,称随机变量X服从标准正态分布.
X~N(μ,σ2)
0
1
2.正态曲线的特点
(1)曲线是单峰的,它关于直线______对称;
(2)曲线在______处达到峰值;
(3)当|x|无限增大时,曲线无限接近x轴.
x=μ
x=μ
3.正态变量在三个特殊区间内取值的概率
(1)P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈_____________;
(2)P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈_____________;
(3)P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈_____________.
在实际应用中,通常认为服从于正态分布N(μ,σ2)的随机变量X只取[μ-3σ,μ+3σ]中的值,这在统计学中称为3σ原则.
4.正态分布的均值与方差
若X~N(μ,σ2),则E(X)=__,D(X)=____.
0.682 7
0.954 5
0.997 3
μ
σ2
考向1 正态分布的概率计算
[典例4] (2025·湖北武汉模拟)已知随机变量X服从正态分布N(μ,σ2).若P(X<2)=P(X>6)=0.15,则P(2≤X<4)=( )
A.0.3 B.0.35
C.0.5 D.0.7
√
B [∵P(X<2)=P(X>6)=0.15,
∴μ==4.
又P(2≤X≤6)=1-P(X<2)-P(X>6)=0.7,
∴P(2≤X<4)=P(2≤X≤6)=0.35.]
反思领悟 解答本题的关键是:(1)正态曲线关于直线x=μ=4对称;(2)曲线与x轴之间的面积为1.
巩固迁移4 已知随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),下列四个命题:
甲:P(X>m+1)>P(X
乙:P(X≤m)=0.5;
丙:P(X≥m)=0.5;
丁:P(m-1如果有且只有一个是假命题,那么该命题是( )
A.甲 B.乙
C.丙 D.丁
√
D [因为P(X≤m)=0.5,P(X≥m)=0.5均等价于μ=m,由题意可得乙、丙均为真命题,且μ=m,
对于甲:因为P(X>m+1)=P(XP(X对于丁:因为P(m-1P(m+1考向2 利用正态分布求容量(数)
[典例5] 汽车耗油量对汽车的销售有着非常重要的影响,各个汽车制造企业积极采用新技术降低耗油量,某汽车制造公司为调查某种型号的汽车的耗油情况,共调查了1 200名车主,据统计该种型号的汽车的平均耗油为百公里8.0 L,并且汽车的耗油量X服从正态分布N(8,σ2),已知耗油量X∈[7,9]的概率为0.7,那么耗油量大于9 L的汽车大约有________辆.
180
180 [由题意可知X~N(8,σ2),故正态曲线以x=8为对称轴.
又因为P(7≤X≤9)=0.7,
故P(7≤X≤9)=2P(8≤X≤9)=0.7,
所以P(8≤X≤9)=0.35,
而P(X≥8)=0.5,
所以P(X>9)=0.15,
故耗油量大于9 L的汽车大约有1 200×0.15=180(辆).]
反思领悟 本例求耗油量大于9 L的汽车辆数的关键是求耗油量大于9 L的概率.
巩固迁移5 (2025·青岛模拟)某校高一有学生980人,在一次模拟考试中这些学生的数学成绩X服从正态分布N(100,σ2),已知P(90<X≤100)=0.1,则该校高一学生数学成绩在110分以上的人数大约为
( )
A.784 B.490
C.392 D.294
√
C [因为X~N(100,σ2),且P(90<X≤100)=0.1,
所以P(100<X≤110)=P(90<X≤100)=0.1,
所以P(X>110)=0.5-P(100<X≤110)=0.5-0.1=0.4,
又因为高一有学生980人,
所以该校高一学生数学成绩在110分以上的人数大约为980×0.4=392.
故选C.]
考向3 3σ原则的检验
[典例6] 3D打印技术在精密仪器制作中应用越来越多,某企业向一家科技公司租用一台3D打印设备,用于打印一批对内径有较高精度要求的零件.已知这台3D打印设备打印出的零件内径(单位:μm)X服从正态分布N(105,36).
(1)若该台3D打印设备打印了100件这种零件,记ξ表示这100件零件中内径指标值位于区间[111,117]的产品件数,求E(ξ);
(2)该科技公司到企业安装调试这台3D打印设备后,试打了5个零件,度量其内径分别为(单位:μm):86,95,103,109,118,试问此打印设备是否需要进一步调试,为什么?
参考数据:P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3.
[解] (1)由题意知,μ=105,σ=6,则111=μ+σ,117=μ+2σ.一件产品的质量指标值位于区间[111,117]的概率即为P(μ+σ≤X≤μ+2σ).因为P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,所以P(μ+σ≤X≤μ+2σ)=[P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)-P(μ-σ≤X≤μ+σ)]≈×
(0.954 5-0.682 7)=0.135 9,所以ξ~B(100,0.135 9),所以E(ξ)=100×0.135 9=13.59.
(2)X服从正态正布N(105,36),由于P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3,μ-3σ=105-18=87,μ+3σ=105+18=123,所以内径在[87,123]之外的概率约为0.002 7,为小概率事件,而86 [87,123],且>0.002 7,根据3σ原则,机器异常,需要进一步调试.
反思领悟 服从正态分布的随机变量取值落在[μ-3σ,μ+3σ]之外的概率为0.002 7,几乎不可能发生,称为小概率事件,依据小概率事件在一次试验中几乎不可能发生可作出相应判断.
巩固迁移6 有一种精密零件,其尺寸X(单位:mm)服从正态分布N(20,4),若这批零件共有5 000个,试求:
(1)这批零件中尺寸在18~22 mm间的零件所占的百分比;
(2)若规定尺寸在24~26 mm间的零件不合格,则这批零件中不合格的零件大约有多少个?
参考数据:P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3.
[解] (1)∵X~N(20,4),∴μ=20,σ=2,
∴μ-σ=18,μ+σ=22,
故尺寸在18~22 mm间的零件所占的百分比大约是68.27%.
(2)∵μ-3σ=14,μ+3σ=26,μ-2σ=16,μ+2σ=24,∴尺寸在
24~26 mm间的零件所占的百分比大约是=2.14%,
∴这批零件中不合格的零件大约有5 000×2.14%=107(个).
随堂练习
√
1.(人教A版选择性必修第三册P77练习T2改编)鸡接种一种疫苗后,有90%不会感染某种病毒,如果有5只鸡接种了疫苗,则恰好有4只鸡没有感染病毒的概率约为( )
A.0.33 B.0.66
C.0.5 D.0.45
A [设5只接种疫苗的鸡中没有感染病毒的只数为X,则X~B(5,0.9),所以P(X=4)=×0.94×0.1≈0.33.]
2.(人教A版选择性必修第三册P87习题7.5T2改编)已知随机变量X服从正态分布N(3,1),且P(X>2c-1)=P(X [因为X~N(3,1),所以正态曲线关于x=3对称,且P(X>2c-1)=P(X
3.(2025·山东潍坊模拟)某小组有5名男生、3名女生,从中任选3名同学参加活动,若X表示选出女生的人数,则P(X≥2)=_______.
[当X=2时,P(X=2)==;
当X=3时,P(X=3)==,
则P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)==.]
4.(人教A版选择性必修第三册P80习题7.4T2改编)若某射手每次射击击中目标的概率为0.8,每次射击的结果相互独立,则在他连续4次的射击中,恰好有一次未击中目标的概率是________.
0.409 6 [设事件A=“恰好有一次未击中目标”,则P(A)=×0.83×(1-0.8)=0.409 6.]
0.409 6
【教用·备选题】
1.设随机变量X服从二项分布B,若P(X≥1)=0.998 4,则
D(X)=( )
A.0.16 B.0.32
C.0.64 D.0.84
√
C [随机变量X服从二项分布B,若P(X≥1)=0.998 4,
则P(X=0)=1-P(X≥1)=1-0.998 4=0.001 6=,
则n=4,则D(X)=np(1-p)=4×=0.64.
故选C.]
2.(2024·内江月考)已知离散型随机变量X服从二项分布B,则P(X=2)=( )
A. B.
C. D.
√
A [因为X~B,所以P(X=2)==.
故选A.]
3.已知随机变量X~B,若P(X=k)最大,则D=________.
24 [由题意知:P=·0.26-k·0.8k,
要使P最大,则
解得4.6≤k≤5.6,故k=5.
又D(X)=6×0.8×0.2=0.96,
故D=D=52D(X)=24.]
24
4.已知一个袋子中装有大小、形状完全相同的3个白球和2个黑球.
(1)若从袋中一次任取3个球,设取到的3个球中有X个黑球,求X的分布列及数学期望;
(2)若从袋中每次随机取出一个球,记下颜色后将球放回袋中,重复此过程,直至他连续2次取到黑球才停止,设他在第Y次取球后停止取球,求P.
[解] (1)X可能的取值为0,1,2,P=,其中k=0,
1,2.
所以P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==.
故X的分布列为
X 0 1 2
P
故E=0×+1×+2×=.
(2)当Y=5时知第四、五次取到的是黑球,第三次取到的是白球,前两次不能都取到黑球,
所以所求概率P==.
课后习题(六十六) 二项分布、超几何分布与正态分布
1.(北师大版选择性必修第一册P229复习题六A组T3改编)已知随机变量X~B(4,p),若E(X)+D(X)=,则P(X≥1)=( )
A. B.
C. D.
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
B [因为E(X)+D(X)=,所以4p+4p(1-p)=,
即(p-1)2=,因为0故P(X≥1)=1-P(X=0)=1-=.]
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
2.(多选)(苏教版选择性必修第二册P145复习题T14改编)若袋子中有2个白球、3个黑球(球除了颜色不同,没有其他任何区别),现从袋子中有放回地随机取球4次,每次取一个球.取到白球记1分,取到黑球记0分,记4次取球的总分数为X,则( )
A.X~B B.P(X=3)=
C.E(X)= D.D(X)=
√
√
BCD [由题意知,每次取到白球的概率为,取到黑球的概率为,
由于取到白球记1分,取到黑球记0分,所以X为4次取球取到白球的
个数,易知X~B,故A错误;P(X=3)==,故B正确;E(X)=4×=,故C正确;D(X)=4×=,故D正确.
故选BCD.]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
3.(人教A版选择性必修第三册P87练习T2改编)已知随机变量ξ服从正态分布N(0,σ2),若P(ξ>2)=0.023,则P(-2≤ξ≤2)=( )
A.0.477 B.0.628
C.0.954 D.0.977
√
C [∵μ=0,∴P(ξ>2)=P(ξ<-2)=0.023,
∴P(-2≤ξ≤2)=1-2×0.023=0.954.]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
4.(人教A版选择性必修第三册P78例5改编)在含有3件次品的10件产品中,任取4件,X表示取到的次品的个数,则P(X=2)=________.
[由题意得P(X=2)==.]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
5.(2024·潍坊二模)已知随机变量X~N(3,σ2),且P(X≥4)=0.3,则P(X>2)=( )
A.0.2 B.0.3
C.0.7 D.0.8
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
C [由题意可知其均值为3,2和4关于3对称,
所以P(X≤2)=P(X≥4)=0.3,
因此P(X>2)=1-P(X≤2)=0.7.故选C.]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
6.(多选)(2025·辽宁沈阳高三模拟)若随机变量X服从两点分布,其中P(X=0)=,E(X),D(X)分别为随机变量X的均值与方差,则下列结论正确的是( )
A.P(X=1)=E(X) B.E(3X+2)=4
C.D(3X+2)=4 D.D(X)=
√
√
题号
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AB [由题意可知,P(X=1)=,所以E(X)=0×+1×=,
D(X)==,E(3X+2)=3E(X)+2=4,
D(3X+2)=9D(X)=2,故选AB.]
题号
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7.(2024·北海模拟)端午佳节,小明和小华各自带了一只肉粽子和一只蜜枣粽子.现在两人每次随机交换一只粽子给对方,则两次交换后,小明拥有两只蜜枣粽子的概率为( )
A. B.
C. D.
√
题号
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D [由题意,只能第一次两人交换相同的粽子,第二次小明用肉粽
子换小华的蜜枣粽子,所以P==.]
题号
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8.(多选)(2024·长春南关区月考)袋中有10个大小相同的球,其中6个黑球编号为1,2,3,4,5,6,4个白球编号为7,8,9,10,现从中任取4个球,则下列结论中正确的是( )
A.恰有3个白球的概率为
B.取出的最大号码X服从超几何分布
C.设取出的黑球个数为Y,当Y=2时,概率最大
D.若取出一个白球记2分,取出一个黑球记1分,则总得分最大的
概率为
√
√
√
题号
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ACD [对于A,由题意可知恰有3个白球的概率为=,
故A正确;
对于B,因为取出的最大号码不是某两类对象中的一类对象,不满足超几何分布的定义,
故X不服从超几何分布,故B错误;
对于C,取出的黑球个数Y服从超几何分布,
P(Y=0)==,P(Y=1)==,P(Y=2)==,P(Y=3)==,P(Y=4)==,显然当Y=2时,概率最大,
故C正确;
对于D,若取出一个白球记2分,取出一个黑球记1分,则总得分最大为取出4个白球,
其概率为=,故D正确.故选ACD.]
题号
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9.(2024·上海青浦区模拟)某区学生参加模拟大联考,假如联考的
数学成绩服从正态分布,其总体密度函数为f (x)= ,且
P(70≤X≤100)=0.7,若参加此次联考的学生共有8 000人,则数学
成绩超过100分的人数大约为________.
1 200 [因为总体密度函数为f (x)= ,则μ=85,
由P(70≤X≤100)=0.7得P(X>100)==0.15,
所以超过100分的人数大约为8 000×0.15=1 200.]
1 200
题号
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10.(2024·沈阳期末)从含有6件正品和4件次品的产品中任取3件,记X为所抽取的次品数,则E(X)=________.
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[X的所有可能取值为0,1,2,3,
则P(X=0)==,P(X=1)==,
P(X=2)==,P(X=3)==,故E(X)=0×+1×+2×+3×=.]
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11.(2024·哈尔滨道里区期末)某防护用品生产厂生产的综合过滤件的滤烟效率服从正态分布N(0.97,8.1×10-5)(该厂防毒面具中综合过滤件的滤烟效率需要达到不低于95%的标准).
(1)某质检员随机从生产线抽检10只产品,测量出一只产品的滤烟效率为93%.他立即要求停止生产,检查设备和工人工作状况.请你依据所学知识,判断该质检员要求是否合理,并简要说明判断的依据;
(2)该工厂将滤烟效率达到95.2%以上的综合过滤件定义为“优质品”.
①求该生产线生产的一只综合过滤件为“优质品”的概率;
②该企业生产了1 000只这种综合过滤件,且每只产品相互独立,记X为这1 000只产品中“优质品”的件数,当X为多少件时可能性最大(即概率最大)
参考数据:P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3.
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[解] (1)质检员的要求合理,理由如下:
由已知过滤件的滤烟效率服从正态分布N(0.97,8.1×10-5),
则σ2=8.1×10-5=(9×10-3)2,得σ=9×10-3=0.009,
所以0.93<0.97-0.009×3=0.943,
由3σ原则得,生产的产品中滤烟效率在3σ以外的值,发生的可能性很小,一旦发生,应停止生产.
(2)①设Y为“综合过滤件滤烟效率”,
则一件过滤件为“优质品”的概率为P(Y>0.952)=P(Y>0.97-
2×0.009)=1-≈0.977 25.
②依题意得X~B(1 000,0.977 25),记n=1 000,p=0.977 25,
则P(X=k)=pk(1-p)n-k(k=0,1,2,…,103),
要使可能性最大,
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则即
所以1 001p-1≤k≤1 001p,即977.23≤k≤978.23,
所以k=978,所以当X为978件时可能性最大.
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12.(2025·广州模拟)某商场为了回馈广大顾客,设计了一个抽奖活动,在抽奖箱中放10个大小相同的小球,其中5个为红色,5个为白色.抽奖方式为:每名顾客进行两次抽奖,每次抽奖从抽奖箱中一次性摸出两个小球.如果每次抽奖摸出的两个小球颜色相同即为中奖,两个小球颜色不同即为不中奖.
(1)若规定第一次抽奖后将球放回抽奖箱,再进行第二次抽奖,求中奖次数X的分布列和数学期望;
(2)若规定第一次抽奖后不将球放回抽奖箱,直接进行第二次抽奖,求中奖次数Y的分布列和数学期望;
(3)如果你是商场老板,如何在上述两种抽奖方式中进行选择?请写出你的选择及简要理由.
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[解] (1)若第一次抽奖后将球放回抽奖箱,再进行第二次抽奖,则
每次中奖的概率为=,因为两次抽奖相互独立,所以中奖次数X服从二项分布,即X~B,
所以X的所有可能取值为0,1,2,
则P(X=0)==,
P(X=1)==,P(X=2)==,
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
所以E(X)=2×=.
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(2)若第一次抽奖后不将球放回抽奖箱,直接进行第二次抽奖,中奖次数Y的所有可能取值为0,1,2,
则P(Y=0)==,P(Y=1)==,P(Y=2)==,
所以Y的分布列为
Y 0 1 2
P
所以E(Y)=0×+1×+2×=.
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(3)第(1)(2)两问的数学期望相等,
第(1)问中两次中奖的概率比第(2)问的小,即<,
第(1)问不中奖的概率比第(2)问小,即<.
回答一:若商场老板希望中两次奖的顾客多,产生宣传效应,则选择按第(2)问方式进行抽奖.
回答二:若商场老板希望中奖的顾客多,则选择按第(1)问方式进行抽奖.
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谢 谢 !