《高考快车道》2026版高三一轮总复习数学(基础版)107　第九章　思维进阶14　概率模型的辨识与应用 课件

(共44张PPT)
第九章　计数原理、概率、随机变量及其分布
思维进阶14　概率模型的辨识与应用
高考常考的概率模型有相互独立事件的概率模型、二项分布模型、超几何分布模型和正态分布模型，其中二项分布与超几何分布模型的辨识一直是学生的难点和易错点．
二项分布与超几何分布的区别与联系
超几何分布 二项分布
区别 描述的是不放回抽样问题(总体在变化)，一次性取 描述的是有放回抽样问题(总体不改变)，一个一个地取
超几何分布 二项分布
区别 考察对象分为两类 每一次试验是伯努利试验
已知各类对象的个数
联系 (当总体容量很大时)超几何分布可近似看作二项分布
下面就高考常考的四种概率模型予以辨识说明．
题型一　相互独立事件概率模型
[典例1]　(2024·扶风市期末)某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统计甲、乙、丙三人100米跑(互不影响)的成绩在13 s内(称为合格)的概率分别为，若对这三名短跑运动员的100米跑的成绩进行一次检验，求：
(1)三人都合格的概率；
(2)三人都不合格的概率；
(3)三人中恰有两人合格的概率．
[解]　(1)设甲、乙、丙三人100米跑成绩合格分别为事件A，B，C，显然事件A，B，C相互独立，且P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，设恰有k人合格的概率为Pk(k＝0，1，2，3)，则三人都合格的概率：P3＝P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝＝．
(2)三人都不合格的概率：P0＝P()·P()＝＝．
(3)三人中恰有两人合格的概率：P2＝P(ABBC)＝＝．
反思领悟　相互独立事件概率模型的特征
(1)实际问题中所涉及的若干事件中每一个是否发生互不影响；
(2)因为事件A1，A2，A3，…，An相互独立，则满足·A2·A3·…·An)＝；
(3)求解相互独立事件的概率问题时，常涉及互斥、对立事件的概率求值．
题型二　二项分布概率模型
[典例2]　甲、乙两名运动员进行羽毛球单打比赛，根据以往比赛的胜负情况知道．每一局甲胜的概率为，乙胜的概率为．比赛采用三局两胜制，先胜两局者获胜．商定每局比赛(决胜局第三局除外)胜者得3分，败者得1分；决胜局胜者得2分，败者得0分．已知各局比赛相互独立．
(1)求比赛结束甲得6分的概率；
(2)设比赛结束乙得X分，求随机变量X的分布列与数学期望．
[解]　(1)记事件A为“比赛结束甲得6分”，
则事件A为“乙以0∶2败给甲或乙以1∶2败给甲”，
所以P(A)＝＝＝．
所以比赛结束甲得6分的概率为．
(2)由题意得，X可取2，4，6，
则P(X＝2)＝＝，P(X＝4)＝＝，
P(X＝6)＝＝，
即X的分布列为
X 2 4 6
P
所以E(X)＝2×＋4×＋6×＝．
反思领悟　二项分布概率模型的特征
(1)在每一次试验中，试验结果只有两个，即发生与不发生；
(2)各次试验中的事件是相互独立的；
(3)在每一次试验中，事件发生的概率保持不变．
题型三　超几何分布概率模型
[典例3]　(2024·河南安阳高三期末)不负青山，力换“金山”，民宿旅游逐渐成为一种热潮，山野乡村的民宿深受广大旅游爱好者的喜爱．某地区结合当地资源，按照“山上生态做减法、山下产业做加法”的思路，科学有序地发展环山文旅康养产业，温泉度假小镇、环山绿道、农家乐提档升级、特色民宿群等一批生态产业项目加快实施．为了在节假日接待好游客，该地旅游局对本地区各乡村的普通型民宿和品质型民宿进行了调研，随机抽取了10家乡村民宿，统计得到各家的房间数如下表：
(1)若旅游局随机从乙、丙2家各选2间民宿进行调研，求选出的4间均为普通型民宿的概率；
(2)从这10家中随机抽取4家民宿，记其中普通型民宿的房间不低于17间的有X家，求X的分布列和数学期望．
民宿 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸
普通型民宿 19 5 4 17 13 18 9 20 10 15
品质型民宿 6 1 2 10 11 10 9 12 8 5
[解]　(1)设“从乙家选2间民宿，选到的2间民宿为普通型”为事件A；“从丙家选2间民宿，选到的2间民宿为普通型”为事件B，
所以选出的4间均为普通型民宿的概率为P(AB)＝P(A)P(B)＝＝．
(2)这10家民宿，其中普通型民宿的房间不低于17间的有4家，随机
变量X的可能取值有0，1，2，3，4，则P(X＝0)＝＝＝，
P(X＝1)＝＝＝，P(X＝2)＝＝＝，
P(X＝3)＝＝＝，P(X＝4)＝＝，
即X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝＝1.6．
反思领悟　解决超几何分布问题的两个关键点
(1)超几何分布是概率分布的一种形式，一定要注意公式中字母的范围及其意义，解决问题时可以直接利用公式求解，但不能机械地记忆．
(2)超几何分布中，只要知道M，N，n就可以利用公式求出X取不同k的概率P(X＝k)，从而求出X的分布列，利用均值、方差的定义求出随机变量的均值和方差．
题型四　二项分布与超几何分布的区别
[典例4]　某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，对该流水线上的产品进行简单随机抽样，获得数据如下表：
分组区间 (单位：克) [490， 495) [495， 500) [500， 505) [505， 510) [510，
515]
产品件数 3 4 7 5 1
包装质量在[495，510)克的产品为一等品，其余为二等品．
(1)估计从该流水线任取一件产品为一等品的概率；
(2)从上述抽取的样本产品中任取2件，设X为一等品的产品数量，求X的分布列；
(3)从该流水线上任取2件产品，设Y为一等品的产品数量，求Y的分布列；试比较期望E(X)与期望E(Y)的大小．(结论不要求证明)
[解]　(1)样本中一共有3＋4＋7＋5＋1＝20(件)产品，包装质量在[495，510)克的产品有4＋7＋5＝16(件)，故从该流水线任取一件产
品为一等品的概率P＝＝．
(2)依题意X的可能取值为0，1，2，
P(X＝2)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝0)＝＝，
故X的分布列为
X 0 1 2
P
(3)由(2)可得E(X)＝2×＋1×＋0×＝．
依题意Y～B，则Y的可能取值为0，1，2，
P(Y＝2)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝0)＝＝，
故Y的分布列为
Y 0 1 2
P
所以E(Y)＝2×＝．
所以E(Y)＝E(X)．
反思领悟　1．n次试验中，某一事件A出现的次数X可能服从超几何分布或二项分布．当这n次试验是独立重复试验时，X服从二项分布；当这n次试验是不放回摸球模型问题时，事件A为摸到某种特性(如某种颜色)的球时，X服从超几何分布．
2．在不放回n次摸球试验中，摸到某种颜色球的次数X服从超几何分布，但是当袋子中的球的数目N很大时，X的分布列近似于二项分布，并且随着N的增加，这种近似的精度也增加．
从以上分析可以看出两者之间的联系：
当调查研究的样本容量非常大时，在有放回地抽取与无放回地抽取条件下，计算得到的概率非常接近，可以近似把超几何分布认为是二项分布．
超几何分布与二项分布是有联系的，看它们的期望公式：
(1)在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，随机变量X服从超几何分布，超几何分布的期望计算公式为E(X)＝．
(2)随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，E(X)＝np．
当超几何分布中的N→＋∞时，→p，此时可以把超几何分布中的不放回抽样问题，近似看作是有放回抽样问题，再次说明N→＋∞时，可以把超几何分布看作二项分布．
题型五　正态分布模型
[典例5]　(2024·益阳安化县期末)随着网络技术的迅速发展，各种购物群成为网络销售的新渠道．2024年11月某地脐橙开始采摘上市，一脐橙基地随机抽查了100个购物群的销售情况，各购物群销售脐橙的情况如下：
脐橙数 量/盒 [100， 200) [200， 300) [300， 400) [400， 500) [500，
600]
购物群 数量/个 12 18 m 32 18
(1)求实数m的值，并用组中值(每组的中点值)估计这100个购物群销售脐橙总量的平均数；
(2)假设所有购物群销售脐橙的数量X～N(μ，σ2)，其中μ为(1)中的平均数，σ2＝14 400．若该脐橙基地参与销售的购物群约有1 000个，销售的脐橙在[256，616](单位：盒)内的群为“A级群”，销售数量小于256盒的购物群为“B级群”，销售数量大于616盒的购物群为“特级群”，该脐橙基地对每个“特级群”奖励600元，每个“A级群”奖励100元，对“B级群”不奖励，则该脐橙基地大约需要准备多少奖金？(群的个数按四舍五入取整数)
附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3．
[解]　(1)由题意得，12＋18＋m＋32＋18＝100，解得m＝20，
则这100个购物群销售脐橙总量的平均数为：(150×12＋250×18＋
350×20＋450×32＋550×18)＝376．
(2)由题意，μ＝376，σ＝120，则256＝μ－σ，616＝μ＋2σ，
故P(256≤X≤616)＝P(μ－σ≤X≤μ＋2σ)＝×P(μ－σ≤X≤μ＋σ)＋×P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈×0.682 7＋×0.954 5＝0.818 6，
故“A级群”约有1 000×0.818 6＝818.6≈819(个)，
P(X>616)＝P(X>μ＋2σ)＝[1－P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)]≈(1－0.954 5)≈0.023，
故“特级群”约有1 000×0.023＝23(个)，
则依题意，需要资金为819×100＋23×600＝95 700(元)，即该脐橙基地大约需要准备95 700元．
反思领悟　解答正态分布的实际应用题，其关键是利用图象的对称性，由μ，σ把分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出概率．在此过程中用到转化和数形结合思想．
进阶训练(十四)　概率模型的辨识与应用
1．已知某公司生产的风干牛肉干是按包销售的，每包牛肉干的质量M(单位：g)服从正态分布N(250，σ2)，且P(M＜248)＝0.1．
(1)若从公司销售的牛肉干中随机选取3包，求这3包中恰有2包质量不小于248 g的概率；
(2)若从公司销售的牛肉干中随机选取K(K为正整数)包，记质量在248 g～252 g的包数为X，且D(X)＞320，求K的最小值．
题号
1
3
5
2
4
[解]　(1)因为P(M＜248)＝0.1，所以P(M≥248)＝1－0.1＝0.9，
则这3包中恰有2包质量不小于248 g的概率为×0.92×0.1＝0.243．
(2)因为P(M＜248)＝0.1，所以P(248＜M＜252)＝(0.5－0.1)×2＝0.8．
依题意可得 X～B(K，0.8)，
所以D(X)＝K×0.8×(1－0.8)＝0.16K，
因为D(X)＞320，所以K＞2 000，
又K为正整数，所以K的最小值为2 001．
题号
1
3
5
2
4
2．(2024·眉山市东坡区期末)眉山市位于四川西南，有“千载诗书城，人文第一州”的美誉，这里是大文豪苏轼、苏洵、苏辙的故乡，也是人们旅游的好地方．在今年的国庆黄金周，为了丰富游客的文化生活，每天在东坡故里三苏祠举行“三苏文化”知识竞赛．已知甲、乙两队参赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，且各人回答正确与否相互之间没有影响．
(1)分别求甲队总得分为0分，2分的概率；
(2)求甲队得2分，乙队得1分的概率．
题号
1
3
5
2
4
[解]　(1)记“甲队总得分为0分”为事件A，“甲队总得分为2分”为事件B，
甲队总得分为0分，即甲队三人都回答错误，
其概率P(A)＝＝．
甲队总得分为2分，即甲队三人中有1人答错，其余两人答对，
其概率P(B)＝＝．
题号
1
3
5
2
4
(2)记“乙队得1分”为事件C，“甲队得2分，乙队得1分”为事件D，
事件C即乙队三人中有2人答错，其余1人答对，
则P(C)＝＝，
甲队得2分，乙队得1分即事件B，C同时发生，
则P(D)＝P(B)P(C)＝＝．
题号
1
3
5
2
4
3．(2025·广西玉林统考模拟)某地区期末进行了统一考试，为做好本次考试的评价工作，现从中随机抽取了50名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40至100之间，将数据按照[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图．
题号
1
3
5
2
4
(1)求频率分布直方图中m的值；在这50名学生中用分层随机抽样的方法从成绩在[70，80)，[80，90)，[90，100]的三组中抽取了11人，再从这11人中随机抽取3人，记X为3人中成绩在[80，90)的人数，求P(X＝1)；
(2)规定成绩在的为A等级，成绩在[70，90)的为B等级，其他为C等级．以样本估计总体，用频率代替概率．从所有参加考试的同学中随机抽取3人，求获得B等级的人数不少于2的概率．
题号
1
3
5
2
4
[解]　(1)∵(0.004＋0.022＋0.030＋0.028＋m＋0.004)×10＝1，
∴m＝0.012．
∵成绩在[70，80)，[80，90)，的频率之比为0.28∶0.12∶0.04＝7∶3∶1，
∴抽取的11人中，成绩在[80，90)的人数为11×＝3，
∴P(X＝1)＝＝．
题号
1
3
5
2
4
(2)用频率估计概率，获得B等级的概率为(0.028＋0.012)×10＝0.4＝，
记抽取的3人中，获得B等级的人数为Y，则Y～，
∴P(Y≥2)＝P(Y＝2)＋P(Y＝3)＝＝，即获得B等级的人数不少于2的概率为．
题号
1
3
5
2
4
4．为庆祝建军节的到来，某校举行“强国强军”知识竞赛．该校某班经过层层筛选，还有最后一个参赛名额要在A，B两名学生中产生，该班委设计了一个选拔方案：A，B两名学生各自从6个问题中随机抽取3个问题作答．已知这6个问题中，学生A能正确回答其中的4个问题，而学生B能正确回答每个问题的概率均为．A，B两名学生对每个问题回答正确与否都是相互独立的．
(1)分别求A，B两名学生恰好答对2个问题的概率；
(2)设A答对的题数为X，B答对的题数为Y，若让你投票决定参赛选手，你会选择哪名学生？请说明理由．
题号
1
3
5
2
4
[解]　(1)由题意，知A恰好答对2个问题的概率为P1＝＝，
B恰好答对2个问题的概率为
P2＝＝．
题号
1
3
5
2
4
(2)X的可能取值为1，2，3，则P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，所以E(X)＝1×＋2×＋3×＝2，
D(X)＝(1－2)2×＋(2－2)2×＋(3－2)2×＝．
易知Y～B，所以E(Y)＝3×＝2，D(Y)＝3×＝．
因为E(X)＝E(Y)，D(X)题号
1
3
5
2
4
5．某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量(单位：克)，质量的分组区间为[490，495]，(495，500]，…，(510，515]．由此得到样本的频率分布直方图(如图)．
(1)根据频率分布直方图，求质量超过505克的产
品数量；
(2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设X为质
量超过505克的产品数量，求X的分布列；
(3)从该流水线上任取2件产品，设Y为质量超过
505克的产品数量，求Y的分布列．
题号
1
3
5
2
4
[解]　(1)质量超过505克的产品的频率为5×0.05＋5×0.01＝0.3，
所以质量超过505克的产品数量为40×0.3＝12．
(2)质量超过505克的产品数量为12，则质量未超过505克的产品数量为28，X的取值为0，1，2，X服从超几何分布．
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
题号
1
3
5
2
4
(3)根据样本估计总体的思想，取一件产品，该产品的质量超过505克的概率为＝．
从流水线上任取2件产品互不影响，该问题可看成2重伯努利试
验，质量超过505克的件数Y的可能取值为0，1，2，且Y～B，P(Y＝k)＝，k＝0，1，2．
题号
1
3
5
2
4
题号
1
3
5
2
4
所以P(Y＝0)＝＝，
P(Y＝1)＝＝，
P(Y＝2)＝＝．
所以Y的分布列为
Y 0 1 2
P
谢 谢 ！