《高考快车道》2026版高三一轮总复习数学(基础版)108　第九章　阶段提能(十七)　随机事件的概率　离散型随机变量的数字特征 课件

(共44张PPT)
第九章　计数原理、概率、随机变量及其分布
阶段提能(十七)　随机事件的概率　离散型随机变量的数字特征
1．(人教A版选择性必修第三册P53习题7.1T5)在A，B，C三个地区暴发了流感，这三个地区分别有6%，5%，4%的人患了流感．假设这三个地区的人口数的比为5∶7∶8，现从这三个地区中任意选取一个人．
(1)求这个人患流感的概率；
(2)如果此人患流感，求此人选自A地区的概率．
题号
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题号
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[解]　(1)记事件D：“选取的这个人患了流感”，事件E：“此人来自A地区”，事件F：“此人来自B地区”，事件G：“此人来自C地区”，由题意可得P(E)＝＝0.25，P(F)＝＝0.35，P(G)＝＝0.4，P(D|E)＝0.06，P(D|F)＝0.05，P(D|G)＝0.04，
由全概率公式可得P(D)＝P(E)P(D|E)＋P(F)·P(D|F)＋P(G)P(D|G)＝0.25×0.06＋0.35×0.05＋0.4×0.04＝0.048 5．
(2)由条件概率公式可得P(E|D)＝＝＝＝．
题号
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2．(人教A版选择性必修第三册P81习题7.4T7)一个车间有3台车床，它们各自独立工作．设在一段时间内发生故障的车床数为X，在下列两种情形下分别求X的分布列．
(1)假设这3台车床型号相同，它们发生故障的概率都是20%；
(2)这3台车床中有A型号2台，B型号1台，A型车床发生故障的概率为10%，B型车床发生故障的概率为20%．
题号
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[解]　(1)由题意知X～B(3，0.2)，
且P(X＝0)＝(1－0.2)3＝0.512，
P(X＝1)＝0.2×(1－0.2)2＝0.384，
P(X＝2)＝0.22×(1－0.2)＝0.096，
P(X＝3)＝0.23＝0.008．
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P 0.512 0.384 0.096 0.008
(2)由题意知，X的可能取值为0，1，2，3，且
P(X＝0)＝0.92×0.8＝0.648，
P(X＝1)＝×0.1×0.9×0.8＋0.92×0.2＝0.144＋0.162＝0.306，
P(X＝2)＝×0.1×0.9×0.2＝0.008＋0.036＝0.044，
P(X＝3)＝0.12×0.2＝0.002，
所以X的分布列为
题号
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X 0 1 2 3
P 0.648 0.306 0.044 0.002
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3．(北师大版选择性必修第一册P219习题6－4A组T6)袋中有除颜色外完全相同的2个白球和3个黑球．
(1)采取放回抽样方式，从中依次摸出两个球，求两个球颜色不同的概率；
(2)采取不放回抽样方式，从中依次摸出两个球，求在第一次摸到黑球的条件下，第二次摸到黑球的概率；
(3)采取放回抽样方式，从中依次摸出两个球，记X为摸出的白球个数，求X的分布列、均值和方差；
(4)采取不放回抽样方式，从中依次摸出两个球，记Y为摸出的白球个数，求Y的分布列、均值和方差．
题号
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[解]　(1)记“摸出一球，放回后再摸出一个球，两球颜色不同”为
事件A，摸出一球是白球的概率为，摸出一球是黑球的概率为，
所以P(A)＝＝．
(2)记事件B为“第一次摸到黑球”，事件C为“第二次摸到黑球”，
依题意知P(B)＝，P(BC)＝＝，
所以在第一次摸到黑球的条件下，第二次摸到黑球的概率为P(C|B)＝＝．
(3)由题意，X的取值为0，1，2，则
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝．
X的分布列为
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝，
D(X)＝＝．
X 0 1 2
P
题号
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(4)由题意，Y的取值为0，1，2，则
P(Y＝0)＝＝，P(Y＝1)＝＝，
P(Y＝2)＝＝．
Y的分布列为
所以E(Y)＝0×＋1×＋2×＝，
D(Y)＝＝．
Y 0 1 2
P
题号
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题号
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4．(人教B版必修第二册P129习题5－4BT4)甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品且乙机床加工的零件不是一等品的概率为，乙机床加工的零件是一等品且丙机床加工的零件不是一等
品的概率为，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为．
(1)分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；
(2)从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率．
题号
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[解]　(1)设事件A，B，C分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零
件是一等品，由题知即
又P(A)，P(B)，P(C)均大于0，所以P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝．
即甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率分别是．
(2)记事件D为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品，则P(D)＝1－P()＝1－[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)]＝1－＝．
故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的概率为．
题号
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题号
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5．(多选)(2024·新高考Ⅰ卷)随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口．为了解推动出口后的亩收入(单位：万元)情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值＝2.1，样本方差s2＝0.01，已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N(1.8，0.12)，假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N(，s2)，则(　　)(若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，P(Z<μ＋σ)≈0.841 3)
A．P(X>2)>0.2 B．P(X>2)<0.5
C．P(Y>2)>0.5 D．P(Y>2)<0.8
√
√
题号
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BC　[依题可知，＝2.1，s2＝0.01，所以Y～N(2.1，0.12)，
故P(Y>2)＝P(Y>2.1－0.1)＝P(Y<2.1＋0.1)≈0.841 3>0.5，C正确，D错误；
因为X～N(1.8，0.12)，所以P(X>2)＝P(X>1.8＋2×0.1)．
因为P(X<1.8＋0.1)≈0.841 3，
所以P(X>1.8＋0.1)≈1－0.841 3＝0.158 7<0.2，
而P(X>2)＝P(X>1.8＋2×0.1)1.8＋0.1)<0.2，B正确，A错误．故选BC．]
题号
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6．(2023·全国甲卷)某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为(　　)
A． B．
C． D．
√
题号
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D　[记高一年级2名学生分别为a1，a2，高二年级2名学生分别为b1，b2，则从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演的样本点有(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(b1，b2)，共6个，其中这2名学生来自不同年级的样本点有(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，
b1)，(a2，b2)，共4个，所以这2名学生来自不同年级的概率P＝＝．故选D．]
题号
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7．(2022·新高考Ⅰ卷)从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为(　　)
A． B．
C． D．
√
题号
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D　[从2至8的7个整数中随机取2 个不同的数，共有＝21(种)不同的取法，若两数不互质，不同的取法有：(2，4)，(2，6)，(2，8)，(3，6)，(4，6)，(4，8)，(6，8)，共7种，故所求概率P＝＝．
故选D．]
题号
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8．(2022·全国甲卷)从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为(　　)
A． B．
C． D．
√
题号
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C　[从6张卡片中无放回抽取2张，共有＝15(种)情况，其中数字之积为4的倍数的有
，共6种情况，故所求概率为＝．故选C．]
题号
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9．(2024·上海卷)某校举办科学竞技比赛，有A，B，C 3种题库，A题库有5 000道题，B题库有4 000道题，C题库有3 000道题．小申已完成所有题，他A题库的正确率是0.92，B题库的正确率是0.86，C题库的正确率是0.72．现他从所有的题中随机选一题，正确率是________．
0.85
题号
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0.85　[由题意知，A，B，C题库的比例为5∶4∶3,
各占比分别为，
则根据全概率公式知所求正确率P＝×0.92＋×0.86＋×0.72＝
0.85．]
题号
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10．(2023·天津卷)甲、乙、丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比为5∶4∶6．这三个盒子中黑球占总数的比例分别为40%，25%，50%．现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为________；将三个盒子中的球混合后任取一个球，是白球的概率为________．
题号
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　[法一：设A＝“从甲盒子中取一个球，是黑球”，B＝“从乙盒子中取一个球，是黑球”，C＝“从丙盒子中取一个球，是黑球”，由题意可知P(A)＝40%＝，P(B)＝25%＝，P(C)＝50%＝，现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝＝．设D1＝“取到的球是甲盒子中的”，D2＝“取到的球是乙盒子中的”，D3＝“取到的球是丙盒子中的”，E＝“取到的球是白球”，由题意可知P(D1)＝＝，P(D2)＝＝，P(D3)＝＝，P(E|D1)＝1－＝，P(E|D2)＝1－＝，P(E|D3)＝1－＝，所以P(E)＝P(D1E＋D2E＋D3E)＝P(D1E)＋P(D2E)＋P(D3E)＝P(D1)P(E|D1)＋P(D2)·P(E|D2)＋P(D3)P(E|D3)＝＝．
法二：设甲、乙、丙三个盒子中的球的个数分别为5，4，6，其中甲盒子中黑球的个数为2，白球的个数为3；乙盒子中黑球的个数为1，白球的个数为3；丙盒子中黑球的个数为3，白球的个数为3．则从三个盒子中各取一个球，共有5×4×6种结果，其中取到的三个球都是黑球有2×1×3种结果，所以取到的三个球都是黑球的概率为＝．将三个盒子中的球混合在一起共有5＋4＋6＝15(个)球，其中白球共有3＋3＋3＝9(个)，所以混合后任取一个球，共有15种结果，其中取到白球有9种结果，所以混合后任取一个球，是白球的概率为＝．]
题号
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11．(2024·北京卷)某保险公司为了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同保险期限届满的保单中随机抽取1 000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表：
索赔次数 0 1 2 3 4
保单份数 800 100 60 30 10
假设：一份保单的保费为0.4万元；前三次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元．
假设不同保单的索赔次数相互独立．用频率估计概率．
(1)估计一份保单索赔次数不少于2的概率；
(2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差．
(ⅰ)记X为一份保单的毛利润，估计X的数学期望E(X)；
(ⅱ)如果无索赔的保单的保费减少4%，有索赔的保单的保费增加20%，试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与(ⅰ)中E(X)估计值的大小．(结论不要求证明)
题号
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[解]　(1)法一(直接法)：记“随机抽取一份保单，索赔次数不少于2”为事件A，
由索赔次数不少于2，知索赔次数为2，3，4，
所以P(A)＝＝＝．
法二(间接法)：记“随机抽取一份保单，索赔次数不少于2”为事件A，由索赔次数不少于2，知可利用间接法计算，
则P(A)＝1－＝．
(2)(ⅰ)由题知X的所有可能取值为0.4，－0.4，－1.2，－2.0，－2.6，
则P(X＝0.4)＝＝0.8，
P(X＝－0.4)＝＝0.1，
P(X＝－1.2)＝＝0.06，
P(X＝－2.0)＝＝0.03，
P(X＝－2.6)＝＝0.01，
故E(X)＝0.4×0.8－0.4×0.1－1.2×0.06－2.0×0.03－2.6×0.01＝0.122．
题号
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(ⅱ)如果无索赔的保单的保费减少4%，有索赔的保单的保费增加20%，这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值比(ⅰ)中E(X)估计值大．
(证明如下：
设调整保费后一份保单的毛利润(单位：万元)为Y，则
对于索赔次数为0的保单，Y＝0.4×(1－4%)＝0.384，
对于索赔次数为1的保单，Y＝0.4×(1＋20%)－0.8＝－0.32，
对于索赔次数为2的保单，Y＝－0.32－0.8＝－1.12，
对于索赔次数为3的保单，Y＝－1.12－0.8＝－1.92，
对于索赔次数为4的保单，Y＝－1.92－0.6＝－2.52，
故E(Y)＝0.384×0.8－0.32×0.1－1.12×0.06－1.92×0.03－2.52×0.01＝0.125 2．
所以E(X)题号
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12．(2023·新高考Ⅰ卷)甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．
(1)求第2次投篮的人是乙的概率；
(2)求第i次投篮的人是甲的概率；
(3)已知：若随机变量Xi服从两点分布，且P(Xi＝1)＝1－P(Xi＝0)＝qi，i＝1，
2，…，n，则E．记前n次(即从第1次到第n次投篮)中甲投篮的次
数为Y，求E(Y)．
题号
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[解]　(1)记“第2次投篮的人是乙”为事件A，“第1次投篮的人是甲”为事件B，则A＝BA＋A，
所以P(A)＝P(BA＋)＝0.5×(1－0.6)＋0.5×0.8＝0.6．
(2)设第i次投篮的人是甲的概率为pi，由题意可知，p1＝，pi＋1＝pi×0.6＋(1－
pi)×(1－0.8)，即pi＋1＝0.4pi＋0.2＝pi＋，
所以pi＋1－＝，又p1－＝＝，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以pi－＝，所以pi＝．
(3)设第i次投篮时甲投篮的次数为Xi，则Xi的可能取值为0或1，当Xi＝0时，表示第i次投篮的人是乙，当Xi＝1时，表示第i次投篮的人是甲，所以P(Xi＝1)＝pi，P(Xi＝0)＝1－pi，所以E(Xi)＝pi．
Y＝X1＋X2＋X3＋…＋Xn，
则E(Y)＝E(X1＋X2＋X3＋…＋Xn)＝p1＋p2＋p3＋…＋pn，
由(2)知，pi＝，
所以E(Y)＝p1＋p2＋p3＋…＋pn＝＝＝．
题号
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【教用·备选题】
1．(2023·全国甲卷)某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰，50%的同学爱好滑雪，70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪．在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为(　　)
A．0.8 B．0.6
C．0.5 D．0.4
√
A　[法一(图示法)：如图，左圆表示爱好滑
冰的学生所占比例，右圆表示爱好滑雪的学
生所占比例，A表示爱好滑冰但不爱好滑雪
的学生所占比例，B表示既爱好滑冰又爱好
滑雪的学生所占比例，C表示爱好滑雪但不爱好滑冰的学生所占比例，则0.6＋0.5－B＝0.7，所以B＝0.4，C＝0.5－0.4＝0.1．所以若
该学生爱好滑雪，则他也爱好滑冰的概率为＝＝0.8．故选A．
法二(运用条件概率的计算公式求解)：令事件A，B分别表示该学生爱好滑冰、该学生爱好滑雪，事件C表示该学生爱好滑雪的条件下也爱好滑冰，则P(A)＝0.6，P(B)＝0.5，P(AB)＝P(A)＋P(B)－0.7＝
0.4，所以P(C)＝P(A|B)＝＝＝0.8．故选A．]
2．(多选)(2023·新高考Ⅱ卷)在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为α(0<α<1)，收到0的概率为1－α；发送1时，收到0的概率为β(0<β<1)，收到1的概率为1－β．考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次；三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码(例如，若依次收到1，0，1，则译码为1)．(　　)
A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为(1－α)(1－β)2
B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为
β(1－β)2
C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为β(1－β)2＋
(1－β)3
D．当0<α<0.5时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率
√
√
√
ABD　[由题意，发0收1的概率为α，发0收0的概率为1－α；发1收0的概率为β，发1收1的概率为1－β．对于A，发1收1的概率为1－β，发0收0的概率为1－α，发1收1的概率为1－β，所以所求概率为(1－α)(1－β)2，故A选项正确；对于B，相当于发了1，1，1，收到1，0，1，则概率为(1－β)β(1－β)＝β(1－β)2，故B选项正确；对于C，相当于发了1，1，1，收到1，1，0或1，0，1或0，1，1或1，1，1，则概率为(1－β)3＝3β(1－β)2＋(1－β)3，故C选项不正确；对于D，发送0，采用三次传输方案译码为0，相当于发0，0，0，收到0，0，1或0，1，0或1，0，0或0，0，0，则此方案的概率P1＝(1－α)3＝3α(1－α)2＋(1－α)3；发送0，采用单次传输方案译码为0的概率P2＝1－α，当0<α<0.5时，P1－P2＝3α(1－α)2＋(1－α)3－(1－α)＝α(1－α)(1－2α)>0，故D选项正确．
故选ABD．]
3．(2024·新高考Ⅰ卷)甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8．两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片(弃置的卡片在此后的轮次中不能使用)．则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为________．
　
　[因为甲出卡片1一定输，出其他卡片有可能赢，所以四轮比赛后，甲的总得分最多为3．
若甲的总得分为3，则甲出卡片3，5，7时都赢，所以只有1种组合：3－2，5－4，7－6，1－8．
若甲的总得分为2，有以下三类情况：
第一类，当甲出卡片3和5时赢，只有1种组合，为3－2，5－4，1－6，7－8；
第二类，当甲出卡片3和7时赢，有3－2，7－4，1－6，5－8或3－2，7－4，1－8，5－6或3－2，7－6，1－4，5－8，共3种组合；
第三类，当甲出卡片5和7时赢，有5－2，7－4，1－6，3－8或5－2，7－4，1－8，3－6或5－4，7－2，1－6，3－8或5－4，7－2，1－8，3－6或5－2，7－6，1－4，3－8或5－2，7－6，1－8，3－4或5－4，7－6，1－2，3－8，共7种组合．
综上，甲的总得分不小于2共有12种组合，而所有不同的组合共有
4×3×2×1＝24(种)，所以甲的总得分不小于2的概率P＝＝．]
谢 谢 ！