《高考快车道》2026版高三一轮总复习数学(基础版)109　第九章　滚动测试卷(六)　第一～九章 课件

(共48张PPT)
第九章　计数原理、概率、随机变量及其分布
滚动测试卷(六)　第一～九章
单元检测(一)
题号
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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合A＝{x|y＝}，B＝{－1，0，1，2，3}，则A∩B＝
(　　)
A．{－1，0，1，2} B．{－1，0，1，2，3}
C．{－1，0，1} D．(－1，2]
B　[因为集合A＝{x|y＝}＝{x|x∈R}，所以A∩B＝{－1，0，1，2，3}．故选B．]
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2．已知x∈R，p：“x2－x>0”，q：“x>1”，则p是q的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
B　[x2－x>0，即x(x－1)>0，解得x>1或x<0，所以p：“x>1或x<0”，故由p推不出q，即充分性不成立；由q能推出p，即必要性成立，所以p是q的必要不充分条件．故选B．]
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3．在展开式中，常数项的二项式系数为(　　)
A．4 B．3
C．2 D．1
A　[二项式的展开式的通项Tk＋1＝x4-k＝
x4-4k，k∈N，k≤4，
由4－4k＝0，得k＝1，则的展开式的常数项是第2项，
所以常数项的二项式系数为＝4．
故选A．]
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4．已知P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈
0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3．某体育器材厂生产一批篮球，单个篮球的质量Y(单位：克)服从正态分布N(600，4)，从这一批篮球中随机抽检300个，则被抽检的篮球的质量不小于596克的个数约为(　　)
A．286 B．293
C．252 D．246
√
B　[由题意得μ＝600，σ＝＝2，
P(Y≥596)＝P(Y≥μ－2σ)＝0.5＋≈0.977 25，
0.977 25×300＝293.175≈293，
所以被抽检的篮球的质量不小于596克的个数约为293．
故选B．]
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5．已知随机事件A，B满足P(A)＝，P(B)＝，P(A∪B)＝，则P(A∩B)＝(　　)
A． B．
C． D．
D　[随机事件A，B满足P(A)＝，P(B)＝，P(A∪B)＝，
则P(A∩B)＝P(A)＋P(B)－P(A∪B)＝＝．故选D．]
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6．已知正四棱台ABCD-A1B1C1D1的上、下底面边长分别为1和2，且BB1⊥DD1，则该棱台的体积为(　　)
A． B．
C． D．
B　[在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，连接D1B1，DB，分别取D1B1，DB的中点O，H，连接OH，D1H，如图所示．
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因为棱台ABCD-A1B1C1D1为正四棱台，所以四边形ABCD，A1B1C1D1均为正方形，且OH垂直于上、下底面，DD1＝BB1，易知D1B1∥BH，D1B1＝BH＝，故四边形D1B1BH为平行四边形，则BB1∥D1H，BB1＝D1H．因为DD1⊥BB1，则DD1⊥D1H，又DD1＝BB1＝D1H，且DH＝DB＝，由D1D2＋D1H2＝DH2，即2D1H2＝2，解得D1H＝1．又OH⊥平面A1B1C1D1，D1O 平面A1B1C1D1，所以
OH⊥D1O，则OH＝＝＝，又正方形A1B1C1D1的面
积为1，正方形ABCD的面积为4，故正四棱台ABCD-A1B1C1D1的体积V＝×(1＋
4＋)×＝．故选B．]
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7．袋子中有9个除颜色外完全相同的小球，其中5个红球，4个黄球．若从袋子中任取3个球，则在摸到的球颜色不同的条件下，最终摸球的结果为2红1黄的概率为(　　)
A． B．
C． D．
B　[记摸到的球颜色不同为事件A，摸到2红1黄为事件B，
则P(A)＝＝，P(AB)＝＝，
所以P(B|A)＝＝＝．故选B．]
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8．已知α，β是函数f (x)＝3sin －2在上的两个零点，则cos (α－β)＝(　　)
A． B．
C． D．
A　[令f (x)＝0，得3sin ＝2，即sin ＝，因为x∈，所以2x＋∈，因为α，β是函数f (x)＝3sin －2在上的两个零点，则α，β是sin ＝在上的两个根，所以2α＋＋2β＋＝π，即α＋β＝，故α＝－β，则cos (α－β)＝cos ＝cos ＝cos ＝sin ＝．故选A．]
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二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．袋子中有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中随机取出两个球，设事件A＝“取出的球的数字之积为奇数”，事件B＝“取出的球的数字之积为偶数”，事件C＝“取出的球的数字之和为偶数”，则(　　)
A．事件A与B是互斥事件 B．事件A与B是对立事件
C．事件B与C是互斥事件 D．事件B与C相互独立
√
AB　[由题意知，从袋子中随机取出两个球包含的样本点为(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，6)，共15个，其中事件A包含的样本点为(1，3)，
(1，5)，(3，5)，共3个，故P(A)＝＝，事件B包含的样本点为(1，2)，(1，
4)，(1，6)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，4)，(3，6)，(4，5)，(4，
6)，(5，6)，共12个，故P(B)＝＝，事件C包含的样本点为(1，3)，(1，5)，
(2，4)，(2，6)，(3，5)，(4，6)，共6个，故P(C)＝＝．因为事件A∩B＝ ，A∪B＝Ω，故事件A与B互斥且对立，故A，B正确；因为事件B与C有相同的样本点(2，4)，(2，6)，(4，6)，所以事件B与C不是互斥事件，故C错误；因为
P(BC)＝＝，P(B)P(C)＝＝≠， 所以事件B与C不相互独立，故D错
误．故选AB．]
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10．等差数列{an}中，a1>0，则下列命题正确的是(　　)
A．若a3＋a7＝4，则S9＝18
B．若S15>0，S16<0，则
C．若a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，则a7＋a8＝25
D．若a8＝S10，则S9>0，S10<0
√
√
ACD　[等差数列{an}中，a1>0，对于A，S9＝＝＝＝18，故A正确；对于B，因为S15＝＝＝15a8>0，S16＝＝8(a8＋a9)<0，所以a8>0，a8＋a9<0，所以a9<
－a8<0，所以＝(a8＋a9)(a8－a9)<0，即，故B不正
确；对于C，设等差数列{an}的公差为d，由
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得解得
所以a7＋a8＝a1＋6d＋a1＋7d＝2a1＋13d＝25，故C正确；对于D，
由a8＝S10，得a1＋7d＝10a1＋45d，解得d＝－a1，则S9＝9a1＋36d＝9＝a1>0，S10＝10a1＋45d＝5＝
－a1<0，故D正确．故选ACD．]
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11．某校在运动会期间进行了一场“不服来战”对抗赛，由篮球专业的1名体育生组成甲组，3名非体育生的篮球爱好者组成乙组，两组进行对抗比赛．具体规则为甲组的同学连续投球3次，乙组的同学每人各投球1
次．若甲组同学和乙组3名同学的命中率依次为，则(　　)
A．乙组同学恰好命中2次的概率为
B．甲组同学恰好命中2次的概率小于乙组同学恰好命中2次的概率
C．甲组同学命中次数的方差为
D．乙组同学命中次数的数学期望为
√
√
BCD　[对于A中，设“乙组同学恰好命中2次”为事件M，则P(M)
＝＝，
所以A错误；
对于B中，设“甲组同学恰好命中2次”为事件N，则P(N)＝
＝，因为>，所以B正确；
对于C中，因为甲组同学每次命中的概率都为，设甲组同学命中次
数为X，则X～B，可得D(X)＝3×＝，所以C正确；
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对于D中，设乙组同学命中次数为随机变量Y，则Y的所有可能取值为0，1，2，3，
所以P(Y＝0)＝＝，
P(Y＝1)＝＝，
P(Y＝2)＝P(M)＝，P(Y＝3)＝＝，
故E(Y)＝0×＋1×＋2×＋3×＝，所以D正确．故选BCD．]
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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知事件A与B相互独立，P(A)＝0.6，P(AB)＝0.42，则P(A＋B)＝________．
0.88　[因为事件A与B相互独立，
所以P(AB)＝P(A)P(B)＝0.6×P(B)＝0.42，所以P(B)＝0.7，
所以P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝0.6＋0.7－0.42＝0.88．]
0.88
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13．3名男生和2名女生排成一排，则女生互不相邻的排法的概率为________．
　[先排男生共有种，男生排好后共有4个空隙，再把2个女生排进去共有种排法，
所以符合条件的共有＝72(种)排法，
故女生互不相邻的排法的概率为P＝＝．]
　
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14．设F1，F2分别为双曲线＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F2与该双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点M，若|MF1|＝3|MF2|，则双曲线的离心率为________．
　
　[不妨令过F2与双曲线的一条渐近线y＝x平行的直线交双曲线于点M，由双曲线的定义可得|MF1|－|MF2|＝2a，由|MF1|＝3|MF2|，
可得|MF1|＝3a，|MF2|＝a．又|F1F2|＝2c，tan ∠F1F2M＝，可得
cos ∠F1F2M＝＝，在△MF1F2中，由余弦定理可得|MF1|2＝
＋|F1F2|2－2|MF2|·|F1F2|·cos ∠F1F2M，即9a2＝a2＋4c2－2a·2c·，化简可得c2＝3a2，则双曲线的离心率e＝＝．]
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四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)现有10个球，其中5个球由甲工厂生产，3个球由乙工厂生产，2个球由丙工厂生产．这三个工厂生产该类产品的合格率依次是0.8，0.9，0.7．现从这10个球中任取1个球，设事件B为“取得的球是合格品”，事件A1，A2，A3分别表示“取得的球是甲、乙、丙三个工厂生产的”．
(1)求P(Ai)，i＝1，2，3；
(2)若取出的球是合格品，求该球是甲工厂生产的概率．
[解]　(1)P(A1)＝＝0.5，P(A2)＝＝0.3，P(A3)＝＝0.2．
(2)P(B|A1)＝0.8，P(B|A2)＝0.9，P(B|A3)＝0.7，
∴P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)
＝0.5×0.8＋0.3×0.9＋0.2×0.7＝0.81，
∴P(A1|B)＝＝＝＝，
∴该球是甲工厂生产的概率为．
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16．(15分)已知f (x)＝sin 2x＋2cos x．
(1)求f (x)在x＝0处的切线方程；
(2)求f (x)的单调递减区间．
[解]　(1)f ′(x)＝2cos 2x－2sin x，
令x＝0，则f ′(0)＝2，f (0)＝2，
∴f (x)在x＝0处的切线方程为y－2＝2(x－0)，
即y＝2x＋2．
(2)f ′(x)＝2cos 2x－2sin x＝2(1－2sin2x)－2sinx＝－2(2sin2x＋sinx－1)，
令f ′(x)<0，则－2(2sin2x＋sinx－1)<0，
则－2(2sin x－1)(sin x＋1)<0，即sin x>，
解得x∈，k∈Z，
∴f (x)的单调递减区间为，k∈Z．
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17．(15分)(2024·广州番禺区模拟)随着芯片技术的不断发展，手机的性能越来越强大，为用户体验带来了极大的提升．某科技公司开发了一款学习类的闯关益智游戏，每一关的难度分别有“容易”“适中”“困难”三个档次，并且下一关的难度与上一关的难度有关，若上一关的难度是“容易”或者“适中”，则下一关的难度是“容易”“适中”“困难”的概率分别为，若上一关的难度是“困难”，则下一关的难度是“容易”“适中”“困难”的概率分别为，已知第1关的难度为“容易”．
(1)求第3关的难度为“困难”的概率；
(2)用Pn表示第n关的难度为“困难”的概率，求Pn．
[解]　(1)已知第1关的难度为“容易”，
则第2关的难度是“容易”“适中”“困难”的概率分别为，
故第3关的难度是“困难”的概率为P＝＝．
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(2)由题意可得，Pn表示第n关的难度为“困难”的概率，
Pn－1表示第(n－1)关的难度为“困难”的概率，
则Pn＝Pn－1＋(1－Pn－1)(n≥2)，整理可得：Pn－＝(n≥2)，根据题意得P1＝0，所以是首项为－，公比为的等比数列，所以Pn－＝－，即Pn＝．
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18．(17分)如图，在四棱锥E-ABCD中，EC⊥平面ABCD，DC⊥BC，AB∥DC，DC＝2AB＝2，CB＝CE，点F在棱BE上，且BF＝FE．
(1)证明：DE∥平面AFC；
(2)当二面角F-AC-D为135°时，求CE．
[解]　(1)证明：由题意可知，CB，CE，CD两两垂直．
如图，以C为坐标原点，CB，CE，CD所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
设CB＝m，则C(0，0，0)，
A(m，0，1)，D(0，0，2)，E(0，m，0)，
由BF＝FE，得F，
则＝(m，0，1)，＝＝(0，m，－2)，
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设平面AFC的法向量为n1＝(x，y，z)，
则即
令x＝1，得n1＝(1，－2，－m)为平面AFC的一个法向量，
∴·n1＝－2m＋2m＝0，∴DE∥平面AFC．
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(2)显然平面ACD的一个法向量n2＝(0，1，0)，
∴|cos 135°|＝＝＝，
解得m＝(舍负)，
∴CE＝．
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19．(17分)某产品的尺寸与标准尺寸的误差的绝对值不超过4 mm即视为合格品，否则视为不合格品．假设误差服从正态分布且每件产品是否为合格品相互独立．现随机抽取100件产品，误差的样本均值为0，样本方差为4．用样本估计总体．
(1)试估计100件产品中不合格品的件数(精确到1)；
(2)在(1)的条件下，现出售随机包装的100箱该产品，每箱均有100件产品，收货方对每箱产品均采取不放回地随机抽取方式进行检验，箱与箱之间的检验相互独立．每箱按以下规则判断是否接受该箱产
品：如果抽检的第1件产品不合格，则拒绝该箱产品；如果抽检的第1件产品合格，则再抽1件，如果抽检的第2件产品合格，则接受该箱产品，否则拒绝该箱产品．若该箱产品通过检验后生产方获利1 000元；该箱产品被拒绝，则亏损89元．求100箱该产品利润的期望值．
附：若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤Z≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤Z≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤Z≤μ＋3σ)≈0.997 3．
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[解]　(1)设产品的尺寸误差为随机变量X，
由题意得X～N(0，22)，
则P(|X|≤4)＝P(－4≤X≤4)≈0.954 5，
因此估计这批产品的合格率为0.954 5．
因此产品的不合格率为1－0.954 5＝0.045 5，
所以估计100件产品中有100×0.045 5＝4.55≈5(件)不合格品．
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(2)法一：设A1＝“抽检的第1件产品不合格”，A2＝“抽检的第2件产品不合格”，
则一箱产品被拒绝的事件为A1A2．
因此P(A1A2)＝P(A1)＋P(A2)
＝P(A1)＋P()P(A2|)
＝＝．
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设100箱产品通过检验的箱数为Z，则Z～B，
所以100箱该产品的利润W＝1 000Z＋(－89)·(100－Z)＝1 089Z－8 900，
因此100箱该产品利润的期望
E(W)＝E(1 089Z－8 900)
＝1 089E(Z)－8 900
＝1 089×100×－8 900
＝89 330(元)．
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法二：记一箱产品被拒绝为事件A，
则P(A)＝＝．
设一箱产品的利润为随机变量ξ，
则P(ξ＝－89)＝，P(ξ＝1 000)＝1－＝，
所以E(ξ)＝－89×＋1 000×＝．
设100箱该产品的利润为随机变量Y，则Y＝100ξ，
所以E(Y)＝E(100ξ)＝100E(ξ)＝89 330(元)．
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谢 谢 ！