名称 | 《高考快车道》2026版高三一轮总复习数学(基础版)114 第十章 思维进阶15 概率、统计的交汇问题 课件 | ![]() | |
格式 | pptx | ||
文件大小 | 3.5MB | ||
资源类型 | 试卷 | ||
版本资源 | 通用版 | ||
科目 | 数学 | ||
更新时间 | 2025-07-03 13:54:02 |
(1)求p0;
(2)设该工厂加工5G手机的这种精密配件的合格率为p0,在合格品中,优等品的概率为0.5.
①从加工后的这种精密配件中随机抽取若干件,设其中优等品有X件,若P(X=6)最大,求抽取的这种精密配件最多有多少件;
②已知某5G手机生产商向该工厂提供这种精密配件的原料,经过该工厂加工后,每件优等品、合格品分别以150元、100元被该5G手机生产商回收,同时该工厂对不合格品进行复修,每件不合格品只能复修为合格品或不合格品,且复修为合格品和不合格品的概率均为0.5,复修后的合格品按合格品的价格被回收,复修后的不合格品按废品处理掉,且每件不合格品还需要向该5G手机生产商赔偿原料费30元.若该工厂要求每个这种精密配件至少获利50元,加工费与复修费相等,求一个这种精密配件的加工费最高为多少元?
[解] (1)由题意可知,这种精密配件的不合格率为1-p,则加工后的30件这种精密配件中恰有6件不合格的概率f (p)=(1-p)6p24(0
则f ′(p)=(1-p)6p23=(1-p)5p23(4-5p),
令f ′(p)>0,解得0
所以f (p)在(0,0.8)上单调递增,在(0.8,1)上单调递减,
所以当p=0.8时,f (p)取得极大值,故p0=0.8.
(2)①从加工后的这种精密配件中随机抽取一件为优等品的概率为0.8×0.5=0.4.
设从加工后的这种精密配件中随机抽取n件,由题意可知,X~B(n,0.4),且P(X=k)=0.4k×(1-0.4)n-k,
由题意可知,
即
解得14≤n≤16.5,又n∈N,所以n的最大值为16,
故抽取的这种精密配件最多有16件.
②设该工厂加工一个这种精密配件获利Y元,加工费与复修费均为m元,由题意可知,Y的可能取值为150-m,100-m,100-2m,
-30-2m,
则随机变量Y的分布列为
Y 150-m 100-m 100-2m -30-2m
P 0.4 0.4 0.1 0.1
则E(Y)=0.4(150-m)+0.4(100-m)+0.1(100-2m)+0.1(-30-2m)=107-1.2m,由题意可知,107-1.2m≥50,
解得m≤47.5,所以一个配件的加工费最高为47.5元.
进阶训练(十五) 概率、统计的交汇问题
1.某企业从生产的一批零件中抽取100件产品作为样本,检测其质量指标值m(m∈[100,400]),得到如图所示的频率分布直方图,并依据质量指标值划分等级如下表所示:
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
质量指 标值m 150≤m<350 100≤m<150或
350≤m≤400
等级 A级 B级
题号
1
3
2
4
(1)根据频率分布直方图估计这100件产品的质量指标值的平均数;
(2)以样本的频率估计总体的概率,解决下列问题:
①从所生产的零件中随机抽取3个零件,记其中A级零件的件数为ξ,求ξ的分布列和数学期望;
②该企业采用混装的方式将所有零件按400个为一箱包装出售,已知一个A级零件的利润是12元,一个B级零件的利润是4元,估计每箱零件的利润.
题号
1
3
2
4
[解] (1)由题意知=125×0.05+175×0.1+225×0.15+275×0.4+325×0.25+375×0.05=267.5.
(2)①由题意知随机抽取一个零件,其为A级的概率为1-0.05×2=0.9,ξ的所有可能取值为0,1,2,3,
P(ξ=0)=(1-0.9)3=0.001,
P(ξ=1)=×0.9×(1-0.9)2=0.027,
P(ξ=2)=×0.92×(1-0.9)=0.243,
P(ξ=3)=×0.93=0.729,
题号
1
3
2
4
则随机变量ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3
P 0.001 0.027 0.243 0.729
法一:所以E(ξ)=0×0.001+1×0.027+2×0.243+3×0.729=2.7.
法二:因为ξ~B(3,0.9),所以E(ξ)=3×0.9=2.7.
②设随机抽取一箱零件,其中A级零件有X个,则B级零件有(400-X)个,出售该箱零件的利润为Y元,Y=12X+4(400-X)=8X+1 600,因为X~B(400,0.9),所以E(X)=400×0.9=360,
所以E(Y)=E(8X+1 600)=8E(X)+1 600=8×360+1 600=4 480.
题号
1
3
2
4
2.(2024·广东佛山一模)佛山岭南天地位于禅城区祖庙大街2号,主要景点有龙塘诗社、文会里嫁娶屋、南风古灶、李众胜堂祖铺、祖庙大街等,这里的每一处景色都极具岭南特色,其中龙塘诗社和祖庙大街很受年轻人的青睐.为进一步合理配置旅游资源,现对已在龙塘诗社游览的游客进行随机问卷调查,若继续游玩祖庙大街景点的记2分,若不继续游玩祖庙大街景点的记1分,
每位游客选择是否游览祖庙大街的概率均为,游客之间的选择意
愿相互独立.
题号
1
3
2
4
(1)从游客中随机抽取3人,记总得分为X,求X的分布列与数学期望;
(2)①若从游客中随机抽取m人,记总得分恰为m分的概率为Am,求数列的前10项和;
②在对所有游客进行随机问卷调查过程中,记已调查过的累计得分恰为n分的概率为Bn,探讨Bn与Bn-1之间的关系式,并求数列的通项公式.
题号
1
3
2
4
[解] (1)X的可能取值为3,4,5,6.
P(X=3)==,P(X=4)==,
P(X=5)==,P(X=6)==.
所以X的分布列为
X 3 4 5 6
P
则E(X)=3×+4×+5×+6×=.
题号
1
3
2
4
(2)①总分恰为m的概率Am=,
所以数列{Am}是首项为,公比为的等比数列,
所以前10项和为S10==1-=.
②已调查的累计得分恰为n分的概率为Bn,
而得不到n分的情况只有先得到(n-1)分,再得2分,
概率为Bn-1,其中B1=,
所以1-Bn=Bn-1,Bn=-Bn-1+1,
题号
1
3
2
4
所以Bn-=-,又=-≠0,
即是等比数列,公比为-,首项为-.
所以Bn-=-,
即Bn==.
题号
1
3
2
4
3.乒乓球被称为我国的“国球”,是一种深受人们喜爱的球类体育项目.在某高校运动会的女子乒乓球单打半决赛阶段,规定:每场比赛采用七局四胜制,率先取得四局比赛胜利的选手获胜,且该场比赛结束.已知甲、乙两名运动员进行了一场比赛,且均充分发挥出了水平,其中甲运动员每局比赛获胜的概率为p(0
(1)若前三局比赛中,甲至少赢得一局比赛的概率为p,求乙每局比赛获胜的概率;
(2)若前三局比赛中甲只赢了一局,设这场比赛结束还需要比赛的局数为ξ,求ξ的分布列和数学期望E(ξ),并求当p为何值时,E(ξ)最大.
题号
1
3
2
4
[解] (1)设事件A为“前三局比赛中,甲至少赢得一局比赛”,
则P(A)=1-(1-p)3=p,化简得25p2-75p+36=0,即(5p-3)(5p-12)=0,
所以p=或p=(舍去),所以乙每局比赛获胜的概率为1-p=.
题号
1
3
2
4
(2)由题意知,ξ的所有可能取值为2,3,4,且P(ξ=2)=(1-p)2=1-2p+p2,
P(ξ=3)=p(1-p)2=3p3-4p2+2p,
P(ξ=4)=p2(1-p)×1=3p2-3p3.
则ξ的分布列为
ξ 2 3 4
P 1-2p+p2 3p3-4p2+2p 3p2-3p3
题号
1
3
2
4
所以E(ξ)=-3p3)=
-3p3+2p2+2p+2(0
2(0
当p∈时,f ′(p)>0,f (p)单调递增;
当p∈时,f ′(p)<0,f (p)单调递减.
所以当且仅当p=时,f (p)最大,即当p=时,E(ξ)最大.
题号
1
3
2
4
4.某高中学校为了解学生参加体育锻炼的情况,统计了全校所有学生在一年内每周参加体育锻炼的次数,现随机抽取了60名同学(其中男生30名,女生30名)在某一周参加体育锻炼的数据,结果如下表:
一周参加体育锻炼的次数 0 1 2 3 4 5 6 7
男生人数 1 2 4 5 6 5 4 3
女生人数 4 5 5 6 4 3 2 1
合计 5 7 9 11 10 8 6 4
题号
1
3
2
4
(1)若将一周参加体育锻炼次数为3次及3次以上的称为“经常锻炼”,其余的称为“不经常锻炼”,请完成以下2×2列联表,并依据小概率值α=0.1的独立性检验,判断能否认为学生体育锻炼的经常性与性别有关系;
单位:人
性别 体育锻炼 合计
不经常 经常
男生
女生
合计
题号
1
3
2
4
(2)若将一周参加体育锻炼的次数为0次的称为“极度缺乏锻炼”,“极度缺乏锻炼”会导致肥胖等诸多健康问题.以样本频率估计概率,在全校抽取20名同学,其中“极度缺乏锻炼”的人数为X,求E(X)和D(X);
题号
1
3
2
4
(3)若将一周参加体育锻炼的次数为6次或7次的同学称为“运动爱好者”,为进一步了解他们的生活习惯,在样本的10名“运动爱好者”中,随机抽取3人进行访谈,设抽取的3人中男生人数为Y,求Y的分布列和数学期望.
附:χ2=,n=a+b+c+d.
α 0.1 0.05 0.01
xα 2.706 3.841 6.635
题号
1
3
2
4
[解] (1)完成列联表如下.
单位:人
性别 体育锻炼 合计
不经常 经常
男生 7 23 30
女生 14 16 30
合计 21 39 60
题号
1
3
2
4
零假设为
H0:学生体育锻炼的经常性与性别无关.
根据列联表中的数据计算,得
χ2=≈3.590>2.706=x0.1.
依据小概率值α=0.1的独立性检验,推断H0不成立,即学生体育锻炼的经常性与性别有关系,此推断犯错误的概率不超过0.1.
题号
1
3
2
4
(2)因为学校总的学生人数远大于所抽取的学生人数,故X近似服从二项分布,随机抽取1名学生为“极度缺乏锻炼”者的概率P=
=,则X~B,
故E(X)=20×=,
D(X)=20×=.
题号
1
3
2
4
(3)由题意可知,10名“运动爱好者”中有7名男生,3名女生,则Y的可能取值为0,1,2,3,
则P(Y=0)==,P(Y=1)===,
P(Y=2)===,P(Y=3)===,
故所求分布列为
Y 0 1 2 3
P
E(Y)=0×+1×+2×+3×=2.1.
题号
1
3
2
4
谢 谢 !